2017年高三模拟试题专题汇编之三角函数的恒等变换含解析

一、选择题(本大题共18小题，共90.0分) 1.定义2×2矩阵（ ）

A.图象关于（π，0）中心对称 B.图象关于直线C.在区间fx）2.函数（=

上单调递增 D.周期为π的奇函数 sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）（ω＞0）在区间[

，]的值域是[-，

对称

=a1a4-a2a3，若f（x）=

，则f（x）

]，则常数ω所有可能的值的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.4 3.函数

是（ ）

A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 4.对函数f（x）=

的表述错误的是（ ）

个单位可得到f（x） 是f（x）的一个对称中

A.最小正周期为π B.函数y=sin2x向左平移C.f（x）在区间心

5.已知不等式f（x）=3-≤x≤

sin

•cos

+

cos2

-上递增 D.点

+m≤0，对于任意的

恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

C.m≤- D.-≤m≤

A.m≥6.函数y=

B.m≤

的最小正周期为（ ）

D.

A.2π B.π C.7.在△ABC中，

=

，则△ABC是（ ）

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰或直角三角形 D.等边三角形 8.已知f（α）=A.

B.- C.

D.-

，则f（-）的值为（ ）

9.已知函数

A，离A最近的两个最高点分别为B与C，则A.10.函数

A.1 B.

B.

C.

D.在区间

C.

•

图象上的一个最低点为

=（ ）

上的最小值为（ ） D.

11.sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（ ） A.

B.

C.

D.

12.若函数f（x）=cos（asinx）-sin（bcosx）没有零点，则a2+b2的取值范围是（ ） A.[0，1） B.[0，π2） C.13.已知函数

A.周期为π，且图象关于点周期为2π，且图象关于点

D.[0，π）

，则f（x）是（ ）

对称 B.最大值为2，且图象关于点对称 D.最大值为2，且图象关于

对称 C.对称

2

14.函数y=cosx+sinx-1的值域为（ ）

A. B.[0，] C.[-2，] D.[-1，]

fx）15.已知函数（=msinx+ncosx，且给出下列命题： ①

n为常数，是它的最大值（其中m，且mn≠0），

为偶函数

对称

②函数f（x）的图象关于点③

是函数f（x）的最小值

的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，

④函数f（x）的图象在y轴右侧与直线

P3，P4，„，则|P2P4|=π；

则正确的命题个数为（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

16.若将函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（ ） A.

B.

C.

D.

17.函数y=[cos（x+是（ ）

）+sin（x+）][cos（x+）-sin（x+）]在一个周期内的图象

A. B. C. D.

fx）18.设数（=

则sinα的值是（ ） A.0 B.-

x2x3，的所有正的零点从小到次为x1，„，设α=12x3++201，

C. D.1

二、填空题(本大题共10小题，共50.0分)

222

sinAsinB，则sin2Atan2B最大值是 ______ ． 19.在△ABC中若sinA+sinB=sinC-20.函数f（x）=sinx-cosx+x+1在

上的最大值为 ______ ．

-x），g（x）=

sin（

+x）cos（

+x）

21.若动直线x=t（t∈R）与函数f（x）=cos2（

的图象分别交于P、Q两点，则线段PQ长度的最大值为 ______ ． 22.对于函数①存在

，使

，给出下列四个命题： ；

对称；

②函数f（x）的图象关于直线

③存在φ∈R，使函数f（x+ϕ）的图象关于坐标原点成中心对称； ④函数f（x）的图象向左平移

就能得到y=-2cosx的图象．

其中正确命题的序号是 ______ ．

23.已知函数f（x）=sin2xcos2φ+cos2xsin2φ（φ＞0）的图象关于直线x=φ 的最小值为 ______ ． 24.函数f（x）=sinx-cos（x+25.若平面向量26.若

），x∈[0，π]的值域是 ______ ．

⊥

，则sin2θ的值是 ______ ．

对称，则

sinθ）=（cosθ，，=（1，-1），且

2

fx）fx）是函数（=sin2x+acosx（a∈R且为常数）的零点，则（的最大值是 ______

_

27.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=小为 ______ ．

28.使奇函数f（x）=sin（2x+θ）+（0，π））的值为 ______ ．

三、解答题(本大题共10小题，共120.0分)

cos（2x+θ）在[-

acosB，则角B的大

，0]上为减函数的θ（θ∈

29.已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．

30.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC （1）求角B的大小； （2）设向量，求的最大值．

31.已知函数f（x）=2

sin2（

+x）+2sin（

+x）cos（

+x）．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间及其对称中心；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且角A满足f（A）=a=3，BC边上的中线长为3，求△ABC的面积S．

32.已知函数

（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x值； （2）若方程

33.已知函数

．

在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1-x2）的值．

+1，若

（1）求函数f（x）的单调增区间；

（2）若直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，求实数a的取值范围．

34.已知向量=（sinx，-1），=（cosx，），函数f（x）=（+）•．

（1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）将函数f（x）的图象向左平移

个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角

）=

，sinB=cosA，求b的值．

A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（

35.在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为平方米，设∠BAC=θ．

（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；

（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．

36.已知向量（1）若（2）若t=1，且

，求t的值； ，求

的值．

为实数．

sin2ωx-37.已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2

（1）求ω的值及函数f（x）的单调减区间； （2）将函数f（x）的图象向左平移

（ω＞0）的最小正周期为π．

个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数y=g

（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．

cos（π-x）cosx 38.已知函数f（x）=sinxcosx+

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间[0，

2017年高三模拟试题专题汇编之三角函数的恒等变换含解析 答案和解析

【答案】

1.C 2.C 3.A 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.D 10.A 11.A 12.C 13.B 14.C 15.C 16.C 17.B 18.C 19.3-2 20.π+2 21.

]上的最大值和最小值．

22.②③ 23.24.[- ，

]

25.1 26. 27.60° 28.

•

=（

，1）•（

-cosx

，1-sinx）

29.解：（Ⅰ）f（x）==-

cosx-sinx+4=-2sin（x+）+4，

f（x）的最小正周期T=（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=又∵BC=3，

∴9=（b+c）2-bc． ∵bc≤∴

， ，

=π； ，

∴b+c≤2，当且仅当b=c取等号， ∴三角形周长最大值为3+2． 30.解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC， ∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC， ∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC， ∴2sinAcosB=sinA．（3分） 又在△ABC中，A，B∈（0，π）， 所以

，则

（6分）

（2）∵∴又所以当

=6sinA+cos2A=-2sin2A+6sinA+1，

．（8分）

，所以

，所以sinA∈（0，1]．（10分） 时，sin2（

的最大值为5．（12分） +x）+2sin（=2sin（2x+

cos+x）（）+

+x）=

[1-cos（

+2x）]+sin

f31.解：（Ⅰ）（x）=2（由-解得-+2x）=

sin2x+cos2x+

≤

，

+2kπ≤2x++kπ≤x≤

+2kπ，

+kπ，

+kπ，

+kπ]，k∈Z，

∴函数f（x）的单调递增区间为[-令2x+

=kπ，解得x=-++1， ）+）=

=，

+1， +，

， ），k∈Z；

则对称中心为（-（Ⅱ）f（A）=∴2sin（2A+∴sin（2A+解得A=

，

∵||=|-|=3，①，

BC边上的中线为3，则|+|=6，②， 由①②知∴∴|∴S=

•|•||

•=|

|=|•|

=|•|， |sin

=

． cos2x+），

+kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值1．

对称，且f（

）=1，

=

sin2x-•

+

， |•cos

=

，

32.解：（1）f（x）=sinxcosx-=

sin2x-=

cos2x=sin（2x-即x=

∴当2x-

（2）由（I）可知f（x）的图象关于直线x=∴x1+x2=

，即x1=

-x2，

∴cos（x1-x2）=cos（33.解：（1）函数=

+

sin2x=

-2x2）=cos（+-2x2）=sin（2x2-cosx+

）=f（x2）=．

=cosx（

cos（2x-）+

，

sinx）

由2kπ-π≤2x-解得kπ-

≤2kπ，k∈Z，

，k∈Z，

，kπ+

]，k∈Z；

，k∈Z时，f（x）取得最大值

．

；

≤x≤kπ+

即f（x）的增区间为[kπ-（2）由（1）可得当2x-当2x-

=2kπ，即x=kπ+

=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z时，f（x）取得最小值-

由直线y=a与函数f（x）的图象无公共点， 可得a的范围是a＞34.解：（1）向量函数f（x）=（=sin2x+sinxcosx-由2kπ-可得kπ-≤2x-+=

或a＜-．

=（cosx，

），

=（sinx，-1），）•sin2x-≤2kπ+

=（sinx+cosx，（1-2sin2x）=，k∈Z，

）•（sinx，-1） sin2x-cos2x=

sin（2x-），

≤x≤kπ+，k∈Z，

，kπ+）-）=

]，k∈Z；

sin2x，

即有函数f（x）的单调递增区间为[kπ-（2）由题意可得g（x）=g（

）=

sinA=，cosA=±

，

=±sin（2（x+

即sinA=，

在△ABC中，sinB=cosA＞0， 可得sinB=由正弦定理

， =

，

可得b===3．

35.解：（1）∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍， ∴

（

）2=3×

（

）2，∴AB=

AC，

∵S△ABC=∴AC=

2

=

，∴AB=

2

AC2sinθ=400，

，

在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB•ACcosθ=，

∴BC=40．

（2）设表演台的造价为y万元，则y=120，

设f（θ）=∴当0

（0＜θ＜π），则f′（θ）=

时，f′（θ）＜0，当

）上单调递减，在（

，

时，f′（θ）＞0， ，π）上单调递增，

∴f（θ）在（0，∴当θ=

时，f（θ）取得最小值f（）=1，

∴y的最小值为120，即表演台的最小造价为120万元． 36.解：（1）向量若

，则（2cosα-2sinα，sinα-t）=（

2

为实数， ，0），

，

可得cosα-sinα=即为2cosαsinα=1-

，平方可得sin2α+cos2α-2cosαsinα==

，（cosα＞0，sinα＞0），

由sin2α+cos2α=1，解得cosα+sinα=即有cosα=则t=sinα=

2

==，

，sinα=；

．

2

（2）若t=1，且，即有4cosαsinα+sinα=1，

22

即有4cosαsinα=1-sinα=cosα，

由α为锐角，可得cosα∈（0，1），即有tanα==，

则tan2α===， =sin2ωx-

=

=．

37.解：（1）由题意得：f（x）=2sinωxcosωx+2=sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx

）

由最小正周期为π=，得ω=1，

得f（x）=2sin（2x令2kπ+

≤2x-

） ≤2kπ+

，k∈Z． ，k∈Z，

，k∈Z．

个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到

整理得kπ+≤x≤kπ+

所以函数f（x）的单调减区间是（2）将函数f（x）的图象向左平移y=2sin2x+1的图象， ∴g（x）=2sin2x+1． 令g（x）=0，得x=kπ+

或x=kπ+

（k∈Z），

∴y=g（x）在[0，π]上恰好有两个零点，

若y=g（x）在[0，b]上至少有10个零点， 则b不小于第10个零点的横坐标即可， 即b的最小值为4π+

=

．

cos（π-x）cosx cos2x=

sin2x

cos2x-=sin（2x-）

38.解：函数f（x）=sinxcosx+化简可得：f（x）=

sin2x-

（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=（Ⅱ）∵x∈[0，∴2x-当2x-当2x-∈[==

，]上， ]

，即x=0时，函数f（x）取得最小值为，即x=

时，函数f（x）取得最大值为1-]上的最大值为1-，最小值为

． ． ．

∴f（x）在区间[0，

【解析】

1. 解：f（x）=cosx-sinx-由2kπ-≤2x+

≤2kπ+

22

cos（+2x）=cos2x+

≤x≤kπ+

sin2x=2sin（2x+），

，可得kπ-，k∈Z，函数单调递增，

∴令k=0得：函数f（x）在区间上单调递增，

故选：C．

先化简函数，再利用正弦函数的图象与性质，即可得出结论．

本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数的化简，属于中档题．

sinωxcosωx+cos2ωx， 2. 解：函数f（x）=化简可得：f（x）=

=sin（2ωx+

）

，

∵x∈[，]，f（x）∈[

）≤0， ， ，

，即

，]，

∴-1≤sin（2ωx+则而T=那么：sin（2ωx+当当x=

． 或

．

）=0的结果必然是

满足题意．

时，解得ω=时，解得ω=

满足题意．

∴常数ω所有可能的值的个数为2． 故选C：

利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，求出其范围，根据值域是[-，

]，建立关系，讨论常数ω所有可能的值．

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的

关键． 3. 解：令f（x）=

化简得：f（x）=-cos（x-+）cos（x+）=-cos2（x+）=-（=-=

最小正周期T=

cos（2x+） sin2x

．

，

cos（2x+）

f（-x）=sin（-2x）=-sin2x=-f（x）

sin2x是奇函数． ∴函数f（x）=

故选A．

将函数化为y=Asin（ωx+φ）或Acos（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质判断即可．

本题考查了三角函数的图象及性质和化简能力．属于基础题． 4. 解：函数f（x）=

函数的周期为：π，A正确； 函数y=sin2x向左平移

个单位可得到f（x）=sin2（x+

）=sin（2x+

），B正确；

=

=sin（2x+

）．

由x=

，可得

时，函数f（x）=1，点

，f（x）在区间上递增，C正确；

是f（x）的一个对称中心，不正确，D错误；

故选：D．

利用二倍角公式化简函数的解析式，然后判断选项的正误．

本题考查二倍角公式以及两角和的正弦函数的应用，正弦函数的解得性质的应用，考查计算能力． 5. 解：∵f（x）=3∴-m≥∵-∴-∴-sin（

+

sin

•cos

+

cos2

-+m=

sin

+

cos

+m≤0，

），

≤x≤≤≤

+

， ≤sin（

， +

）≤

，

∴-m≥．

∴m≤-，

故选：C．

利用根据二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，确定m的不等式关系，进而利用x的范围和正弦函数的性质确定

sin（

+

）的范围，进而求得m的范围．

本题主要考查了三角函数的化简求值，三角函数的最值问题，不等式恒成立的问题．涉及了知识面较多，考查了知识的综合性，属于中档题． 6. 解：∵y=∴T=

．

=

=tan（2x+

），

故选C． 将y=

的“弦”化“切”，求得y=tan（2x+

），利用正切函数的周期性

即可求得答案．

本题考查三角函数中的恒等变换应用，“弦”化“切”是关键，考查正切函数的周期性，属于中档题． 7. 解：由正弦定理可得∵

=

=

∴=，求得sinAcosA=sinBcosB

即sin2A=sin2B

∴A=B或2A+2B=180°，A+B=90° ∴三角形为等腰或直角三角形． 故选C

利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，进而化简整理求得sin2A=sin2B，进而

推断出A=B或A+B=90°，进而可推断出三角形的形状．

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形形状的判断．解题的关键是通过正弦定理把边转化为角的问题，利用三角函数的基础公式求得问题的解决． 8. 解：∵f（α）=∴f（-=-cos

π）=-cos（-=-．

=-cosα， π）=-cos（10π+

）

故选B．

先利用诱导公式及三角函数基本关系对函数的解析式进行化简整理，最后把x=入即可求得答案．

本题主要考查了三角函数中的恒等式的变换应用．属基础题．

sinxcosx-sinxsinx 9. 解：由三角函数公式化简可得f（x）==

sin2x-（1-cos2x）=）-，令2x+

，-），C（

=（

=sin2x+

cos2x-

代

=sin（2x+可得x=，

可取一个最低点A（同理可得B（∴∴

=（-•

，

）， ，

），

，2），=-+4，

，2），

故选：D．

由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+

）-，结合图象可得A、B、C的坐标，可

得向量的坐标，计算可得．

本题考查三角函数恒等变换，涉及图象的性质和向量的数量积的运算，属基础题． 10. 解：由函数∵x∈∴2x-当2x-∈[=

上， ，

]，

=

cos2x+

sin2x=sin（2x-）

时，函数f（x）取得最小值为1，

故选A．

利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，x∈

上时，求出

内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值． 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题． 11. 解：原式=

]

==

，

故选A

从题目的结构形式来看，本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式，但是题目又不完全符合，因此有一个整理的过程，整理发现，刚才直观的认识不准确，要前后两项都用积化和差，再合并同类项．

在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．本题开始考虑时差点出错，这是解题时好多同学要经历的过程．

12. 解：假设函数f（x）存在零点x0，即f（x0）=0， 由题意，cos（asinx0）=sin（bcosx0）， 根据诱导公式得：asinx0+bcosx0=2kπ+即，

sin（x0+φ）=2kπ+

，

（k∈Z），

|min，

要使该方程有解，则即，所以，a2+b2≥

≥

≥|2kπ+

（k=0，取得最小）， ，

，

因此，当原函数f（x）没有零点时，a2+b2＜

22

所以，a+b的取值范围是：[0，

）．

故答案为：C．

先假设函数存在零点x0，得出方程：

sin（x0+φ）=2kπ+

，再根据三角函数

的性质得出结果．

本题主要考查了函数零点的判定，涉及三角函数的诱导公式，辅助角公式，方程有解条件的转化，以及运用假设的方式分析和解决问题，属于难题． 13. 解：=sin[π-（x+=sin（x+=2[

）-）]-cos（x+

）

）] ）

cos（x+）-

sin（x+cos（x+]

=2sin[（x+=2sin（x-

）-），

∵x∈R，∴x-∈R，

∴-1≤sin（x-）≤1，

则f（x）的最大值为2； ∵ω=1，∴周期T=当x-=2π；

=kπ（k∈Z）时，f（x）图象关于某一点对称，

，即f（x）图象关于x=

对称，

∴当k=0，求出x=故选B

把f（x）解析式中的被减数中的角度-x变形为π-（x+）后，利用诱导公式变形，

提取2后，再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可求出f（x）的最大值；找出ω的值，利用周期公式即可求出f（x）的周期，令k=0即可求出函数图象的一个对称点

，即可得到正确的

选项．

此题考查了三角函数的恒等变形，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的对称性以及三角函数的最值，灵活运用三角函数的恒等变形把f（x）化为一个角的正弦函数是本题的突破点．

14. 解：∵函数y=cos2x+sinx-1=-sin2x+sinx=-故当sinx=

时，函数y取得最大值为

]．

+

，sinx∈[-1，1]，

；当sinx=-1时，函数y取得最小值为-2，

故函数y的值域为[-2，故选C．

由条件根据y=cos2x+sinx-1=-sin2x+sinx=-+，再利用二次函数的性质求得

函数的最值，可得函数的值域．

本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题． 15. 解：由于函数f（x）=msinx+ncosx=值， ∴

+∅=2kπ+

，k∈z，∴∅=2kπ+ sin（x+2kπ+）=

，∴tan∅=）= sin（x+

+

=1． sin（x+）=

）．

cosx，是偶函数，故①

sin（x+∅），且f（

）是它的最大

∴f（x）=

对于①，由于f（x+正确．

对于②，由于当x=②正确．

时，f（x）=0，故函数f（x）的图象关于点（，0）对称，故

对于③，由于 f（-小值，故 ③正确．

）= sin（- ）=-，是 函数f（x）的最

对于④，函数f（x）的图象即把函数y=sinx的图象向左平移 个单位得到

的，故|P2P4|等于一个周期2π，故 ④不正确． 故选：C． 由题意可得f（x）=是偶函数，故①正确． 对于②，由于当x=对于③，由于f（-时，f（x）=0，故②正确． ）=-，是 函数f（x）的最小值，故③正确．

sin（x+

），对于①，由于f（x+

）=

cosx，

对于④，由题意可得，|P2P4|等于一个周期2π，故 ④不正确．

本题考查两角和正弦公式，正弦函数的最值，对称性，奇偶性，函数图象的变换，得到 f（x）=

sin（x+

），是解题的关键，属于中档题．

2

16. 解：将函数f（x）=2sinxcosx-2sinx+1=sin2x+cos2x=移φ个单位， 可得y=

sin[2（x-φ）+

]=

sin（2x+

sin（2x+）的图象向右平

-2φ）的图象的图象．

，k∈Z，

再根据所得图象关于y轴对称，可得故φ的最小正值是

，

-2φ=kπ+

故选：C．

由条件利用二倍角公式化简函数的解析式，根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，以及正弦函数的图象的对称性求得

-2φ=kπ+

，k∈Z，从而得到φ的最小正值．

本题主要考查二倍角公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 17. 解：∵函数y=[cos（x+=cos2（x+=cos（2x+

）-sin2（x+）

）+sin（x+

）][cos（x+

）-sin（x+

）]

）

=-sin2x，

∴函数y的一个周期为π，且与y=sin2x的图象关于x轴对称； ∴满足条件的是选项B． 故选：B．

化简函数y，得出函数y的一个周期为π，且与y=sin2x的图象关于x轴对称，由此得出正确的选项．

本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目． 18. 解：令函数fx）=由题意得x1=

，x2=2+

=0，求得2s（x+

，x=4π+

）=-，+cosx≠0， ，

„，x215=014×π+

∴α=x+x2+3+„+x20=（+2+3+214）2π+2015×∴si（x+

）=-且1+osx≠0，

，

x=2kπ+π，k∈Z（盾，舍去）或x=kπ+故选：

由条件可得sinx+cosx-1，1cos≠0，x=2π+

，∈Z，

，k∈；从而求得α=x1x2+x3++20的值；

再利用导公式求得siα的．

题主要考数零的定义同角三角数的基本关系、诱导公的应，属于基础题．

sinAsinB，∴19. 解：∵△ABC中，有sin2A+sin2B=sin2C- ⇒cosC=则2A+2B=

2

，即C=

-2B）tanB=cos2B×

2

．

则sin2AtanB=sin（=cos2B×=

令1+cos2B=t，t∈（1，2），则cos2B×=-（t+

）

．

故t=时，sin2Atan2B最大值3-2

故答案为：3-2

sinAsinB，得由sin2A+sin2B=sin2C-则sin2AtanB=sin（

2

2

，可得角C． =cos2B×=

=-（t+

）

-2B）tanB=cos2B×

令1+cos2B=t，t∈（1，2），则cos2B×

即可

本题考查了三角恒等变形，正、余弦定理，不等式的性质，属于中档题． 20. 解：函数f（x）=sinx-cosx+x+1=则f′（x）=∵x∈∴x-∈[

，cos（x-，

]，

）+1，

sin（x-）+x+1．

令 f′（x）=0． 则：x=π或当x∈（

．

，π）时，f′（x）＞0，则f（x）在x∈（

，π）上单调递增，

）上单调递减．

当x∈（π，）时，f′（x）＜0，则f（x）在x∈（π，

∴当x=π，函数f（x）取得最大值为：π+2．

故答案为：π+2．

fx）fx）将函数（化简，求导函数，利用导函数的性质判断函数（的单调性，可得在上的最大值．

本题考查了三角函数的导函数的运用和化简计算能力．属于中档题． 21. 解：函数f（x）=cos（函数g（x）=

sin（

2

-x）=

+x）=

cos（

sin（2x+sin2t+

-

）=）=

sin2x+；

+x）cos（cos2x．

）

|．

由题意，|PQ|=|f（t）-g（t）|，即|PQ|=当sin（2t-

cos2t|=|sin（2t-

）取得最大值时，可得|PQ|的最大值．

=

．

∴|PQ|的最大值为1+故答案为：

．

利用三角函数的二倍角公式化简f（x）和g（x），|PQ|=|f（t）-g（t）|，即求=|f（t）-g（t）|的最大值．

本题考查了三角函数的二倍角公式化简计算能力和三角函数图象性质的运用，属于中档题． 22. 解：函数对于①：

，可得α+

=2sin（x+∈（

=

）， ），不存在

，可得x=

；∴①不对． ，当k=-1时，可

对于②：函数f（x）的对称轴方程为：x+得图象关于直线

对称．∴②对．

对于③：函数f（x+ϕ）=2sin（x+ϕ+），当ϕ+=kπ，即ϕ=时，图象关于

坐标原点成中心对称；

∴存在φ∈R，使函数f（x+ϕ）的图象关于坐标原点成中心对称；∴③对． 对于④：函数f（x）=2sin（x+

）的图象向左平移

，可得：2sin（x

+

）=2cos2x，

不能得到y=-2cosx的图象．∴④不对． 故答案为：②③． 函数

=2sin（x+

），依次对各结论考查可得答案．

本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公

式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．

23. 解：∵f（x）=sin2xcos2φ+cos2xsin2φ=sin（2x+2φ）的图象关于直线x=∴2×∴φ=

+2φ=kπ+-，

，

对称，

∵φ＞0，∴φ 的最小值为故答案为

．

，

f（x）=sin2xcos2φ+cos2xsin2φ=sin（2x+2φ）的图象关于直线x=2×

+2φ=kπ+

，即可求出φ 的最小值．

对称，可得

本题考查和角的正弦公式，考查三角函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

24. 解：∵f（x）=sinx-cos（x+=sinx-=-=

cosx+cosx+sin（x-sinx

）

sinx ）．

∈[-，

]

，

]．

x∈[0，π]，∴x-

∴函数f（x）=sinx-cos（x+故答案为：[-，

）的值域为[-

]．

通过两角和的余弦函数化简函数的表达式，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三

角函数的形式，求出函数的值域．

本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的定义域和值域，考查计算能力，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式是关键． 25. 解：因为⊥， 所以•=0， 即：cosθ-sinθ=0，

22

两边平方可得：cosθ-2sinθcosθ+sinθ=0， 可得：1-sin2θ=0，解得：sin2θ=1． 故答案为：1．

利用向量垂直，就是数量积为0，求出cosθ-sinθ=0，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．

本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题． 26. 解：∵∴f（∴1+

）=sina=0，

是函数f（x）=sin2x+acos2x（a∈R，为常数）的零点， +acos2

=0，

∴a=-2．

∴f（x）=sin2x-2cos2x =sin2x-cos2x-1=

sin（2x-）-1，

∴f（x）的最大值为故答案为：． f由（（2x-）=sin

+acos

2

．

fx）fx）=0，可求得a=-2，于是（=sin2x-2cosx转化为：（=

2

sin

）-1，从而可求f（x）的最大值．

）=0求得a的值是基础，利用辅助角公式转化是关键，

本题考查函数的零点，由f（

属于中档题．

acosB， 27. 解：由题意得，bsinA=

sinAcosB， 根据正弦定理得sinBsinA=

cosB， ∵0＜A＜π，∴sinA≠0，则sinB=

∴tanB=，

∵0°＜B＜180°，∴B=60°， 故答案为：60°．

由正弦定理化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B的大小． 本题考查正弦定理，特殊角的三角函数值的应用，注意内角的范围，属于基础题．

cos（2x+θ）28. 解：函数f（x）=sin（2x+θ）+． 化简可得：f（x）=2sin（2x+θ+

），

=kπ，k∈Z，

∵f（x）是奇函数，可得f（0）=0，即：θ+∴θ=kπ-．

在x∈[-，0]上为减函数；即k∈Z，

可得：．

．

综上可得：满足题意的θ的值为故答案为：

．

利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据f（x）是奇函数，可得f（0）=0，求出θ，x∈[-，0]上为减函数，确定θ的值．

本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公

式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题． 29. （Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．

本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的周期，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力． 30.

（1）利用正弦定理，结合A、B的范围求出求角B的大小； （2）设向量，直接化简，通过配方求出表达式，在

取得的最大值，即可．

本题是基础题，考查正弦定理的应用，向量的数量积，三角函数值的求法，考查计算能力，常考题型． 31.

（Ⅰ）先化简f（x），再根据正弦函数的图象和性质即可求出函数f（x）的单调递增区间及其对称中心，

（Ⅱ）先求出A，再根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式，以及三角形的面积公式计算即可．

本题考查了三角函数的化简以及正弦函数的图象和性质，向量的加减的几何意义和向量的数量积公式，以及三角形的面积公式，属于中档题． 32.

（1）利用二倍角公式和差角公式化简f（x），根据正弦函数的性质得出答案；

（2）求出f（x）的对称轴，得出x1与x2的关系，利用诱导公式化简即可得出答案． 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题． 33.

（1）运用两角差的余弦公式和二倍角公式，化简可得f（x），再由余弦函数的单调区间，解不等式可得所求增区间；

（2）求得f（x）的最值，即可得到a的取值范围．

本题考查三角函数的化简和求值，考查余弦函数的图象和性质，属于中档题． 34.

（1）运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；

（2）运用图象变换，可得g（x）的解析式，由条件可得sinA，cosA，sinB的值，运用正弦定理计算即可得到所求值．

本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，以及图象变换，考查解三角形的正弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题． 35.

（1）根据看台的面积比得出AB，AC的关系，代入三角形的面积公式求出AB，AC，再利用余弦定理计算BC；

（2）根据（1）得出造价关于θ的函数，利用导数判断函数的单调性求出最小造价． 本题考查了解三角形，函数最值计算，余弦定理，属于中档题． 36.

（1）运用向量的加减运算和同角的平方关系，即可求得cosα=

，sinα=

．进而得

到t的值；

（2）运用向量的数量积的坐标表示，结合条件的商数关系，求得tanα，再由二倍角的正切公式和和角公式，计算即可得到所求值． 本题考查向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查同角的基本关系式和二倍角正切公式及和角公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 37.

（1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，最小正周期为π．利用周期公式求ω的值，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；

（2）根据三角函数平移变换的规律，求出g（x）的解析式和周期以及g（x）零点，根据y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，结合三角函数零点可得范围．求出b的最小值．

本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，确定函数的解析

式是解决本题的关键．属于中档题． 38.

（Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期． （Ⅱ）x∈[0，

]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得

f（x）的最大值和最小值．

本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．