经典截长补短法巧解

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长补短法有多种方法。 截长法：

〔1〕过某一点作长边的垂线 〔2〕在长边上截取一条与某一短边一样的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。…… 补短法

〔1〕延长短边。

〔2〕通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 例：

在正方形ABCD中，DE=DF，DGCE，交CA于G，GHAF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系 方法一〔好想不好证〕 方法二〔好证不好想〕 例题不详解。

〔第2页题目答案见第3、4页〕 〔1〕正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45o。 求证：EF=DE+BF 〔1〕变形a

正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，

EAF=45o。

请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ 〔1〕变形b

正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，

EAF=45o。

请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ 〔1〕变形c

正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=45o。DB=DC，

BDC=120o。请问现在EF、BE、

CF又有什么数量关系？ 〔1〕变形d 第 1 页

正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15o，

所以EAGEAF〔SAS〕 EF=GE=GD+DE=BF+DE FAB=30o。AD=3

求AEF的面积

〔1〕解：〔简单思路〕

延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。

由四边形ABCD是正方形得

ADG=ABF=90o

AD=AB 又DG=BF

所以ADGABF〔SAS〕

GAD=FAB

AG=AF

由四边形ABCD是正方形得

DAB=90o=DAF+FAB

=DAF+GAD=GAF 所以GAE=GAF-EAF =90o-45o=45o

GAE=FAE=45o

又AG=AF AE=AE

变形a解：〔简单思路〕 EF= BF-DE

在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。

由四边形ABCD是正方形得

ADE=ABG=90o

AD=AB 又DE=BG

所以ADEABG〔SAS〕

EAD=GAB

AE=AG

由四边形ABCD是正方形得

DAB=90o=DAG+GAB

=DAG+EAD=GAE 所以GAF=GAE-EAF =90o-45o=45o

GAF=EAF=45o

又AG=AE AF=AF

所以EAFGAF〔SAS〕 第 2 页

EF=GF=BF-BG=BF-DE 变形b解：〔简单思路〕 EF=DE-BF

在DC上截取DG，使得DG=BF，连变形c解：〔简单思路〕 EF=BE+FC

延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。

接AG。

由四边形ABCD是正方形得

ADG=ABF=90o

AD=AB 又DG=BF

所以ADGABF〔SAS〕

GAD=FAB

AG=AF

由四边形ABCD是正方形得

DAB=90o=DAG+GAB

=BAF+GAB=GAF 所以GAE=GAF-EAF =90o-45o=45o

GAE=FAE=45o

又AG=AF AE=AE

所以EAGEAF〔SAS〕 EF=EG=ED-GD=DE-BF

由ABC是正三角形得

ABC=ACB=60o

又DB=DC，BDC=120o 所以DBC=DCB=30o

DBE=ABC+DBC=60o+30o=90

o

ACD=ACB+DCB=60o+30o=90

o

所以GCD=180o-ACD=90o

DBE=DCG=90o

又DB=DC，BE=CG

所以DBEDCG〔SAS〕

EDB=GDC

DE=DG

又DBC=120o=EDB+EDC =GDC+EDC=EDG 所以GDF=EDG-EDF =120o-60o=60o

GDF=EDF=60o

第 3 页

又DG=DE DF=DF

所以GDFEDF〔SAS〕 EF=GF=CG+FC=BE+FC 变形d解：〔简单思路〕 延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。

过E作EHAG.前面如〔1〕所证，

ADGABF，EAGEAF

ABOE〔2〕

DC

正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分

DAC。

求证：AC/2=AD-EO 〔2〕加强版

正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分DNM。

请问MN、AD、EF有什么数量关系？

〔2〕解：〔简单思路〕 过E作EGAD于G 因为四边形ABCD是正方形 BD平分ADC，ACBD ADC=90o，

所以ADB=ADC/2=45o 因为AE平分DAC，EOAC，EGAD

所以EAO=EAG，

SEAG=SEAF GAD=FAB=30o，

在RtADG中，GAD=30o，AD=3

AGD=60

设EH=x

o，AG=2

在RtEGH中和RtEHA中

AGD=60

3o，HAE=45o

HG=3x，AH=x

AG=2=HG+AH=3x+x,EH=x=3-3

3SEAF=SEAG=EHAG2=3-3. 〔第5页题目答案见第6页〕

第 4 页

DGE=

AOE=AGE=90

o又

EQB为等腰Rt三角形，

AE=AE，

所以AEOAEG〔AAS〕 所以AG=AO，EO=EG 又ADB=45o，DGE=90o 所以DGE为等腰直角三角形 DG=EG=EO

AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2 〔2〕加强版解：〔简单思路〕 MN/2=AD-EF

过E作EGAD于G，作EQAB于Q，

过B做BPMN于P

按照〔2〕的解法，可求证，

GNEFNE〔AAS〕 DGE为等腰直角三角形

BEQ=45o

因为GAQ=EGA=EQA=90o 所以四边形AGEQ为矩形， EQ=AG=AD-EF，EQ//AG

QEN=ENG

又ENG=ENF，所以

QEN=ENF

由BC=BA，BCM=BAN=90o，CM=AN，

所以BCMBAN〔SAS〕 BM=BN，CBM=ABN

ABC=90o=ABM+CBM

=ABM+ABN=MBN，又BM=BN 所以MBN为等腰Rt三角形， 又BP斜边MN于P，

所以NPB为等腰Rt三角形。 BP=MN/2，PNB=45o。

BNE=ENF+PNB BEN=QEN+QEB

AG=AD-DG=AD-EF，

因为四边形ABCD为正方形，

ABC=GAQ=BCM=90o

BD平分ABC，BC=BA

ABD=ABC/2=45EQB=90o

o，又又

QEN=

ENF，

PNB=QEB=45o

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所以BNE=BEN BN=BE， 又

PNB=QEB=45o=NBP=EBQ

所以BEQBNP〔SAS〕 EQ=BP

因为EQ=AG=AD-EF，BP=MN/2所以AD-EF=MN/2。

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