2021年湖南省跨地区普通高等学校对口招生高考数学二轮联考
试卷（3月份）
一、选择题（共10小题）.
1．设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（ ） A．{﹣1，0，1，2} C．{0，1}
B．{0，1，2}
D．{x|﹣1＜x≤2，或x＝3}
2．“a＞3”是“函数f（x）＝（a﹣1）x在R上为增函数”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
，则直线l的方程是（ ）
D．
3．直线l垂直于直线y＝x+1，且l在y轴上的截距为A．
B．x+y+1＝0
，则
C．9
C．x+y﹣1＝0
等于（ ）
4．函数f（x）＝xα的图象经过点A．
B．3
D．81
5．若a＜0，则关于x的不等式（ax﹣1）（x﹣2）＞0的解集为（ ） A．{x|2＜x＜}
B．{x|＜x＜2}
C．{x|x＜或x＞2} D．{x|x＜2或x＞}
6．已知tanα＝﹣2，α∈（0，π），则cos（π﹣α）的值为（ ） A．
B．
C．
D．
7．已知向量与的夹角为45°，||＝A．2
B．﹣2
，||＝2，则•（﹣2）＝（ ）
C．4
D．﹣4
8．设函数f（x）＝（ex﹣e﹣x）+2，若f（m）＝1，则f（﹣m）＝（ ） A．1
B．﹣1
C．﹣3
D．3
9．在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．若三条直线两两相交，则这三条直线可以确定一个平面 B．若直线n与平面α内的一条直线平行，则m∥α
C．若直线m垂直于梯形的任意两边，则直线m垂直于梯形所在的平面 D．已知直线a，b，l，若a∥b，1⊥a，则l⊥b
10．若双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被曲线x2+y2﹣4x+2＝0所截得
的弦长为2．则双曲线C的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．已知某单位有职工120人，男职工有90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为 ．
12．设（2x﹣3）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a3＝ .（用数字作答） 13．已知向量
与向量＝（﹣3，4）方向相反，若|
|＝10，点A的坐标是（1，2），则
点B的坐标为 ．
14．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天种2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数为 天．
15．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a+Acos[
（x
﹣6）]（x＝1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温值为 ℃． 三、解答题（共60分．）
16．已知公差不为0的等差数列{an}的前3项和S3＝9，且a1，a2，a5成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn为数列{（﹣1）nan}的前n项和，求T100．
17．5个大小相同的小球分别标有数字1，1，2，2，3，把它们放在一个盒子中，现从中任意摸出2个小球，它们的标号分别为x，y，记ξ＝x+y． （Ⅰ）求P（ξ＝4）；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
18．已知函数f（x）＝loga（3x﹣1）（a＞0且a≠1），f（2）＝3． （Ⅰ）若x∈[1，2]，求f（x）的取值范围； （Ⅱ）求不等式f（x）≤3的解集．
19．如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面B1BCC1．
（Ⅱ）若二面角F﹣AE﹣C为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．
20．已知椭圆C：y2＝﹣4
＝1（a＞b＞0）过点（﹣1，），且椭圆的一个焦点与抛物线
x的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A（0，2），点P是椭圆C上的一个动点，求|
|的最值．
22题中选择一题作答．选做题：请考生在第21，如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号．
21．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，∠BDC＝45°．
（Ⅰ）求BD的长；
（Ⅱ）已知复数z的模为10，且以∠ABD为辐角，求z2．
22．某家电厂在扶贫攻坚活动中，要将100台洗衣机运往扶贫点．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车的运输费用为800元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车的运输费用为600元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运1次，求该厂所花的最少运输费用．
参
一、选择题（共10小题）.
1．设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（ ） A．{﹣1，0，1，2} C．{0，1}
B．{0，1，2}
D．{x|﹣1＜x≤2，或x＝3}
解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}， ∴A∩B＝{0，1，2}． 故选：B．
2．“a＞3”是“函数f（x）＝（a﹣1）x在R上为增函数”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解：若f（x）在R上为增函数，则a﹣1＞1，即a＞2， 则a＞3是a＞2的充分不必要条件， 故选：A．
3．直线l垂直于直线y＝x+1，且l在y轴上的截距为A．
B．x+y+1＝0
，则直线l的方程是（ ）
D．
C．x+y﹣1＝0
解：因为直线l垂直于直线y＝x+1， 所以设直线l的方程为y＝﹣x+b， 又因为l在y轴上的截距为所以b＝
，
，即
．
，
故所求直线l的方程为y＝﹣x+故选：A．
4．函数f（x）＝xα的图象经过点A．
B．3
，则
C．9 ，
等于（ ）
D．81
解：∵函数f（x）＝xα的图象经过点∴f（9）＝9α＝，
解得α＝﹣， ∴f（x）＝∴
，
＝3．
＝（）
故选：B．
5．若a＜0，则关于x的不等式（ax﹣1）（x﹣2）＞0的解集为（ ） A．{x|2＜x＜}
B．{x|＜x＜2}
C．{x|x＜或x＞2} D．{x|x＜2或x＞}
，
解：方程（ax﹣1）（x﹣2）＝0的两个根为x＝2和因为a＜0，所以
，
故不等式（ax﹣1）（x﹣2）＞0的解集为{x|故选：B．
}．
6．已知tanα＝﹣2，α∈（0，π），则cos（π﹣α）的值为（ ） A．
B．
C．
D．
解：∵tanα＝可得cosα＝﹣
＝﹣2，α∈（0，π），故α为钝角，再根据sin2α+cos2α＝1， ，
，
则cos（π﹣α）＝﹣cosα＝故选：C．
7．已知向量与的夹角为45°，||＝A．2
B．﹣2
，||＝2，则•（﹣2）＝（ ）
C．4 ，||＝2，
＝﹣2．
D．﹣4
解：向量与的夹角为45°，||＝则•（﹣2）＝故选：B．
＝2﹣2×
8．设函数f（x）＝（ex﹣e﹣x）+2，若f（m）＝1，则f（﹣m）＝（ ） A．1 解：设
故函数g（x）为奇函数，
B．﹣1
，则
C．﹣3
，
D．3
所以g（m）+g（﹣m）＝0， 即f（m）﹣2+f（﹣m）﹣2＝0， 所以f（m）+f（﹣m）＝4， 又f（m）＝1， 所以f（﹣m）＝3． 故选：D．
9．在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．若三条直线两两相交，则这三条直线可以确定一个平面 B．若直线n与平面α内的一条直线平行，则m∥α
C．若直线m垂直于梯形的任意两边，则直线m垂直于梯形所在的平面 D．已知直线a，b，l，若a∥b，1⊥a，则l⊥b
解：对于A：若三条直线两两相交，且不共点，则这三条直线可以确定一个平面，故A错误；
对于B：若直线n与平面α内的一条直线平行，且n⊄α，则m∥α，故B错误； 对于C：若直线m垂直于梯形的任意两条邻边，则直线m垂直于梯形所在的平面，故C错误；
对于D：已知直线a，b，l，若a∥b，1⊥a，则l⊥b，故D正确． 故选：D． 10．若双曲线C：
＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被曲线x2+y2﹣4x+2＝0所截得
的弦长为2．则双曲线C的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay＝0，
，
圆x2+y2﹣4x+2＝0即为（x﹣2）2+y2＝2的圆心（2，0），半径为双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣4x+2＝0所截得的弦长为2， 可得圆心到直线的距离为：
＝1＝
，
，
解得：e＝＝，
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．已知某单位有职工120人，男职工有90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为 36 ． 解：设样本容量为n， 则
，解得n＝36，
故答案为：36．
12．设（2x﹣3）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a3＝ 720 .（用数字作答） 解：由题意可知故答案为：720． 13．已知向量
与向量＝（﹣3，4）方向相反，若|
|＝10，点A的坐标是（1，2），则
＝720x3，
点B的坐标为 （7，﹣6） ． 解：∵∴设
与
方向相反， ，k＜0，且
，
∴﹣5k＝10，解得k＝﹣2， ∴
，设B（x，y），且A（1，2），
∴（x﹣1，y﹣2）＝（6，﹣8）， ∴
，解得
，
∴B（7，﹣6）． 故答案为：（7，﹣6）．
14．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天种2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数为 6 天．
解：由题设知：每天植树的棵数构成首项、公比均为2的等比数列{an}，设其前n项和为Sn，则Sn＝
，
令Sn≥100，可得：2n+1﹣2≥100，即2n+1≥102，解得：n≥6， 故答案为：6．
15．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a+Acos[
（x
﹣6）]（x＝1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温值为 20.5 ℃． 解：据题意得28＝a+A，解得a＝23，A＝5 所以令x＝10得故答案为：20.5
三、解答题（本大题共5小题，其中第21，22小题为选做题．共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知公差不为0的等差数列{an}的前3项和S3＝9，且a1，a2，a5成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn为数列{（﹣1）nan}的前n项和，求T100．
解：（Ⅰ）设公差为d且不为0的等差数列{an}的前3项和S3＝9，且a1，a2，a5成等比数列． 所以
，整理得
，
＝20.5 ＝a﹣A
解得：d＝2或0（0舍去）， 故a1＝1，
所以an＝1+2n﹣2＝2n﹣1． （Ⅱ）设
，
所以T100＝（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+（﹣197+199）＝2×50＝100．
17．5个大小相同的小球分别标有数字1，1，2，2，3，把它们放在一个盒子中，现从中任意摸出2个小球，它们的标号分别为x，y，记ξ＝x+y． （Ⅰ）求P（ξ＝4）；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）从盒中摸出球的基本事件总数为ξ＝4的事件数有
，
，
故P（ξ＝4）＝；
（Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4，5， 所以P（ξ＝2）＝
，
P（ξ＝3）＝＝，
P（ξ＝4）＝＝，
P（ξ＝5）＝＝，
所以ξ的分布列为： ξ P
2
3
4
5
数学期望为E（ξ）＝2×
+3×+4×
+5×＝3.6．
18．已知函数f（x）＝loga（3x﹣1）（a＞0且a≠1），f（2）＝3． （Ⅰ）若x∈[1，2]，求f（x）的取值范围； （Ⅱ）求不等式f（x）≤3的解集．
解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝loga（3x﹣1）（a＞0且a≠1），f（2）＝loga8＝3， ∴a＝2，函数f（x）＝log2（3x﹣1）．
若x∈[1，2]，3x﹣1∈[2，8]，故f（x）的取值范围为[1，3]．
（Ⅱ）不等式f（x）≤3，即 log2（3x﹣1）≤3，0＜3x﹣1≤8，解得0＜x≤2， 故不等式的解集为（0，2]．
19．如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面B1BCC1．
（Ⅱ）若二面角F﹣AE﹣C为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E是BC的中点，∴AE⊥BC， 又BC∩BB1＝B，BC、BB1⊂平面B1BCC1， ∴AE⊥平面B1BCC1，
∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AE⊥平面B1BCC1，则AE⊥BC，AE⊥EF， 可得∠FEC为二面角F﹣AE﹣C的平面角为45°， 在Rt△FCE中，可得FC＝EC， ∵等边三角形ABC的边长为2，∴AE＝则三棱锥F﹣AEC的体积V＝
，CE＝CF＝1，
．
20．已知椭圆C：y2＝﹣4
＝1（a＞b＞0）过点（﹣1，），且椭圆的一个焦点与抛物线
x的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A（0，2），点P是椭圆C上的一个动点，求|解：（Ⅰ）由抛物线方程可得p＝2
，则c＝
，
|的最值．
又，而c2＝a2﹣b2，联立解得a＝2，b＝1，
；
，所以m2＝4（1﹣n2）， ＝
所以椭圆的方程为
（Ⅱ）设点P的坐标为（m，n），则所以|＝
所以当n＝﹣时，|当n＝1时，|
＝
＝，n∈[﹣1，1]， |＝1．
，
22题中选择一题作答．选做题：请考生在第21，如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号．
21．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，∠BDC＝45°．
（Ⅰ）求BD的长；
（Ⅱ）已知复数z的模为10，且以∠ABD为辐角，求z2．
解：（Ⅰ）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝
＝5，sin∠ACB＝，cos∠ACB＝，
又在△BCD中，∠BDC＝45°， ∴由正弦定理可得：
，即
＝
，解得：BD＝
；
cos∠ABD＝sin∠DBC＝sin（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：（45°+∠ACB）＝sin∠ABD＝
又复数z的模为10， ∴z＝10（
+
i）＝7
+
i， ＝
，
（+）＝ ，
∴z2＝（7+i）2＝2（7+i）2＝96+28i．
22．某家电厂在扶贫攻坚活动中，要将100台洗衣机运往扶贫点．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车的运输费用为800元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车的运输费用为600元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运1次，求该厂所花的最少运输费用．
解：设甲型货车为x辆，则乙型货车为辆，0≤x≤4，运输费为y，
y＝800x+600×
＝6000﹣400x，∴当x＝4时，y取最小值为4400元． 即该厂所花的最少运输费用为4400元．
