2010全国高中数赛试题

（考试时间：10月17日上午8∶00—9∶20）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共分．把答案填在横线上．

1．函数fxx5243x的值域是 ．

22．已知函数yacosx3sinx的最小值为3，则实数a的取值范围是 ．

3．双曲线x2y21的右半支与直线x100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 ．

4．已知an是公差不为0的等差数列，bn是等比数列，其中a13，b11，a2b2，

3a5b3，且存在常数，使得对每一个正整数n都有anlogbn，则

 ．

5．函数fxa2x3ax2（a0，a1）在区间x1,1上的最大值为8，则它在

这个区间上的最小值是 ．

6．两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷．先投掷人的获胜概率是 ．

7．正三棱柱ABCA1B1C1的9条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角BA1PB1，则sin ．

8．方程xyz2010满足xyz的正整数解（x，y，z）的个数是 ．

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

329．（本小题满分16分）已知函数fxaxbxcxd（a0），当0x1时，

f'x1，试求a的最大值．

1

10．（本小题满分20分）已知抛物线y26x上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1x2且x1x24．线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求ABC面积的最大值．

2

11．（本小题满分20分）证明：方程2x5x20恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列an，使得

32ra1ra2ra3． 5

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