二面角习题及答案

1.如图三棱锥 P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC =边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB－C的大小。 解：由已知条件，D是BC的中点

∴ CD =BD =2 又△ADC是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2

∴ D是△ABC之外心又在BC上 ∴ △ABC是以∠BAC为直角的三角形， ∴ AB⊥AC， 又 PC⊥面ABC

B

∴ PA⊥AB (三垂线定理)

∴∠PAC即为二面角 P-AB-C之平面角， 易求 ∠PAC =30°

2.如图在三棱锥 S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分SC，且分别交 AC、SC于D、E，又SA =AB，BS =BC， 求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。 解：∵ BS =BC，又DE垂直平分SC

S ∴ BE⊥SC，SC⊥面BDE ∴ BD⊥SC，又SA⊥面ABC ∴ SA⊥BD，BD⊥面SAC ∴ BD⊥DE，且BD⊥DC 则 ∠EDC就是所要求的平面角 设 SA =AB =a，

则 BC =SB =2a 且 AC = 易证 △SAC∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60°

3. 如图：ABCD是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O点，P是平面 ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。

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23 ，D是 BC的中点，且△ADC是

P C D A

D E C A B 3

解：取OC之中点N，则 MN∥PO ∵ PO⊥面ABCD

∴ MN⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 过 N 作 NR⊥BD 于 R，连MR，

D 则 ∠MRN即为二面角 M-BD-C的平面角 过 C 作 CE⊥BD于S 则 RN = ∴ CEP M C N O R S B 1A

CE 在 Rt△BCD中，CD·BC =BD·CE 2CDBC8

BD545 tanMRN ∴ RNMN5 RN2 ∴ MRNarctan5 20 4.如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，∠ABC =∠DBC =120，求二面角 A-BD-C的余弦值。

A 解：过 A作 AE⊥CB的延长线于E， 连结 DE， ∵ 面ABC⊥面BCD ∴ AE⊥面BCD

∴ E点即为点A在面BCD内的射影

∴ △EBD为△ABD在面BCD内的射影

D 设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=

E B C

3a 2 ∴ AD =

61cosABD， 2415 4 ∴ sin∠ABD =

∴ SABD12151521aa 又 BEa 2482 - 2 -

∴ SBDE13132aaa 2228∴ cosSBDE5 SABD5考虑到我们求的是二面角 A-BD-E，而二面角 A-BD-C与A-BD-C互补 ∴ 二面角 A-BD-C的余弦值为

5.已知正方体 AC'，M、N分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N与面ABCD，CC'D'D所成的角。

解：设边长为a，易证 ANC'N是菱形 且MN =2a，A'C =3a ∴Ｓ□AMC'N = MNA’

N M D A

∴ Ｓ□ABCD =a ∴ cos125。 5D’ B’ C’

162AC'a 22由于AMC'N在面ABCD上的射影即 为正方形ABCD

C B a262a26 36 3 ∴ 1arccos 取CC'的中点M'，连结DM'

则平行四边形DM'C'N是四边形AMC'N在CC'D'D上的射影，

12a 212a6 ∴ cos22 662a2 Ｓ□DM'C'M =

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∴2arccos6 66.如图 AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角CABD的大小。

解：作DF⊥AB于F，CE⊥AB于E， ∵ AC =CD =1 ∠ABC =30° ∴ AD =2，BC =3 ， AB =2， BD =2 在Rt△ABC中， CEC F E D A ACBC133，

AB22ADBDAB221 2B 同理 DF ∴ BFBD2DF21 AEAC2CE21 2 ∴ EF212211 2222 ∴ CDCEDFEF2EFDFcos ∴ cos3 33。 3 即所求角的大小为arccos

7. 三棱锥 A-BCD中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =6，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。

解：由已知条件∠BAC =90°，AB =AC， 设BC的中点设为O，则OA =OC =3

BC =23

B

O C A - 4 -

D DCBCtan30023222232 3 ∴ ADAOOCCD2AOCDcos 解之得：

cos ∴ 150

8. 如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是2，求：二面角A—BD—C、A—BC—D、B—AC—D的大小.

解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC.在ΔABD中，∵AB＝AD＝2，BD＝2，

∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥BD. ∴∠AOC是二面角A—BD—C的平面角

又AO＝OC＝1，AC＝2，∴∠AOC＝90°.即二面角A—BD—C为直二面角.

(2)∵二面角A—BD—C是直二面角，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD. ∴ΔABC在平面BCD内的射影是ΔBOC.

1 23331∵SΔOCB＝2,SΔABC＝2,∴cosθ＝3.即二面角A—BC—D的大小是arccos3.

(3)取AC的中点E，连BE、DE.∵AB＝BC，AD＝DC， ∴BD⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED就是二面角的平面角.

61在ΔBDE中，BE＝DE＝2，由余弦定理，得cosα＝-3

1∴二面角B—AC—D的大小是π-arccos3.

评析 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S′＝S·cosθ求得.又EG∥AB，故易得tan∠AEG=tan∠BAE=

9. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a,E是PA的中点.

(1)求证平面BDE⊥平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面

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BE2. AB2角A—EB—D的平面角大小.

解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO. ∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点，

∵E是PA的中点，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD. (2)EO∥PC，PC平面PBC，

∴EO∥平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离. 作OF⊥BC于F，

∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离.

333aa由条件可知，OB＝2,OF＝2×2＝4a，则点E到平面PBC的距离为4a.

(3)过O作OG⊥EB于G，连接AG ∵OE⊥AC，BD⊥AC ∴AC⊥平面BDE ∴AG⊥EB(三垂线定理) ∴∠AGO是二面角A—EB—D的平面角

33111OEOB∵OE＝2PC＝2a,OB＝2a ∴EB＝a.∴OG＝EB＝4a 又AO＝2a. 23AO23∴tan∠AGO＝OG＝3∴∠AGO＝arctan3.

评析 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.

10. 如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别在棱AB、BC上，G在

11对角线BD1上，且AE＝4，BF＝2，D1G∶GB＝1∶2，求平面EFG与底面ABCD所成

的二面角的大小.

解析：设G在底面ABCD上的射影为H，H∈BD，

∵

GHD1D＝

GBD1B2＝3

2∴GH＝3

作HM⊥EF于M，连GM，由三垂线定理知GM⊥EF，则∠GMH＝θ就是平面BFG与底

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GH面ABCD所成的二面角的平面角，tanθ＝HM.

下面求HM的值.

建立如图所示的直角坐标系，据题设可知.

1211H(3，3)、E(4，0)、F(1，2)

∴直线EF的方程为

1y04110124， ＝

x即 4x-6y-1＝0.

由点到直线的距离公式可得

1246133｜HM｜＝

426211＝613，

4132613413∴tgθ＝3·11＝11，θ＝arctg11.

说明 运用解析法来求HM的值是本例的巧妙所在.

11. 如图，设ABC—A1B1C1是直三棱柱，E、F分别为AB、A1B1的中点，且AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝3a. (1)求证：AF⊥A1C

(2)求二面角C—AF—B的大小

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分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识. 解 (1)∵AC＝BC，E为AB中点，∴CE⊥AB 又∵ABC—A1B1C1为直棱柱，∴CE⊥面AA1BB 连结EF，由于AB＝2AA1 ∴AA1FE为正方形

∴AF⊥A1E，从而AF⊥A1C

(2)设AF与A1E交于O，连结CO，由于AF⊥A1E，知AF⊥面CEA1 ∴∠COE即为二面角C—AF—B的平面角 ∵AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝3a

2a22a∴CE＝2a,OE＝2a,∴tan∠COE＝2＝2.

∴二面角C—AF—B的大小是arctan2.

12．如图ABCDA1B1C1D1是长方体，AB=2，AA1AD1，求二平面AB1C与A1B1C1D1所成二面角的大小．

解析：∵ 平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴ 平面AB1C与平面A1B1C1D1的交线l为过点B1且平行于AC的直线．直线l就是二平面AB1C与A1B1C1D1所成二面角的棱．又AA1⊥平面

A1B1C1D1，过A1作AH⊥l于H，连结AH．则AHA1为二面角AlA1的平面角．可求

tanAHA1555arctanπarctan2．因此所求角的大小为2或2

得

13. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，KBB1，MCC1，且

BK1BB14，

3CMCC14.．求：平面AKM与ABCD所成角的大小．

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解析：由于BCMK是梯形，则MK与CB相交于E．A、E确定的直线为l，过C作CF⊥l于F，连结MF，因为MC⊥平面ABCD，CF⊥l，故MF⊥l．∠MFC是二面角M-l-C的平

CM面角．设正方体棱长为a，则

31aBKa4，4．在△ECM中，由BK∥CM可得

EB3551atanMFCarctanaCF5，故4．因此所求角的大小为4或2，

54．

πarctan14. 如图，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角CADC． （1）若二面角CADC是直二面角，求CC的长； （2）求AC与平面CCD所成的角；

（3）若二面角CADC的平面角为120°，求二面角ACCD的平面角的正切值．

解析： （1）若CDC90，∵ AC=a，∴

DCDC21CCaa22，∴ ．

（2）∵ ADDC，AD⊥DC，∴ AD⊥平面DCC．∴ ACD为AC与

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平面DCC所成的角，在Rt△ADC中，

DCDC1AC2，∴ DAC30，于是

ACD60．

（3）取CC的中点E，连结AE、DE，∵ DCDC，ACAC，∴ AECC，

DECC，∴ ∠AED为二面角ACCD的平面角，∵ CDC120，

CDCD12aDE1，∴

4a，在3tanAEDADDE2a123．4a

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Rt△AEDAD3，2a，∴

中