2015年高考总复习三角恒等变换专题习题(附解析)

三角恒等变换专题习题

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

π5

1．已知α为锐角，cosα＝，则tan＋2α＝( )

54

A．－3

1

B．－

7

4C．－

3

D．－7

π252×24

解析 依题意得，sinα＝，故tanα＝2，tan2α＝＝－，所以tan＋2α

51－434

4

1－

31＝＝－.

471＋

3

答案 B

ππ32．已知cosx－＝－，则cosx＋cosx－的值是( )

633

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23A．－

3

2B．±

3

3

C．－1 D．±1

解析

π1333

cosx＋cosx－＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝

32222

π3cosx－＝－1.

6

3



31

cosx＋sinx＝22

答案 C

23．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( )

3

13A. 187C. 9

11B. 18

D．－1

271

24422解析 ∵cos2θ＝，∴sin2θ＝，∴sinθ＋cosθ＝1－2sinθcosθ＝1－(sin2θ)2

39211

＝. 18

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答案 B

π

4．已知α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值是( )

4

A．－1 B．1

C．2 D．4

πtanα＋tanβ解析 ∵α＋β＝，tan(α＋β)＝＝1，

41－tanαtanβ∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.

∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ

＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2.

答案 C

5.

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(2014·成都诊断检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B3443

的坐标为，和－，，则cos(α＋β)的值为( )

5555

24A．－

25

B．－

25

7

C．0

24D. 25

3443

解析 cosα＝，sinα＝，cosβ＝－，sinβ＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsin

5555344324

β＝·(－)－·＝－.选A.

555525

答案 A

6．若πsinα－

4

cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为( )

7

A．－

21B．－

2

1C. 2

7D. 2

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2

解析 ∵(sinα－cosα)＝－2(cos2α－sin2α)，

2

1

∴sinα＋cosα＝.

2

答案 C

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

π2

7．若tanα＋＝，则tanα＝________.

45

tanα＋12π

解析 ∵tanα＋＝＝，

41－tanα5

∴5tanα＋5＝2－2tanα.

3

∴7tanα＝－3，∴tanα＝－.

7

3

答案 －

7

8．(2013·江西卷)函数y＝sin2x＋23sin2x的最小正周期T为________．

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解析 y＝sin2x＋23sin2x＝sin2x－3cos2x＋3

π

＝2sin(2x－)＋3，所以T＝π.

3

答案 π

9．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cos

θ＝________.

15

25

25

解析 f(x)＝sinx－2cosx＝

1

π

5(sinx－cosx)＝5sin(x－φ)而sinφ＝

π

，

cosφ＝

，当x－φ＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值

25

5，即θ＝φ＋＋2kπ时，f(x)

2

π225

取最大值．cosθ＝cos(φ＋＋2kπ)＝－sinφ＝－＝－.

255

25

答案 －

5

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

θ2

3π

10．已知tan2θ＝(<θ<π)，求

42

2cos2＋sinθ－1

的值．

π

2cosθ＋

4

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3

解 ∵tan2θ＝＝， 21－tanθ4

2tanθ1∴tanθ＝－3或tanθ＝.

3

π

又θ∈(，π)，∴tanθ＝－3.

2

2cos2∴

θ2

＋sinθ－1

π

2cosθ＋

4

cosθ＋sinθ1＋tanθ＝＝ cosθ－sinθ1－tanθ1－31＝＝－. 1＋32

π11．已知函数f(x)＝2cosωx＋(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.

6

(1)求ω的值；

π56

(2)设α，β∈0，，f5α＋π＝－，

235

165

f5β－π＝，求cos(α＋β)的值．

617

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2π1

解 (1)∵T＝10π＝，∴ω＝.

ω5

1π(2)由(1)得f(x)＝2cosx＋，

65

5ππ6∵f5α＋＝2cosα＋＝－2sinα＝－.

325

34

∴sinα＝，cosα＝.

55

5π16∵f5β－＝2cosβ＝，

617

15

∴cosβ＝，sinβ＝.

1717

8

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

4831513

＝×－×＝－. 51751785

12．(2013·重庆卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋2

ab＝c2.

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(Ⅰ)求C；

2cosα＋Acosα＋B2，＝，求tanα的值． 5cos2α5

3

(Ⅱ)设cosAcosB＝

解 (Ⅰ)因为a2＋b2＋2ab＝c2，

由余弦定理有cosC＝

a2＋b2－c2－2ab2ab2

＝＝－.

2ab2

3π

故C＝.

4

(Ⅱ)由题意得

sinαsinA－cosαcosAsinαsinB－cosαcosBcos2α2＝. 5

2

因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝，

5

tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝2

tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝.①

5

25

，tan2αsinAsinB－

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3ππ2

因为C＝，A＋B＝，所以sin(A＋B)＝，

442

322

因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即－sinAsinB＝，解得sinAsinB＝

523222

－＝. 5210

由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.

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