最新高考数学专题七：解三角形练习题

1．解三角形中的要素

例1：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2，b6，B60o，则C_____． 【答案】C30o

【解析】（1）由已知B，b，c求C可联想到使用正弦定理：代入可解得：sinC

2．恒等式背景

例2：已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， 且有acosC3asinCbc0． （1）求A；

（2）若a2，且△ABC的面积为3，求b，c． 【答案】（1）

bccsinBsinC， sinBsinCb1．由cb可得：CB60o，所以C30o． 2；（2）2，2． 3【解析】（1）acosC3asinCbc0 sinAcosC3sinAsinCsinBsinC0

sinAcosC3sinAsinCsinACsinC0

sinAcosC3sinAsinCsinAcosCsinCcosAsinC0，

1即3sinAcosA12sinA1sinA

662∴A5或A（舍），∴A； 666631（2）S△ABCbcsinA3bc4，

2a2b2c22bccosA4b2c2bc，

b2c2bc4b2c28b2∴，可解得．

c2bc4bc4

对点增分集训

一、单选题

1．在△ABC中，a1，AA．62 2，B，则c（ ） B．62 2C．6 2D．2 2【答案】A

【解析】由正弦定理

asinBab可得bsinAsinAsinBsin61sin42，

且cosCcosABcosAcosBsinAsinB62， 4由余弦定理可得：ca2b22abcosC122126262．故选A． 42uuuvuuuv2．在△ABC中，三边长AB7，BC5，AC6，则ABBC等于（ ）

A．19 【答案】B

B．19 C．18 D．18

【解析】∵三边长AB7，BC5，AC6，

AB2BC2AC272526219， ∴cosB2ABBC27535uuuvuuuv19ABBCABBCcosB7519．故选B．

353．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2acosB，则三角形一定是（ ）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形 【答案】C

【解析】∵c2acosB，由正弦定理c2RsinC，a2RsinA，∴sinC2sinAcosB， ∵A，B，C为△ABC的内角，∴sinCsinAB，A，B0,，

∴sinAB2sinAcosB，sinAcosBcosAsinB2sinAcosB，整理得sinAB0， ∴AB0，即AB．故△ABC一定是等腰三角形．故选C． 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C，c7，b3a，则△ABC3C．等腰三角形 D．等边三角形

的面积为（ ） A．33 4B．23 4C．2 D．23 4【答案】A 【解析】已知C，c7，b3a， 3∴由余弦定理c2a2b22abcosC，可得：7a2b2aba29a23a27a2， 11333解得：a1，b3，∴SVABCabsinC13．故选A．

22245．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2bc，sinC23sinB，则A（ ） A．30 【答案】A

【解析】根据正弦定理由sinC23sinB得：c23b， 所以a2b23bc323b2，即a27b2， b2c2a2b212b27b23则cosA，

2bc243b2B．60 C．120 D．150

又A0,，所以A．故选A． 6c，C所对的边分别为a，b，6．设△ABC的三个内角A，如果abcbca3bc，B，

且a3，那么△ABC外接圆的半径为（ ） A．1 【答案】A

2【解析】因为abcbca3bc，所以bca23bc，化为b2c2a2bc，

B．2 C．2 D．4

b2c2a21，又因为A0,，所以A， 所以cosA32bc2由正弦定理可得

2RasinA3322，所以R1，故选A．

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2c2a2bc，若sinBsinCsin2A，

则△ABC的形状是（ ）

A．等腰三角形 【答案】C

B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

bca【解析】因为sinBsinCsinA，所以， 2R2R2R22也就是a2bc，所以b2c22bc，从而bc， 故abc，△ABC为等边三角形．故选C．

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosBbcosAc，则△ABC是（ ） A．锐角三角形 【答案】B

【解析】利用正弦定理

abc化简已知的等式得： sinAsinBsinCB．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

sinAcosBsinBcosAsinC，即sinABsinC，

∵A，B，C为三角形的内角，∴ABC，即ABC则△ABC为直角三角形，故选B．

， 29．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为315，

bc2，cosA1，则a的值为（ ） 4A．8 【答案】A

B．16 C．32 D．

【解析】因为0A，所以sinA1cos2A15， 4又SVABCbc2115bcsinAbc315，∴bc24，解方程组得b6，c4， 28bc24122222由余弦定理得abc2bccosA64264，所以a8．故选A．

410．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若basinCcosC0， 则A（ ） A．

 4B．

 3C．

3 4D．

2 3【答案】C

【解析】sinBsinACsinAcosCcosAsinC，

﹣cosC0， ∵basinCcosC0，可得：sinBsinAsinC

∴sinAcosCcosAsinCsinAsinCsinAcosC0，∴cosAsinCsinAsinC0， ∵sinC0，∴cosAsinA，∴tanA1， ∵

3A，∴A．故答案为C． 24cosAcosabcBoscCc，C的对边分别是a，b，11．在△ABC中，内角A，B，若

，则△ABC是（ ） A．直角三角形 【答案】D 【解析】∵代入， 得

sinAsinBsinC，∴进而可得tanAtanBtanC， cosAcosBcosCabc，由正弦定理得：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinCcosAcosBcosCB．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

∴ABC，则△ABC是等边三角形．故选D．

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a23，c22，1tanA2c， tanBb则C（ ） A．

 6B．

 4C．

3或 44D．

 3【答案】B

【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：1去分母移项得：sinBcosAsinAcosB2sinCcosA， 所以sinABsinC2sinCcosA，

sinAcosB2sinC，

cosAsinBsinB13所以cosA．由同角三角函数得sinA，

22由正弦定理

二、填空题

ac32，解得sinC所以C或（舍）．故选B． sinAsinC44213．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c22，b2a216，则角C的最大值为_____； 【答案】

 6【解析】在△ABC中，由角C的余弦定理可知

b2a2aba2b2c23a2b23， 2cosC2ab2ab4ab222又因为0C，所以Cmax6．当且仅当a22，b26时等号成立．

14．已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角分别为A，B，C，则

sinBcosB的取值范围是_________．

【答案】1，2

【解析】∵△ABC的三边a，b，c成等比数列， ∴acb2a2c22accosB2ac2accosB，得cosB1， 27又∵0B，∴B0，，B，，

44123可得sinBcosB2sinB1，2，故答案为1，2． 415．在△ABC中三个内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若Cb2sincoAs2sAin，且Ccosa23，则△ABC面积的最大值是________

【答案】3 【解析】∵b2sinCcosA2sinAcosC，

∴bcosA2sinCcosAsinAcosC2sinAC2sinB， 则

b222a23，结合正弦定理得，即tanA3，A sinBcosA3cosAsinAsinAb2c2a21，化简得b2c212bc2bc， 由余弦定理得cosA2bc21133，故答案为3． 故bc4，S△ABCbcsinA422216．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数

列，b3，

则△ABC面积的取值范围是__________．

333【答案】2，4

【解析】∵△ABC中A，B，C成等差数列，∴B

acb32由正弦定理得sinAsinCsinB，∴a2sinA，c2sinC， sin3132ac3sinAsinC3sinAsinA ∴S△ABCacsinB243． 333132331cos2A3sinAcosAsinAsinAcosAsinAsin2A 222242233333sin2Acos2Asin2A， 4442640A2∵△ABC为锐角三角形，∴，解得A．

6202A32∴

152A，∴sin2A1，

26666∴

33333333，． sin2A，故△ABC面积的取值范围是24224三、解答题

17．己知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（1）求角A的大小；

（2）若bc5，且△ABC的面积为3，求a的值． 【答案】（1）

3acosA2． csinC2；（2）21． 33sinAcosA2， sinCsinC【解析】（1）由正弦定理得，∵sinC0，∴3sinAcosA2，即sinA1．

6∵0A∴2A，∴A，∴A． 6666231（2）由S△ABC3可得SbcsinA3．∴bc4，

2∵bc5，∴由余弦定理得：a2b2c22bccosAbcbc21， ∴a21．

18．如图，在△ABC中，点D在BC边上，ADC60，AB27，BD4．

2．

（1）求△ABD的面积．

（2）若BAC120o，求AC的长． 【答案】（1）23；（2）7． 【解析】（1）由题意，BDA120

在△ABD中，由余弦定理可得AB2BD2AD22BDADcos120 即2816AD24ADAD2或AD6（舍）， ∴△ABD的面积S113DBDAsinADB4223． 222（2）在△ABD中，由正弦定理得代入得sinBADAB， sinBsinBDA2157，由B为锐角，故cosB， 141421， 7所以sinCsin60Bsin60cosBcos60sinB在△ADC中，由正弦定理得

2AC3，解得AC7． 2ADAC， sinCsinCDA∴217