浙江师范大学高等数学下试卷及答案

一、选择题 (每小题3分, 共18分) 1．平面过轴，则 ( )

(A) (B) (C) (D)

2. 曲面xyz1的平行于平面xyz1的切平面方程是（ ）

(A) xyz1 (B) 3xyz0 (C) 3xyz0 (D) xyz2

nx2n3. 幂级数n的收敛区间为（ ） nn12(4)(A) (2,2) (B) [2,2) (C) (2,2] (D) [2,2]

4. 设函数，则点

是函数z的 ( )

(A) 极大值点但非最大值点 (B) 极大值点且是最大值点 (C) 极小值点但非最小值点 (D) 极小值点且是最小值点 5. 设

为常数，则级数

为（ ）

(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛

(C) 发散 (D) 敛散性与取值有关

226. 设D:xy1, f在D上连续，则

f(Dx2y2)dxdy ( )

1(A) 4f()d (B) 4f()d

0011200(C) 2f()d (D) 2f()d

二、填空题 (每小题3分, 共21分)

1. 已知a5，b6, ab7, 则ab= ① .

x2. 若f(x,y,z)()z，则fx(1, 1, 1)= ② .

yzxz3. 设zfx,y是由方程ln确定的隐函数，则= ③ .

xzy324. 设函数uxxyz, 则u在点(1,1,0)处方向导数的最大值为 ④ .

5. 曲线

为 ⑤ . 6. 函数7. 计算

的驻点是 ⑥ .

在对应于

点处的法平面方程

110xdxex21y2dy= ⑦ .

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三、计算题(每小题8分, 共48分)

2z2z1. 设zyexsin2y，求2和.

xxy2x2. 计算ln1x2y2d，其中D：x2y21，x0，y0.

Dy23. 求椭圆抛物面z4x与平面z0所围成的立体体积.

424．设L:xyR222R0沿逆时针方向, 求R, 使得Iy3dx(3xx3)dy

L取最大值, 并求出该最大值.

5. 计算

Lz2其中L为螺线xacost,yasint,zat0t2,a0. ds，

x2y26． 求级数

nxn1n1的和函数.

四、应用题 (8分）要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方

米20元，侧面材料单价每平方米8元, 问应如何设计尺寸，使得造价最省？

五、(5分) 问级数

(1)nn2n是否收敛?为什么? n1

浙江师范大学《高等数学(下) 》考试卷（B卷） 四、选择题 (每小题3分, 共18分)

1、A 2、B 3、A 4、 B 5、C 6、D 五、填空题 (每小题3分, 共21分) ①73 ②1 ③

z11 ④3 ⑤3xy3z160 ⑥(1，－1) ⑦12e xz6六、计算题(每小题8分, 共48分)

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1． 设zye2xxsin2y，求所有二阶偏导数.

解：先求一阶偏导数，得

zz2ye2xsin2y，e2x2xcos2y xy再求二阶偏导数，得

2zz2x2x ， 2yesin2y4ye2xxxx2zz 2ye2xsin2y2e2x2cos2y. （8分）

xyyxy2. 计算ln1x2y2d，D：x2y21，x0，y0.

D解：原式dln1r2rdr

2010   ln1rd1r 412201r2ln1r24102rdr

0142ln21. （8分）

2y23. 求椭圆抛物面z4x与平面z0所围成的立体体积.

4解：考虑到图形的对称性，总体积为第一卦限部分的体积的4倍，即

y22 V44x4dxdy

D 4dx022164x20y224x4dy 164x21 44yx2yy30120162 4x230dx

232dx16. （8分）

4．设L:xyR22R0沿逆时针方向, 求R, 使得Iy3dx(3xx3)dy

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取最大值, 并求出该最大值.

解: 由格林公式

I33x23y2dxdyD20d33x2xdx0RR2R4R232. 由得R0（舍去），R1. I6R6R0，63R1R2423618R2，I|R1120. 故R1时，I取最大值，I1. （8分）又IR

25. 计算

Lz2ds22xy，其中

L为螺线

xacost,yasint,zat0t2,a0.

解：ds故

x2y2z2dtasint2acost2a2dt2adt

L22z2a2t2ds2adt2at2dt 22220acostasint0xy1282at3|02a3. (8分)

336． 求级数

nxn1n1n1的收敛区间及和函数.

解：设fxnxn1，|x|1，

故

x0xxn1n1 fxdxnxdxnxdxxn001xn1n1n1xfxdx1，|x|1. （8分） 2dx1x1x七、应用题（8分）

要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？

解：设水池的长为x米，宽为y米，高为z米，则材料造价为

u20xy16xzxy，(x0，y0，z0)， （1）

且x，y，z必须满足xyz10，

（2）

110代入（1），得u20xy160，(x0，y0)，于是问题就xyxy成为求u当x0，y0时的最小值，由极值的必要条件，有

从（2）解出z 页 共 5 页 第 4

160u20y0;2xxu20x1600.y2y

解得xy2. 据题意存在最小造价，而驻点是唯一的，所以当x2，y2，z水池的材料造价一定最小. （8分）

5时，2(1)nn五、(5分) 判断级数的敛散性.

n1n2解：级数收敛 (2分)

下证级数为Leibniz型级数. 设

f(x)x， 则当x2时， x1f(x)(1x)0. 22(x1)x故函数f(x)单调递减，故un

nn满足unun1， 而且limunlim0.(5分)

nnn1n1 页 共 5 页 第 5