2018年浦东区高三二模数学word版(附解析)

市浦东新区2018届高三二模数学试卷

2018.04

一. 填空题〔本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分〕

2n1

nn1x2. 不等式0的解集为

x13. {an}是等比数列，它的前n项和为Sn，且a34，a48，那么S5

1. lim4. f1(x)是函数f(x)log2(x1)的反函数，那么f1(2) 5. (x)9二项展开式中的常数项为 6. 椭圆1xx2cos〔为参数〕的右焦点坐标为

y3sinx2y42xy37. 满足约束条件的目标函数f3x2y的最大值为

x0y038. 函数f(x)cos2xsin2x，xR的单调递增区间为

29. 抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水 面的宽为米

10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、

(0,1,1)、(1,1,0)，那么该四面体的体积为

11. f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0,)上是增函数，如果对于任意

x[1,2]，f(ax1)f(x3)恒成立，那么实数a的取值围是

12. 函数f(x)x25x7，假设对于任意的正整数n，在区间[1,n]上存在m1个 实数a0、a1、a2、、am，使得f(a0)f(a1)f(a2)f(am)成立，那么m的最大 值为

二. 选择题〔本大题共4题，每题5分，共20分〕

13. 方程x2px10的两虚根为x1、x2，假设|x1x2|1，那么实数p的值为〔 〕 A.3B. 5C.3，5D. 3，5

1 / 10

5n

14. 在复数运算中以下三个式子是正确的：〔1〕〔2〕|z1z2||z1||z2|；|z1z2||z1||z2|；〔3〕(z1z2)z3z1(z2z3)，相应的在向量运算中，以下式子：〔1〕|ab||a||b|；〔2〕|ab||a||b|；〔3〕(ab)ca(bc)，正确的个数是〔 〕 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

15. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。〞其中后一句中“成仙〞是“到蓬莱〞的〔 〕 A. 充分条件 C. 充要条件

B. 必要条件

D. 既非充分又非必要条件

16. 设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数yf(x)满足：〔1〕

Q{f(x)|xP}；〔2〕对任意x1,x2P，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，那么称这

两个集合构成“PQ恒等态射〞，以下集合可以构成“PQ恒等态射〞的是〔 〕 A.RZB. ZQC.[1,2](0,1)D. (1,2)R

三. 解答题〔本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分〕

17. 圆锥AO的底面半径为2，母线长为210，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为 圆心，D是AB的中点，且BOC〔1〕求圆锥的全面积；

〔2〕求直线CD与平面AOB所成角的大小. 〔结果用反三角函数值表示〕

18. 在ABC中，边a、b、c分别为角A、B、C所对应的边.

2.

2c(2ab)sinA〔1〕假设0，求角C的大小； (2ba)sinB1sinC(2ab)sinA〔2〕假设sinA

2 / 10

42，C，c3，求ABC的面积. 53

19. 双曲线C:x2y21.

〔1〕求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；

〔2〕假设经过点P(0,1)的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值围.

20. 函数yf(x)定义域为R，对于任意xR恒有f(2x)2f(x). 〔1〕假设f(1)3，求f(16)的值；

〔2〕假设x(1,2]时，f(x)x22x2，求函数yf(x)，x(1,8]的解析式与值域； 〔3〕假设x(1,2]时，f(x)|x最小值.

21. 数列{an}中a11，前n项和为Sn，假设对任意的nN*，均有Snankk〔k是常数，且kN*〕成立，那么称数列{an}为“H(k)数列〞. 〔1〕假设数列{an}为“H(1)数列〞，求数列{an}的前n项和Sn；

〔2〕假设数列{an}为“H(2)数列〞，且a2为整数，试问：是否存在数列{an}，使得

2|anan1an1|40对一切n2，nN*恒成立？如果存在，求出这样数列{an}的a2的所

3|，求yf(x)在区间(1,2n]，nN*上的最大值与2有可能值，如果不存在，请说明理由；

〔3〕假设数列{an}为“H(k)数列〞，且a1a2ak1，证明：an2k(1

1nk). 2k13 / 10

市浦东新区2018届高三二模数学试卷

2018.04

一. 填空题〔本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分〕 1. lim2n1

nn1【解析】2

x0的解集为 x1【解析】x(x1)0x(0,1)

2. 不等式

3. {an}是等比数列，它的前n项和为Sn，且a34，a48，那么S5 【解析】S512481611

4. f1(x)是函数f(x)log2(x1)的反函数，那么f1(2) 【解析】log2(x1)2f1(2)3 5. (x)9二项展开式中的常数项为

3【解析】C984

1xx2cos6. 椭圆〔为参数〕的右焦点坐标为

y3sinx2y21，右焦点为(1,0) 【解析】43x2y42xy37. 满足约束条件的目标函数f3x2y的最大值为

x0y02516【解析】交点(,)代入最大，f3x2y

3333sin2x，xR的单调递增区间为 21【解析】f(x)sin(2x)，∴单调递增区间为x[k,k]，kZ

62368. 函数f(x)cos2x9. 抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水

4 / 10

面的宽为米

【解析】设yax2，代入(4,2)，∴a，∴3x2x26，所以宽为46 10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、

1818(0,1,1)、(1,1,0)，那么该四面体的体积为

【解析】是一个边长为2的正四面体，体积为1411 6311. f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0,)上是增函数，如果对于任意

x[1,2]，f(ax1)f(x3)恒成立，那么实数a的取值围是

【解析】|ax1|3x在x[1,2]恒成立，|a1|2且|2a1|1，解得a[1,0] 12. 函数f(x)x25x7，假设对于任意的正整数n，在区间[1,n]上存在m1个 实数a0、a1、a2、、am，使得f(a0)f(a1)f(a2)f(am)成立，那么m的最大 值为

【解析】(n)min5n5n9991953，∴在区间[1,]上最大值为f()，最小值为f()， 22242419316，即m的最大值为6 444

二. 选择题〔本大题共4题，每题5分，共20分〕

13. 方程x2px10的两虚根为x1、x2，假设|x1x2|1，那么实数p的值为〔 〕 A.3B. 5C.3，5D. 3，5 【解析】由0，排除B、C、D，选A

|z1z2||z1||z2|；|z1z2||z1||z2|；14. 在复数运算中以下三个式子是正确的：〔1〕〔2〕

〔3〕(z1z2)z3z1(z2z3)，相应的在向量运算中，以下式子：〔1〕|ab||a||b|；〔2〕|ab||a||b|；〔3〕(ab)ca(bc)，正确的个数是〔 〕 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】① 正确，②③错误，选B

15. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。〞其中后一句中“成仙〞是“到蓬莱〞的〔 〕 A. 充分条件 C. 充要条件

B. 必要条件

D. 既非充分又非必要条件

【解析】不到蓬莱→不成仙，∴成仙→到蓬莱，选A

16. 设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数yf(x)满足：〔1〕

Q{f(x)|xP}；〔2〕对任意x1,x2P，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，那么称这

5 / 10

两个集合构成“PQ恒等态射〞，以下集合可以构成“PQ恒等态射〞的是〔 〕 A.RZB. ZQC.[1,2](0,1)D. (1,2)R

【解析】根据题意，定义域为P，单调递增，值域为Q，由此判断，D符合，应选D 三. 解答题〔本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分〕

17. 圆锥AO的底面半径为2，母线长为210，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为 圆心，D是AB的中点，且BOC〔1〕求圆锥的全面积；

〔2〕求直线CD与平面AOB所成角的大小. 〔结果用反三角函数值表示〕

【解析】〔1〕圆锥的底面积S1r24……………3分 圆锥的侧面积S2rl410……………3分 圆锥的全面积SS1S24(110)……………1分 〔2〕

2.

2CDO是直线CD与平面AOB所成角 ……………1分

BOCOCOB且OCOA，OC平面AOB……………2分

在RtCDO中，OC2,OD10, ……………1分

1010,CDOarctan……………2分 5510所以，直线CD与平面AOB所成角的为arctan……………1分

5tanCDO

18. 在ABC中，边a、b、c分别为角A、B、C所对应的边.

2c(2ab)sinA〔1〕假设0，求角C的大小； (2ba)sinB1sinC(2ab)sinA〔2〕假设sinA42，C，c3，求ABC的面积. 53【解析】〔1〕由题意，2csinC2absinA2basinB；……………2分 由正弦定理得2c22aba2bab，∴cabab，……………2分

222a2b2c21，∴C；……………2分 ∴cosC2ab234ac8〔2〕由sinA，c3，且，∴a；…………2分

5sinAsinC523由acAC，∴cosA,…………2分

536 / 10

∴sinBsinACsinAcosCcosAsinC∴SABC334；…………2分 1011883casinB…………2分 22519. 双曲线C:x2y21.

〔1〕求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；

〔2〕假设经过点P(0,1)的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值围.

【解析】〔1〕F2(2,0)…………1分渐近线xy0………1分

R1…………2分(x2)2y21………………2分

〔2〕设经过点B的直线方程为ykx1,交点为M(x1,y1),N(x2,y2)………………1分

k21,0xy1(1k2)x22kx20…1分那么x1x201k2…2分 ykx1xx01222k111k，…1分得中垂线MN的中点为(,)l:y(x)…1分 22221k1k1kk1k22令x0得截距t2………………2分 221kk1即线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值围是(2,).

20. 函数yf(x)定义域为R，对于任意xR恒有f(2x)2f(x). 〔1〕假设f(1)3，求f(16)的值；

〔2〕假设x(1,2]时，f(x)x22x2，求函数yf(x)，x(1,8]的解析式与值域； 〔3〕假设x(1,2]时，f(x)|x最

小值. 【解析】〔1〕

3|，求yf(x)在区间(1,2n]，nN*上的最大值与2f(1)3且f(2x)2f(x)

f(2)3(2)……………1分f(22)3(2)2……………1分

f(23)3(2)3………1分f(16)f(24)3(2)448……1分

〔2〕

xf(2x)2f(x)f(x)2f()，

2x(1,2]时，f(x)x22x2(x1)21，f(x)(1,2]……………1分

7 / 10

xx1x(2,4]时，f(x)2f()2[(1)21](x2)22，……………1分

222f(x)[4,2)……………1分

x1x1x(4,8]时，f(x)2f()2[(2)22](x4)24，……………1分

2224f(x)(4,8]……………1分

(x1)21,x(1,2]12得：f(x)(x2)2,x(2,4]，值域为[4,2)（1，2](4,8]……………1分

212(x4)4,x(4,8]4x〔3〕f(2x)2f(x)f(x)2f()

2x32当x(1,2]时，f(x)x得：当x(2,2]时，f(x)2f()x3……1分

22xn1n当x(2,2]时，n1(1,2]，

2xxxx3f(x)2f()(2)2f(2)(2)n1f(n1)(2)n1n1(1)nx32n222222……………2分

2n当x(2,2]，n为奇数时，f(x)x32[,0]

42nn1nn2当x(2,2]，n为偶数时，f(x)x32[0,]

41综上：n1时，f(x)在(1,2]上最大值为0，最小值为……………1分

22n2nnn2，n为偶数时，f(x)在(1,2]上最大值为，最小值为……………1分

482n2nnn3，n为奇数时，f(x)在(1,2]上最大值为，最小值为……………1分

84n1nn2

21. 数列{an}中a11，前n项和为Sn，假设对任意的nN*，均有Snankk〔k是常数，且kN*〕成立，那么称数列{an}为“H(k)数列〞. 〔1〕假设数列{an}为“H(1)数列〞，求数列{an}的前n项和Sn；

〔2〕假设数列{an}为“H(2)数列〞，且a2为整数，试问：是否存在数列{an}，使得

2|anan1an1|40对一切n2，nN*恒成立？如果存在，求出这样数列{an}的a2的所

有可能值，如果不存在，请说明理由；

8 / 10

〔3〕假设数列{an}为“H(k)数列〞，且a1a2ak1，证明：an2k(11nk). 2k1【解析】〔1〕数列an为“H1数列〞，那么Snan11，故Sn1an21， 两式相减得：an22an1， …………………1分

又n1时，a1a21，所以a222a1，………………1分 故an12an对任意的nN*恒成立，即

an12〔常数〕， ann1故数列an为等比数列，其通项公式为an2,nN*；………………1分

Sn2n1,nN*………………1分

〔2〕

Snan22an1an3an2an3an2an1(nN*)

Sn1an32

2an2an1an(n2,nN*)………………1分

*当n2,nN时，an1anan2an1anan1anan1(an1an)an

22*22*因为an1anan1,(n3,nN)，那么an1anan2an1an1an,(n3,nN)；

那么an12anan2an2an1an1,(n3,nN*)………………2分

那么an2an1an1a32a2a4(n3,nN*)，因为a4a3a2

222*aaaaaaa(n3,nN)………………1分 nn1n13232那么

因为S1a32,a11a33，那么93a2a2240，且n2时，a22340， 解得：a20,1,2,3,4,5,6………………2分

ankSnk*aaa(n2,nN)…………1分〔3〕nknk1n* an1kSn1k(n2,nN)ak1S1k0，由归纳知，ak20,a1a2,an0，…………1分

ak1,ak1k1，由归纳知，anan1,(nN*)，…………2分

*那么ankank1anank1ank12ank1(n2,nN)ank2ank1(n2,nN*)…………1分

ank11ank12ank2221*a,(nN)…………1分 n2k1k12于是an2kan2k1ank(11)an2k1,(nN*)k1 29 / 10

于是an2k(11n1)a2k,(nN*)…………1分 k12111a2kSkk2k，∴an2k(1k1)n12k(1k1)nk1,(2k(1k1)k)…1分

222结论显然成立.

10 / 10