第六章 平面向量、复数

第六章 平面向量、复数

考试内容：

1．平面向量

向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．

线段的定比分点．平 面向量的数量积．平面两点间的距离、平移． 2.复数

复数的概念．

复数的加法和减法． 复数的乘法和除法． 数系的扩充．

考试要求：

1．平面向量

（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法．

（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件． （4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式． 2.复数

（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．

（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．

（3）了解从自然数系列复数系的关系及扩充的基本思想．

g3.1053 向量的概念和基本运算

一、知识回顾

1.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB；字母表示：a； 坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. (4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O. 单位向量：aO为单位向量｜aO｜＝1.

x1x2(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）

y1y2(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量. 2.向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 abba 向量的 1.平行四边形法则 加法 2.三角形法则 ab(x1x2,y1y2) (ab)ca(bc) ABBCAC 向量的 三角形法则 减法 1.a是一个向量,满ab(x1x2,y1y2) aba(b) ABBA,OBOAAB (a)()a 数 乘 向 量 足:|a||||a| 2.>0时, a与a同向; <0时, a与a异向; a(x,y) ()aaa (ab)ab =0时, a0. a//bab abba abx1x2y1y2 (a)ba(b)(ab) (ab)cacbc 22a|a|即|a|=x2y2 向 量 的 数 量 积

ab是一个数 1.a0或b0时， ab0. a0且b0时，2. ab|a||b|cos(a,b)|ab||a||b| 3.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理

e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，

λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)两个向量平行的充要条件

a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件 a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O. (4)线段的定比分点公式

设点P分有向线段P1P2所成的比为λ，即P1P＝λPP2，则

OP＝

11OP1＋OP2 (线段的定比分点的向量公式) 11xyx1x2,1 (线段定比分点的坐标公式) y1y2.1当λ＝1时，得中点公式：

x1x2x,12OP＝（OP1＋OP2）或

2yy1y2.2 (5)平移公式

设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），

xxh,则OP＝OP+a或

yyk.曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f（x－ｈ)

二、 基本训练

,BE,AC1． 已知AD分别是ABC的边BC上的中线,且ADa,BEb,则BC为

（ ） A.

42242222ab B. ab C. ab D. ab 33333333

2．已知ABa,BCb,CAc,则abc0是A,B,C三点构成三角形的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.若a(1,1),b(1,1),c(1,2),则c （ ）

13133131 A.ab B. ab C. ab D. ab

2222222214.设A(2,3),B(1,5),且ACAB,AD3AB，则C、D的坐标分别是 （ ）

3115178 A.(1,),(7,9) B. (1,),(5,8) C. (,),(5,7) D. (1,),(7,9)

332335.已知OA(1,2),OB(3,m)，若OAOB，则m .

6.对平面内任意的四点A,B,C,D，则ABBCCDDA .

7．若a3,b与a的方向相反，且b5,则a______b

8．化简：

（1）ABBCCD_____________。

（2）ABADDC______________。

(ABCD)(ACBD)______________。 （3）

9.（04年上海卷.理6）已知点A(1,2),若向量AB与a(2,3)同向, |AB|=213,则点B的坐标

为 .

10．判断下列命题是否正确 （1）若ab，则ab。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。 （3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。 （4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。

（5）若ab,bc，则ac。 （6）若a//b,b//c，则a//c。

三、例题分析

例1．已知O是ABC内的一点，若OAOBOC0，求证：O是ABC的重心.

例2．已知a(1,1),b(4,x)，ua2b，v2ab，且u//v，求x. 4

例3．ABCD是梯形，AB//CD且AB2CD，M,N分别是DC和AB的中点，设ABa,ADb，

a,bBCMN试用表示和



例4．已知，OAa,OBb,OCc（如图），求证：A、B、C三点在一直线上的充要条件是

存在不全为0的实数l、m、n使得lambnc0且lmn0.

a bO A B cC 例5在水流速度为43km/h的河中，如果要使船的速度行驶方向与两岸垂直，并使船速达到12km/h，求船的航行速度与方向。

四、作业 同步练习 g3.1053 向量的概念和基本运算

1．下面给出四个命题：①对于实数m和向量a,b，恒有mabmamb

 ②对于实数m、n和向量a，恒有mnamana

③若mamb(mR,m0),则ab

 ④若mana(a0)，则m=n 其中正确的命题个数是

（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

2．在平行四边形ABCD中，若ABADABAD，则必有 ( )

A. AD0 B. AB0或AD0 C. ABCD是矩形 D. ABCD是正方形 3．已知AB8,AC5，则BC的取值范围是 （ ） A. [3，8] B. （3，8） C. [3，13] D. （3，13）

4.（04年浙江卷.文4）已知向量a(3,4),b(sin,cos),且a//b,则tan=（ ）.

A． B.  C. 5．下列命题中，正确的是（ ）

A. 若ab，则ab B. 若ab，则a//b C. 若ab，则ab D. 若a1，则a1 6．下列说法中错误的是（ ）

343444 D.  33

A.向量AB的长度与向量BA的长度相等 B.任一非零向量都可以平行移动

C.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 D.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.

7.若三点P(1,1),A(2,4),B(x,9)共线，则x （ ）

9 D. 51 28.已知正方形ABCD的边长为1，ABa,BCb,ACc，则abc的模等于 （ ）

A. 1 B. 3 C.

A.0 B.3 C.2 D. 22

9. （05全国卷III）已知向量OA(k,12),OB(4,5),OC(k,10)，且A、B、C三点共线，

则

10.（05湖北卷）已知向量a(2,2),b(5,k).若|ab|不超过5，则k的取值范围是 11.（05广东卷）已知向量a(2,3)，b(x,6)，且ab，则x为_____________． 12．D,E,F分别是ABC的边BC,CA,AB的中点，且BCa,CAb,给出下列命题

1111①ADab ②BEab ③ CFab ④ADBECF0

2222其中正确的序号是_________。

13．若2(xa)(bc3x)b0，则x__________。

14．两列火车，先各从一站台沿相反方向开出，走了相同的路程，这两列火车位移的和是

______。

15．已知e1,e2不共线，ake1e2,be1ke2，当k______时，a,b共线。

131216、证明：始点在同一点的向量a,b,3a2b的终点在同直线上。

1117．如图，OADB是以向量OAa,OBb为边的平行四边形，又BMBC,CNCD，试用a,b33表示OM,ON,MN。

018、如图，已知OA2,OB1,OC4,OA与OB的夹角为120，OA与OC的夹角为300，用

OA,OB表示OC.

C B A O

答案：

基本训练：1、B 2、B 3、B 4、A

33 5、 6、0 7、 8、(1)AD (2)CB (3)0 9、B(5,4)

2510、(1)× （2）× （3）× （4）√ （5）√ （6）× 例题分析：例1、略 例2、4

11例3、BCba，MNab

24例4、略

例5、沿水流方向且与河岸夹角为60的方向行驶，速度为83km/h

作业：1—8、DCCAB C

2411 7、k= 8、[－6，2] 9、4 10、①②③④ 11、abc

3217712、0 13、1 14、略

1521115、OMab，ON(ab)，MNab

6632643(OAOB) 16、3