2021年中考复习数学：几何专题复习之四边形压轴(一)

1．如图，面积为4的平行四边形ABCD中，AB＝4，过点B作CD边的垂线，垂足为点E，点E正好是CD的中点，点M、点N分别是AB、AC．上的动点，MN的延长线交线段

DE于点P，若点P是唯一使得线段∠MPB＝45°的点，则线段BM长x的取值范围

是 ．

2．如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，分别以AE、AF为对称轴，折叠△ABE、△ADF，使得AB和AD与AG重合，连接BG交AE于点H，连接

CG．

（1）HE：AH＝ ；

（2）S△AFE：S正方形ABCD＝ ．

3．如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为 ．

4．已知，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上F处，则tan∠DAE＝ ；点G在BF上，将矩形沿AG折叠，使点B落在AF上点H处，延长GH交AE于M，连接MF，则MF＝ ．

5．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有下列结论：①四边形NEMF为平行四边形；②DN2＝MC•NC；③△DNF为等边三角形；④当AO＝

AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的序号 ．

6．如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DF＝

AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的

是 ．（填序号）

7．如图，已知矩形ABCD，连接BD，EO垂直平分BD，连接BE，∠ABD＝∠EFO，AE＝3EF，CD＝

，求OD＝ ．

8．已知：正方形ABCD中，E为BC的中点，BP＝2AP，F为AD上一点，EF交CP于O，∠POF＝45°，若△APF的面积为，则线段EF的长为 ．

9．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上，点F在CB的延长线上，∠EAF＝45°，AE交BD于点G，tan∠BAE＝，BF＝2，则FG＝ ．

10．如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA＝．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE＝ ．

11．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝

四边形PEFG＝S△APG．以上结论正确的有

BF；④S△AEF为定值；⑤S （填入正确的序号即可）．

12．如图，矩形OABC中，点A，点C分别在x轴，y轴上，D为边BC上的一动点，现把△OCD沿OD对折，C点落在点P处．已知点B的坐标为（2

，2）．

（1）在点D沿BC从点C运动至点B的过程中，设点P经过的路径长度为l，则l的值 ；

（2）在点D沿BC从点C运动至点B的过程中，若点P落在同一条直线y＝kx+4上的次数为2次，请直接写出k的取值范围 ．

13．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点．若BM＝BE，MG＝1，则BN的长为 ，sin∠AFE的值为 ．

14．图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d的值为 ；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，C′．以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为 ．

15．如图，在正方形ABCD中，F在AB上，E在BC的延长线上，AF＝CE，连接DF、DE、

EF，EF交对角线BD于点N，M为EF的中点，连接MC，下列结论：①△DEF为等腰

直角三角形；②∠FDB＝∠FEC；③直线MC是BD的垂直平分线；④若BF＝2，则MC＝

；其中正确结论的有 ．

16．如图，矩形ABCD中，M是边CD的中点，连接AM，取AM的中点N，连接BN．若

AB＝2，BC＝3，则BN的长为 ．

17．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．G为对角线BD的延长线上一点，E为线段CD的中点，BF⊥AE，连接OF．已知∠DAG＝15°，下列说法正确的是 ．（将正确答案的序号填写下来） ①AG＝BD；②BF＝

；③

；④S△POF＝；⑤若E点为线段CD上一动点，当

AE＝EC+CQ时，AQ＝4．

18．如图，P为正方形ABCD的边BC的中点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，若正方形的边长为2，则CE＝ ．

19．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，点P，Q分别在线段AO，

BC上，且满足BQ＝AP，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM，使点M与B位于

PQ的两侧，当点P从点A运动到点O时，点M的运动路径长是 ．

20．在平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC＝90°，点E是对角线

AC上的点，连接BE．

（1）如图1，若AB＝AE＝AF，点G是BE的中点，则

＝ ．

（2）如图2，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEQ，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BQ的中点T，经过的路径长为a，

AC的长为b，则＝ ．

参

1．解：∵平行四边形ABCD的面积为4，AB＝4，BE⊥CD， ∴BE＝1，

∵点P是唯一使得线段∠MPB＝45°的点， 则可看成弦MB所对的圆周角∠MPB＝45°， 设△MBP外接圆的圆心为O，

则∠MOB＝90°， ∴

，

∵CD与AB之间的距离为1， ∴∴x≥

，

，

又∵MB≤4， ∴

故答案为：2

． ﹣2≤x≤4．

2．解：（1）∵AE为对称轴， ∴△AEG≌△AEB，BG⊥AE， ∴∠GHE＝∠BHE＝90°， 又∵∠HEB＝∠BEA，

∴△HEB∽△BEA， ∴

＝

，

在正方形ABCD中，设边长为2x， 则BE＝x，AB＝2x， ∴AE＝∴HE＝

＝

＝＝

＝

x，

x， x＝x＝1：4．

x，

∴AH＝AE﹣HE＝∴HE：AH＝

x﹣

x：

故答案为：1：4；

（2）设正方形ABCD的边长为2，则S正方形ABCD＝4， ∵S△AFE＝（S正方形ABCD﹣S△FCE），CE＝BE＝GE＝1， 设FG＝DF＝x，

则EF＝1+x，CF＝2﹣x， 在△EFC中， ∵EF2＝CE2+CF2，

∴（1+x）2＝（2﹣x）2+1， 解得：x＝， ∴CE＝2﹣x＝，

∴S△CFE＝×CE×CF＝××1＝， ∴S△AFE＝×（4﹣）＝，

∴S△AFE：S正方形ABCD＝：4＝5：12． 故答案为：5：12．

3．解：连接AO，

∵四边形CDGH是矩形，

∴CG＝DH，OC＝CG，OD＝DH， ∴OC＝OD，

∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD，∠CAD＝60°， 在△ACO和△ADO中，

，

∴△ACO≌△ADO（SSS）， ∴∠OAB＝∠CAO＝30°，

∴点O一定在∠CAB的平分线上运动， ∴当OB⊥AO时，OB的长度最小， ∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°， ∴OB＝AB＝×10＝5， 即OB的最小值为5． 故答案为：5．

4．解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝5， ∴AB＝DC＝3，BC＝AD＝5，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上F处，

∴∠DAE＝∠FAE，AD＝AF＝5，DE＝EF， 在Rt△ABF中，AB＝3，AF＝5， 由勾股定理得：BF＝∴FC＝BC﹣BF＝1，

设DE＝EF＝x，则EC＝3﹣x， 在Rt△CEF中，由勾股定理得，

＝4，

EC2+FC2＝EF2，

即（3﹣x）2+12＝x2， 解得：x＝， 则DE＝EF＝，

在Rt△ADE中，AD＝5，DE＝， ∴tan∠DAE＝

＝，

∵矩形沿AG折叠，使点B落在AF上点H处， ∴AB＝AH＝3，∠B＝∠AHG＝90°， ∴∠AHM＝90°， ∵∠DAE＝∠FAE， ∴tan∠DAE＝tan∠FAE＝∵AH＝3，

∴MH＝1，HF＝AF﹣AH＝2， 在Rt△FHM中，由勾股定理得，

＝，

MF＝＝， ．

∴故答案为：，

5．解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC，CD∥AB ∴∠DAN＝∠BCM， ∵BF⊥AC，DE∥BF， ∴DE⊥AC，

∴∠DNA＝∠BMC＝90°， 在△ADN和△CBM中，

，

∴△ADN≌△CBM（AAS）， ∴DN＝BM， ∵DF∥BE，DE∥BF，

∴四边形DFBE是平行四边形， ∴DE＝BF， ∴EN＝FM， ∵NE∥FM，

∴四边形NEMF是平行四边形，故①正确， ∵△ADN≌△CBM， ∴AN＝CM， ∴CN＝AM，

∵∠AMB＝∠BMC＝∠ABC＝90°，

∴∠ABM+∠CBM＝90°，∠CBM+∠BCM＝90°， ∴∠ABM＝∠BCM，

∴△AMB∽△BMC， ∴

＝

，

∵DN＝BM，AM＝CN， ∴DN2＝CM•CN，故②正确，

若△DNF是等边三角形，则∠CDN＝60°，∠ACD＝30°， 这个与题目条件不符合，故③错误， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∵AO＝AD， ∴AO＝AD＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠ADO＝∠DAN＝60°， ∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°， ∵DE⊥AC，

∴∠ADN＝ODN＝30°， ∴∠ODN＝∠ABD， ∴DE＝BE，

∵四边形DEBF是平行四边形， ∴四边形DEBF是菱形；故④正确． 故答案为：①②④．

6．解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴EB＝ED， ∵BO＝DO，

∴OE平分∠BOD，故①正确； ②∵∠BOD＝45°，BO＝DO， ∴∠ABD＝（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠ADB＝90°﹣27.5°＝22.5°，故②错误； ③∵四边形ABCD是矩形， ∴∠OAD＝∠BAD＝90°， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∵OB＝OD，BE＝DE， ∴OE⊥BD，

∴∠BOE+∠OBE＝90°， ∴∠BOE＝∠BDA，

∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°， ∴∠ADO＝45°， ∴AO＝AD，

∴△AOF≌△ABD（ASA）， ∴OF＝BD，

∴AF＝AB， 连接BF，如图1，

∴BF＝AF，

∵BE＝DE，OE⊥BD， ∴DF＝BF， ∴DF＝

AF，故③正确；

④根据题意作出图形，如图2，

∵G是OF的中点，∠OAF＝90°， ∴AG＝OG， ∴∠AOG＝∠OAG，

∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD， ∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，

∴∠FAG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，

∴∠EAG＝90°，

∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°， ∴∠AEG＝45°， ∴AE＝AG，

∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确； ∴判断正确的是①③④． 故答案为：①③④．

7．解：如图，过点O作OM⊥BE，ON⊥DE于点M，N，

∵EO是BD的垂直平分线， ∴BE＝DE， ∴EO平分∠BED， ∴∠MEO＝∠NEO， ∵OM⊥BE，ON⊥DE， ∴∠EMO＝∠ENO， ∵EO＝EO，

∴△MEO≌△NEO（AAS），

∴OM＝ON，EM＝EN，且点N是AD的中点， ∵∠BDC+∠ADB＝∠OED+∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝∠OED＝∠OEF，

∵∠ABD＝∠EFO， ∴∠OFE＝∠ABD＝∠BDC， ∴∠OEF＝∠OFE， ∴OE＝OF，

∴由三线合一得，ME＝MF＝EF， ∵AE＝3EF， 设EF＝2a，

则AE＝6a，FM＝EM＝EN＝a， ∴DN＝AN＝AE+EN＝7a， ∴BE＝DE＝DN+NE＝8a， ∴AD＝14a，

在Rt△ABE中，根据勾股定理得，

BE2＝AE2+AB2，

即（8a）2＝（6a）2+（2解得a＝1， ∴AD＝14a＝14，

∴在Rt△ABD中，根据勾股定理得，

）2，

BD＝

∴OD＝BD＝2故答案为：2

＝． ．

＝4．

8．解：如图：过E作EM⊥OC，垂足为M， 过点O作ON⊥BC，垂足为N，

过点F作FP⊥BC，垂足为G，设EM＝x，

∴∠CME＝∠CBP＝90°， ∴△CME∽△BPC， ∵BP＝2AP＝CB， ∴

＝

＝

＝，

∴CM＝x，

又∵∠EOC＝∠POF＝45°， ∴OM＝x，OE＝

x，

＝

∴OC＝OM+CM＝x，CE＝∴正方形的边长为2CE＝∴AP＝

x，

x，

x，

在△COE中，S△COE＝OC•BM＝ON•EC， 解得：ON＝∴NE＝

x，

＝

x，

∵ON⊥BC，GF⊥BC， ∴ON∥FG， ∴△EON∽△EFG， ∴

＝

，

∴EG＝x，

）x＝

∴BG＝BE﹣EG＝（∵AB∥FPGAF∥BG， ∴四边形ABGF为矩形， ∴AF＝BG＝

x，

x，

•x•

•x＝，

∴S△APF＝AP•AF＝•解得：x＝

，

∵△EON∽△EFG， ∴∴EF＝

＝×

， ×．

＝

．

故答案为：

9．解：如图，过点E作EH⊥AC于点H，

则△EHC是等腰直角三角形， 设EH＝a，则CH＝a，CE＝在Rt△ABE中，∠ABE＝90°， ∴tan∠BAE＝∴BE＝AB， ∴BE＝CE＝∴AB＝BC＝2

＝，

a，

a， a，

∴AC＝4a，AH＝3a， ∴tan∠EAH＝

＝，

∵∠EAF＝∠BAC＝45°， ∴∠BAF＝∠EAH，

∴tan∠BAF＝tan∠EAH＝， ∵BF＝2，

∴AB＝6，BE＝CE＝3， ∴AE＝3∴EF＝5， ∵AD∥BC，

∴AD：BE＝AG：GE＝2：1， ∴GE＝

，

＝

：1， ：1，

，AF＝2

，

∵EF：GE＝5：

AE：BE＝3：3＝

∠GEF＝∠BEA， ∴EF：GE＝AE：BE， ∴△GEF∽△BEA， ∴∠EGF＝∠ABE＝90°， ∴∠AGF＝90°，

∴△AGF是等腰直角三角形， ∴FG＝

AF＝2

．

．

故答案为：2

10．解：如图，过点B作BF⊥EC于点F，

∵DE⊥AB，AD＝5，sinA＝∴DE＝4， ∴AE＝

＝3，

＝，

在▱ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12， ∴BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9， ∵CD∥AB，

∴∠DEA＝∠EDC＝90°，∠CEB＝∠DCE， ∴tan∠CEB＝tan∠DCE， ∴

＝

＝

＝，

∴EF＝3BF，

在Rt△BEF中，根据勾股定理，得

EF2+BF2＝BE2，

∴（3BF）2+BF2＝92， 解得，BF＝∴sin∠BCE＝故答案为：

， ＝．

＝

．

11．解：取AF的中点T，连接PT，BT． ∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形，

∴∠ABF＝∠APF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，

∵AT＝TF，

∴BT＝AT＝TF＝PT， ∴A，B，F，P四点共圆， ∴∠PAF＝∠PBF＝45°， ∴∠PAF＝∠PFA＝45°， ∴PA＝PF，故①正确，

将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM， ∵∠ADE＝∠ABM＝90°，∠ABC＝90°， ∴∠ABC+∠ABM＝180°， ∴C，B，M共线， ∵∠EAF＝45°，

∴∠MAF＝∠FAB+∠BAM＝∠FAB+∠DAE＝45°， ∴∠FAE＝∠FAM， 在△FAM和△FAE中，

，

∴△FAM≌△FAE（SAS）， ∴FM＝EF，

∵FM＝BF+BM＝BF+DE， ∴EF＝DE+BF，故②正确，

连接PC，过点P作PG⊥CF于G，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PGCW是矩形， 在△PBA和PCB中，

，

∴△PBA≌△PBC（SAS）， ∴PA＝PC， ∵PF＝PA， ∴PF＝PC， ∵PG⊥CF， ∴FG＝GC， ∵PB＝

BG，PD＝PW＝CG＝FG，

∴PB﹣PD＝（BG﹣FG）＝BF，故③正确，

∵△AEF≌△AMF，

∴S△AEF＝S△AMF＝FM•AB， ∵FM的长度是变化的，

∴△AEF的面积不是定值，故④错误， ∵A，B，F，P四点共圆， ∴∠APG＝∠AFB， ∵△AFE≌△AFM， ∴∠AFE＝∠AFB， ∴∠APG＝∠AFE， ∵∠PAG＝∠EAF， ∴△PAG∽△FAE， ∴

＝（

）2＝（

）2＝，

∴S四边形PEFG＝S△APG，故⑤正确， 故答案为：①②③⑤．

12．（1）如图1，

∵在运动过程中，OP＝OC始终成立， ∴OP＝2为定长，

∴点P在以点O为圆心，以2为半径的圆上， ∵点B的坐标为（2∴tan∠COB＝

＝

，2）， ，

∴∠COB＝60°，∠COP＝120°， ∴l＝

×2π×2＝π．

（2）在图1的基础上，取点E（0，4），过点E作⊙O（弧CP段）的切线EP′，切点为P′，连接PP′，如图2所示． ∵OE＝4，OP′＝2， ∴sin∠OEP′＝∴∠OEP′＝30°， ∴∠EOP′＝60°． ∵∠COP＝120°，

＝，

∴∠POP′＝60°． ∵OP＝OP′，

∴△OPP′为等边三角形， ∵OP＝2， ∴P（

，﹣1），P′（

，1）．

当点P在直线y＝kx+4上时，有﹣1＝∴k＝﹣

；

k+4，

当点P′在直线y＝kx+4上时，有1＝k+4， ∴k＝﹣

．

综上可知：若点P落在同一条直线y＝kx+4上的次数为2次，则k的取值范围为﹣≤k＜﹣

．

13．解：∵BM＝BE， ∴∠BEM＝∠BME，

∵AB∥CD， ∴∠BEM＝∠GCM， 又∵∠BME＝∠GMC， ∴∠GCM＝∠GMC， ∴MG＝GC＝1， ∵G为CD中点， ∴CD＝AB＝2． 连接BF,FM，

由翻折可得∠FEM＝∠BEM，BE＝EF, ∴BM＝EF， ∵∠BEM＝∠BME， ∴∠FEM＝∠BME， ∴EF∥BM，

∴四边形BEFM为平行四边形， ∵BM＝BE，

∴四边形BEFM为菱形， ∵∠EBC＝∠EFC＝90°，EF∥BG， ∴∠BNF＝90°， ∵BF平分∠ABN，

∴FA＝FN，

∴Rt△ABF≌Rt△NBF(HL)， ∴BN＝AB＝2．

∵FE＝FM,FA＝FN，∠A＝∠BNF＝90°， ∴Rt△AEF≌Rt△NMF(HL)， ∴AE＝NM， 设AE＝NM＝x，

则BE＝FM＝2﹣x，NG＝MG﹣NM＝1﹣x， ∵FM∥GC， ∴△FMN∽△CGN， ∴即

＝＝

, ,

(舍)或x＝2﹣

， ＝

﹣1． ，

解得x＝2+

∴EF＝BE＝2﹣x＝∴sin∠AFE＝故答案为：2；

＝

﹣1．

14．解：如图，连接FW，由题意可知点A′，O，C′在线段FW上，连接OB′，B′C′，过点

O作OH⊥B′C′于H．

∵大正方形的面积＝12， ∴FG＝GW＝2∵EF＝WK＝2，

∴在Rt△EFG中，tan∠EGF＝∴∠EGF＝30°， ∵JK∥FG，

∴∠KJG＝∠EGF＝30°， ∴d＝JK＝

＝

＝

，

，

GK＝（2﹣2）＝6﹣2

，

，

∵OF＝OW＝FW＝∴OC′＝

﹣

，

，C′W＝

∵B′C′∥QW，B′C′＝2， ∴∠OC′H＝∠FWQ＝45°， ∴OH＝HC′＝∴HB′＝2﹣（

﹣1， ﹣1）＝3﹣

，

）2＝16﹣8

，

∴OB′2＝OH2+B′H2＝（∵OA′＝OC′＜OB′，

﹣1）2+（3﹣

∴当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为（16﹣8故答案为：6﹣2

，（16﹣8

）π．

）π．

15．解：正方形ABCD中，AD＝CD， 在△ADF和△CDE中，

，

∴△ADF≌△CDE（SAS），

∴DE＝DF，∠ADF＝∠CDE，

∴∠EDF＝∠FDC+∠CDE＝∠FDC+∠ADF＝∠ADC＝90°， ∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确； ∴∠DFE＝45°,

∵正方形ABCD,BD为对角线， ∴∠NBE＝45°,

∵∠FDN+∠DFN+∠DNF＝∠NBE+∠BNE+∠NEB＝180°,∠NBE＝∠DFE＝45°,∠DNF＝∠

BNE,

∴∠FDB＝∠FEB,故②正确； 连接BM、DM，

∵M是EF的中点，△BEF、△DEF是直角三角形， ∴BM＝DM＝EF， 又∵BC＝CD，

∴直线CM是BD的垂直平分线，

过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°， ∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC， ∴MH是△BEF的中位线， ∴MH＝BF＝1， ∴CM＝

MH＝，故④正确；

综上所述，正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④．

16．解：过点N作GH∥AB，分别交BC于点G，交AD于点H，如图，

∵矩形ABCD，

∴AB＝CD，AD＝BC，∠C＝∠ABG＝90°，AB∥CD， ∴四边形CDHG，四边形GHAB为矩形， ∴∠BGN＝90°，GH＝CD＝AB，GH∥CD∥AB， ∴

＝

＝

，

∵N为AM中点， ∴MN＝AN，DH＝HA，

∴CG＝GB＝BC＝，H为DA的中点， ∴NH为△AMD的中位线， ∴NH＝MD， ∵M是CD的中点， ∴MD＝CD＝AB＝1， ∴NH＝，

∴GN＝GH﹣NH＝AB﹣NH＝， 在Rt△BGN中，由勾股定理得，

BN＝

故答案为：

＝．

，

17．解：①∵∠DAG＝15°， ∴∠GAO＝∠DAG+∠DAO＝60°， ∴∠G＝30°，AG＝2AO， ∵BD＝2AO， ∴AG＝BD，

∴①正确，符合题意． ②∵E为CD中点， ∴DE＝CD，

∵∠DAE+∠BAF＝90°，∠BAF+∠ABF＝90°， ∴∠BAF＝∠DAE， ∴tan∠BAF＝tan∠DAE＝∴BF＝2AF，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：

＝

＝，

AB＝

∴AF＝

＝AF＝2，

，

，BF＝2AF＝

∴②错误，不符合题意． ③∵E为CD中点，EC∥AB，

∴EC为△ABQ的中位线，C为BQ中点， ∴BQ＝2BC＝2AD， ∵AD∥BQ，

∴△ADP∽△QBP， ∴∴

＝

＝， ＝，

∴DP＝BD，OP＝OD﹣DP＝BD﹣BD＝BD，

∴＝＝＝，

∴③正确，符合题意． ④∵AB＝2，BQ＝2AB＝4， ∴AQ＝∵

＝

＝，

， ＝2

，

∴AP＝AQ＝

∴＝＝，

∴＝1﹣＝，

即S△POF＝S△AOP， ∵

＝，

∴S△AOP＝S△AOD＝×S正方形ABCD＝， ∴S△POF＝S△AOP＝

，

∴④错误，不符合题意． ⑤设ED＝x，EC＝2﹣x， 则即

＝＝

， ，

∴CQ＝，

＝

，

∴AE＝EC+CQ＝2﹣x+

在Rt△ADE中，由勾股定理得：

AE＝

∴

＝

＝， 或x＝﹣＝

，

，

解得x＝∴AE＝∵AD∥BQ，

（舍）．

∴∠DAE＝∠BQA， ∴sin∠DAE＝sin∠BQA＝∴AQ＝2AB＝4， ∴⑤正确，符合题意． 故答案为：①③⑤．

18．解：如图，过C作CH⊥AE于H， ∵AG＝GE， ∴AB＝BE， ∴∠BAE＝BEA， ∵BG⊥AE，

∴∠BGP＝∠CHP＝90°， ∵P为BC的中点， ∴BP＝CP，

在△BGP和△CHP中，

＝，

，

∴△BGP≌△CHP（AAS）， ∴BG＝CH，∠GBP＝∠PCH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC， ∴BC＝BE， ∴∠BCE＝∠BEC，

∵∠ABC＝∠ABG+∠GBP＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°， ∴∠GBP＝∠BAG， ∴∠PCH＝∠BEP， ∴∠HCE＝∠HEC， ∴CH＝EH， ∵∠CHE＝90°， ∴CE＝

CH，即CE＝BG，

在Rt△ABP中，AB＝2，BP＝BC＝1， ∴AP＝

＝

，

∵S△ABP＝AB•BP＝AP•BG， ∴BG＝∴CE＝故答案为

×＝

＝．

，

，

19．解：在正方形ABCD中，AB＝4∴AB＝BC＝∴AC＝∴AO＝4，

，

，

＝8，

①当P1在A点时，AP＝0， ∴BQ＝

AP＝0，

∴Q点在B点处，此时，∠BAO＝∠ABO＝45°，∠AOB＝90°， 即M1点在O点处；

②当P3在O点时，AP3＝4＝AO， ∴BQ＝

AP＝4，

∴Q3点在C点处，此时，∠ACD＝∠CP3M3＝45°，∠P3M3C＝90°， 即M3点在DC的中点处； ③当P2在AO中点时，AP2＝2， ∴BQ＝

AP＝2，

∴Q2点在BC中点处，M2点在P3M3中点处，证明如下：

当M2点在P3M3中点处，且P2M2Q2＝90°， 连接P3Q2， ∵P3、Q2为中点， ∴OQ2⊥BC，

∴四边形OQ2Q3M3是正方形， ∵OQ2＝AB＝2∴OM2＝∴Q2M2＝

＝

＝OM3， ，

＝

＝

，

过点P2作P2G⊥BC，此时P2为AO的中点，且P2G∥AB， 即在△ABC中，∵CP2＝AC﹣AP2＝6， 即∴P2G＝3

， ，

，GQ2＝＝

＝

， ，

＝

，

，

同理可得，CG＝3∴P2Q2＝∴P2M2＝

故M2点在OM3是中点处，即M点在OM3上运动， ∴OM3＝DC＝2

．

20．解：（1）∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF， ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠AFB，

∴∠BAF＝∠AFB， ∴AB＝BF， ∵AB＝AE＝AF， ∴AB＝AF＝BF， ∴△ABF是等边三角形， ∴∠ABF＝∠BAF＝∠AFB＝60°， 设AB＝AE＝AF＝x，则BF＝x， ∵∠BAE＝90°，点G是BE的中点， ∴BE＝

x，BG＝AG＝GE＝x，∠BAG＝∠ABG＝45°，

＝

，

∴∠GAF＝∠GBF＝15°，∴△BGF∽△BFE， ∴

＝

＝

， ；

故答案为：

（2）如图2中，在AC上取一点N，使得AN＝AB，连接BN，NQ，取BN的中点J，连接TJ．

∵△ABN，△BEQ都是等腰直角三角形， ∴BN＝∴

AB，BQ＝BE，∠ABN＝∠EBQ＝45°，

，∠ABE＝∠NBQ，

∴△ABE∽△NBQ，

∴＝，∠AEB＝∠BQN，

∵∠AEB+∠BEC＝180°， ∴∠BQN+∠BEC＝180°， ∴∠EBQ+∠ENQ＝180°， ∵∠EBQ＝∠ENQ＝45°， ∴∠ENQ＝135°，∠BNQ＝90°， ∵BJ＝JN，BT＝TQ， ∴TJ∥NQ，TJ＝NQ， ∴∠BJT＝∠BNQ＝90°， ∴点T的运动轨迹是线段JT， ∴a＝JT＝NQ＝

AE，

∵点E从A运动到C时，AE＝AC＝b， ∴a＝∴＝故答案为

b，

， ．