实习2-一元线性回归分析

一、目的：

通过对一元线性回归分析程序设计及完成算例，掌握一元线性回归分析的基本原理和方法。

二、方法概要 1、原始数据预处理

对n对原始数据（xi,yi）(i=0，1，…，n)数据进行预处理（见实验一）。

2、数学模型建立

（1）作散点图

一元线性回归只能处理两个变量之间的关系，它又被称为直线拟合，假设x为自变量，y为因变量，对预处理后n对数据（xi,yi）(i=0，1，…，n；其中nn)如果把各个点数据画在坐标纸上（作散点图），各点近似分布呈一条直线，则可用一元现行回归。

（2）选择数学模型

散点图

z

y

ˆabx （2-1） y（3）参数a, b的估计

ˆ为根据回归方程的得到的因变量y的计算值；a，b为回归方程中的系数；x为自变量。由于y测定结果中不可避免会有实验误差，因此用最小二乘法的原理估计回归直线中的系数a，b。

假设实验得到了n对数据（χ

i ，

ˆabx，则对于xy）(i=0，1，…，n)并得到了回归方程y的一系列变量x1 ，x2 ，…，xn，根据回归得到方程可得到因变量的一系列计算值

ˆ1abx1yˆ2abx2yˆnabxny

ˆ1(i=0，1，…，n)之间都有偏差，每一个实测值yi(i=0，1，…，n)与它相对应的一个计算值y也可称残差，计算公式：

ˆiyi(abxi) （2-2） viyiy所有测试数据的残差平方和为

1

ˆ][yi(abxi)]2 （2-3） Qev[yiy2i2i1i1i1nnnˆabx是合理的a，b为最佳。则所得到的残差平方和应达到最小值。 如果回归方程y得

nxiyinxyLxyi1bnLxxx2n(x)2 （2-4）

ii1aybx列出回归方程

yabx （2-5）

3、回归方程显著性检验

（1）将自变量n组试验数据依次代入回归方程（式3－8），求出因变量n个回归值

ˆiabxi （i1,2,,n） （2-6） y（2）计算S总，S回和S剩：

S总yi2ny2 （2-7）

i1nnˆi2ny2 （2-8） S回yi1S剩＝S总S回 （2-9）

（3）计算F统计量

S回1F （2-10）

S剩n2（4）计算相关系数r

r（5）查表检验

LxyLxxLyy （2-11）

给定显著水平α，查表得F(p,n2),r(n2)。若FF(p,2)或rr(n2)，则证明回归方程显著；否则，回归方程无实用价值。

4、对因变量进行区间估计

（1）估计剩余标准值

S剩(n2 （2-12）

2

（2）求出因变量估计值

ˆ。 当自变量取定值x时，由回归方程可求得 因变量数学期望的估计值y（3）写出预测区间

ˆ2,yˆ2） 95%置信区间:（yˆ3,yˆ3） 99.7%置信区间：（y三、算例

g（一）从某煤矿采集11个煤样，分别测定煤的发热量（QDT）和煤灰分（A）含量，获得如

g下表数据：

样品号 gQDT（千卡） 1 2 3 7.7 4 7.2 5 6.8 6 6.2 7 5.6 8 9 10 11 8.30 7.8 5.5 5.00 4.70 4.3 Ag 0.03 0.05 0.08 0.10 0.15 0.20 0.27 0.30 0.34 0.40 0.45 gg试建立煤的发热量（QDT）对煤灰分（A）的回归方程，并检验该回归方程的显著性。

（二）煤矿脉中13个相邻样本点处某种伴生金属的含量数据如下表：

样品号 距离x 含量y 样品号 距离x 含量y 1 2 106.42 8 11 110.59 2 3 108.20 9 14 110.60 3 4 109.58 10 15 110.90 4 5 109.50 11 16 110.76 5 7 110.00 12 18 111.00 6 8 109.93 13 19 111.20 7 10 110.49 试建立y对x的回归方程，并进行显著性检验。

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