2013年全国高中数合竞赛一试试题
一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共分。
1.设集合A={2，0，1，3}，集合B={x|-x∈A，2-x²∉A}，则集合B中所有元素的和为 。
2.在平面直角坐标系xOy中，点A、B在抛物线y²=4x上，满足，F是抛物线的焦点，则 。
3.在△ABC中，已知sinA=10sinBsinC，cosA=10cosBcosC，则tanA= 。
4.已知正三棱锥P-ABC底面边长为1，高为，则其内切球半径为 。
5.设a,b为实数，函数满足：对任意x∈[0,1]，有。则ab的最大值为 。
6.从1，2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 。
7.若实数x，y满足 。
8.已知数列{}共有9项，其中，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有，则这样的数列的个数为 。
二、解答题：本大题共3题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本题满分16分）给定正数数列。满足证明：存在常数C>0，使得
10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为分别为椭圆的左右顶点，分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上不同于的任意一点。若平面中两个点Q、R满足，试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明。
11.（本题满分20分）设函数，求所有的正实数对（a，b），使得对任意实数
2013年全国高中数合竞赛加试试题
一、（本题满分40分）如图，AB是圆O的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上两点，满足AE=EF=FB，连接PE、PF并延长，与圆O分别相交于点C、D。求证：EF·CD=AC·BD
二、（本题满分40分）给定正整数u、v，数列定义如下：
记证明：数列中有无穷多项是完全平方数。
三、（本题满分50分）一次考试共有m道试题，n个学生参加，其中m，n≥2为给定的整数。每道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x分，未答对的学生得零分，每个学生的总分为其m道题的得分总和，将所有学生总分从高到低排列为，求的最大值。
四、（本题满分50分）设n，k为大于1的整数，。证明：存在2k个不被n整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除。
