二面角
1.二面角的计算：1）定义法；2）三垂线定理法；3）垂面法；4）面积射影法；
例1、已知P是二面角
BPMBPN45,例2、已知P为锐二面角角
l
的度数是多少。
例3、已知二面角
l
成角
，则必有（
（A）sin
sinsin（C）cos
cos
sin
AB棱上一点，过P分别在
、
内引射线PM，PN，且
MPN
60，求此二面角的度数。
l棱上的点，PQ,PQ与l成45，与成30，则二面
的度数为，在面内有一条射线AB与棱l成锐角，与面
（B）sinsincos（D）cos
cos
cos
1
）
例4、在
120的二面角
l
的面、内分别有A、B两点，且A、B到棱l的距离
AC、BD分别长2、4，AB=10，求：（1）直线AB与棱l所成角的正弦值。（2）直线AB与平面
所成角的正弦值。
例5、已知二面角MN上，AB与
MN
为60，A
,BMCB
,BC为AB在
上的射影，且C在棱
所成角为
60，且AC5,45，求线段AB的长。
例6、已知二面角
DC
成
的度数为
，A,B,ADC的面积为S，且DC=m，
ABDC，AB与平面30角，当
变化时，求
DBC面积最大值。
2
例7、已知C是以AB为直径的圆周上的一点，求二面角A-PB-C的正弦值。
ABC30，PA面ABC，PBA45，
例8、在正方体ABCD
A1B1C1D1中，利用cos
S射影S
解下列各题
1）P、Q分别为A1A,AB的中点，求平面2）求二面角C1
C1PQ与底面ABCD所成角的余弦值
BD1C的大小；
D1
B1M
C1的余弦值。
3）M是棱BC的中点，求二面角
3
例9、已知D、E分别是边长为将三角形ADE折起，是二面角到BC边距离最短？最短是多少？
a的等边三角形ABC的边AB、AC上的点，DE//BC，现沿DE
A
A-DE-B成60度角，当DE在什么位置时，使折起后的顶点
例10、等腰Rt
，ADC和RtBCA有公共边AC
BD=BC？
ADCBCA90,ABC60，
以AC为棱折起多少度的二面角时，有
4
两个平面垂直
1、两个平面垂直的证明1）定义2）判定定理
2、两个平面垂直的性质
例1、已知ABCD为矩形，E为半圆CED上一点，且平面1）求证DE是AD与BE的公垂线
2）若AD=DE=AB，求AD与BE所成角的大小。
ABCD平面CDE
1
2
例2、等腰三角形
ABC的底BC=42，高AD=1，现沿AD将
ABD折起，使二面角B-AD-C
为60度，求此时AB与面ACD所成角的正弦值。
例3、在空间四边形ABCD中，已知AB=BD=DC=CA，M，N，P，Q分别是CD，DB，BA，AC的中
KAD平面PQMN
点，K为BC中点，求证：平面
5
例4、在正方体ABCD
A1B1C1D1中，已知P，Q，R，S分别是A1D1,A1B1,AB,BB1的中点，
求证：平面PQS平面B1RC.
例5、已知PA矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB，PC的中点
1）求证，MNAB
2）若平面PDC与平面ABCD成45度角，求证：平面
MND平面PDC
例6、已知直角三角形ABD和等腰直角三角形CBD所在平面互相垂直，且
ADBDBC90,在AB上取一点P,当P在什么位置时，平面
PCD与平面BCD成60
度的二面角？
6
例7、已知Rt三角形ABC的两直角边AC=2，BC=3，P是斜边AB上的点，以CP棱折成直二面角A-CP-B，若折后AB=7，试求二面角
P-AC-B的余弦值。
例8、M，N分别是正方体
ABCDA1B1C1D1面对角线A1B,B1D上的点，且
A1M
1
A1B,B1N31
B1D1，求证MN是异面直线A1B,B1D的公垂线。3
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