2021年中考数学：几何专题复习之四边形压轴(四)

1．如图，Rt△ABE中，∠B＝90°，AB＝BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥

BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论，其中正确

的是 ． ①DE平分∠HDC； ②DO＝OE； ③CD＝HF； ④BC﹣CF＝2CE； ⑤H是BF的中点，

2．如图，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点

F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是 ．

3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，若∠CEF＝45°，FN＝5，则线段BC的长

为 ．

4．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝6，∠D是锐角，CE⊥AD于点E，F是CD的中点，

连接BF，EF．若∠EFB＝90°，则CE的长为 ．

5．如图，在正方形ABCD中，E为AB上一点，过点E作EF∥AD．与AC、DC分别交于点G、F，H为

CG的中点，ED、AC交于点P，连接DE、EH、DH、FH．下列结论：

①EG＝DF；

②∠AEH+∠ADH＝180°； ③△EHF≌△DHC； ④PH2＝AP2+CH2； ⑤若

＝

，则3S△EDH＝5S△DHC，

其中结论正确的有 ．（填写序号）

6．我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“对底等腰梯形”，若一个“对底等腰梯形“的对角线长

为2，且该梯形的一个内角为75°，则这个梯形的面积等于 ．

7．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边DC上运动（不含端点），以AE为边作等腰直角三角形AEF，连接DF． 下面有四个说法： ①当DE＝1时，AF＝

；

②当DE＝2时，点B，D，F共线； ③当DE＝④当DE＝

时，三角形ADF与三角形EDF面积相等； 时，AD是∠EAF的角平分线．

所有正确说法的序号是 ．

8．如图，P为正方形ABCD的边BC的中点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，若正方形的边长为2，则CE＝ ．

9．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB＝8，DF＝3FC，则BC＝ ．

10．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠BAD的平分线交BC于点E，则DE＝ ．

11．如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°，点P是射线CE上的动点，线段AP的垂直平分线MN交AD于点F，连接PF，若△DPF是等腰三角形，则PF的长为 ．

12．边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，连结EC、FD，点G，H分别是EC、

DF的中点，连结GH，则GH的长为 ．

13．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②④GH＝

，其中正确结论的序号是 ．

＝

；③AD＝AH；

14．如图，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是 平方单位．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝14，E是BC边上一点，且BE＝6，连接AE．若∠CAE＝45°，则CE的长为 ．

16．如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，DF⊥AE交AB于点F，交AC于点G，若EG∥

AB，且BF＝1，则AF＝ ．

17．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 ．

18．如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边上一点，连接AE，BN⊥AE，垂足为M，交CD于点N，若tan∠BAE＝

，MN＝3，则线段AB的长为 ．

19．正方形ABCD中的边长为6，对角线AC、BD交于点O，E为DC边上一点，连接AE交BD于F，BG⊥AE于点G，连接OG，若∠DGE＝45°，则S△FGO＝ ．

20．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠ACB＝45°，D为AB边上一动点（不与点B重合），以

CD为边长作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值等于 ．

参

1．解：∵∠ABE＝90°，AB＝BE， ∴∠AEB＝∠BAE＝45°，AE＝

BE，

∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°， ∴∠DAE＝∠AEB＝45°，AD＝AE＝

BE，DH＝BE，AH＝AB，∠ABE＝∠AHD＝90°，

∴∠DAB＝∠ABE＝90°，AH＝DH＝AB＝BE， 又∵DC⊥BE，

∴四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝DH，AD＝BC＝∵DH＝DC，DE＝DE， ∴Rt△DEC≌Rt△DEH（HL），

∴HE＝EC，∠AED＝∠DEC＝67.5°，∠CDE＝∠HDE＝22.5°， ∴DE平分∠HDC，故①正确； ∵AB＝AH，∠BAE＝45°， ∴∠ABH＝∠AHB＝67.5°， ∴∠OHE＝∠OEH＝67.5°，

∴OH＝OE，∠DHO＝22.5°＝∠HDO， ∴DO＝HO，

∴OE＝OD，故②正确； 如图，连接CH，

BE，∠BCD＝∠DHE＝90°，

∵∠ABH＝67.5°， ∴∠CBH＝22.5°， ∴∠BFC＝67.5°， ∵HE＝EC，∠AEB＝45°， ∴∠ECH＝∠EHC＝22.5°， ∴∠HBC＝∠HCE，∠FCH＝67.5°， ∴BH＝CH，∠FCH＝∠BFC， ∴HC＝HF， ∴BH＝HF，

∴点H是BF的中点，故⑤正确， 如图，过点H作HN⊥BC于N，

∴HN∥CD， ∴△BHN∽△BFC， ∴

＝

，

∴FC＝2HN， ∵AE＝∴HE＝（

BE，AH＝BE，

﹣1）BE＝CE，

∵HN⊥BC，∠AEB＝45°， ∴HN＝

HE＝（﹣1）BE， ）BE，

﹣1）BE﹣（2﹣

）BE＝2（

﹣1）BE，

∴CF＝2HN＝（2﹣

∵BC﹣CF＝BE+CE﹣CF＝BE+（∴BC﹣CF＝2CE，故④正确；

∵∠HFD＝180°﹣67.5＝112.5°，∠HDF＝45°， ∴∠HFD≠∠HDF， ∴HF≠DH，

∴HF≠CD，故③不合题意， 故答案为：①②④⑤．

2．解：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，

∵DC∥AB， ∴PQ⊥AB，

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝45°，

∴△PEC是等腰直角三角形， ∴PE＝PC，

设PC＝x，则PE＝x，PD＝6﹣x，EQ＝6﹣x， ∴PD＝EQ，

∵∠DPE＝∠EQF＝90°，∠PED＝∠EFQ， ∴△DPE≌△EQF（AAS）， ∴DE＝EF， ∵DE⊥EF，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∵DC＝BC，∠DCE＝∠BCE＝45°，CE＝CE， ∴△DEC≌△BEC（SAS）， ∴DE＝BE， ∴EF＝BE， ∵EQ⊥FB， ∴FQ＝BQ＝

BF，

∵AB＝AD＝6，F是AB的中点， ∴BF＝3， ∴FQ＝BQ＝PE＝∴CE＝∴DE＝∴EF＝DE＝

， ，

＝

，

，PD＝

＝，

如图2，过点F作FH⊥AC于点H，

∵AD＝CD＝6， ∴AC＝6

∵DC∥AB， ∴△DGC∽△FGA， ∴

＝

＝2，

∴CG＝2AG， ∴AG＝2

，

﹣2

﹣

＝

，

∴GE＝AC﹣AG﹣CE＝6∵∠FAC＝45°，HF⊥AC， ∴∠FAC＝∠AFH＝45°， ∴AH＝HF，且AF＝3， ∴AH＝HF＝∴HG＝∴GF＝∵S△EFG＝∴S△EFG＝

，

＝

×GE×FH ×

，

＝，

＝，

∵将△EFG沿EF翻折，得到△EFM， ∴S△EFM＝

，FM＝GF＝

，∠DFE＝∠EFM＝45°，

∴∠DFM＝90°， ∵DF＝∴S△DFM＝

×3

＝×

＝

＝3，

，

∵△EDM的面积＝S四边形DFME﹣S△DFM＝S△DEF+S△EFM﹣S△DFM， ∴△EDM的面积＝故答案为：

．

×

×

+

﹣

＝

，

3．解：设EF＝x，

∵点E、点F分别是OA、OD的中点， ∴EF是△OAD的中位线， ∴AD＝2x，AD∥EF， ∴∠CAD＝∠CEF＝45°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝2x， ∴∠ACB＝∠CAD＝45°， ∵EM⊥BC， ∴∠EMC＝90°，

∴△EMC是等腰直角三角形， ∴∠CEM＝45°， 连接BE，

∵AB＝OB，AE＝OE ∴BE⊥AO ∴∠BEM＝45°， ∴BM＝EM＝MC＝x， ∴BM＝FE， 易得△ENF≌△MNB， ∴EN＝MN＝

x，BN＝FN＝5，

Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2， 即

解得，x＝2∴BC＝2x＝4故答案为：4

， ． ．

，

4．解：如图，延长BF交AD的延长线于Q，连接BE，设DE＝x，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DQ∥BC，AD＝BC＝5， ∴∠Q＝∠CBF，

∵DF＝FC，∠DFQ＝∠BFC， ∴△BCF≌△QDF（AAS），

∴BC＝DQ，QF＝BF， ∵∠EFB＝90°， ∴EF⊥QB， ∴EQ＝BE＝x+5， ∵CE⊥AD，BC∥AD， ∴CE⊥BC，

∴∠DEC＝∠ECB＝90°， ∵CE2＝DC2﹣ED2＝EB2﹣BC2， ∴（6

）2﹣x2＝（x+5）2﹣52，

整理得：2x2+10x﹣72＝0， 解得x＝4或﹣9（舍弃）， ∴BE＝9， ∴CE＝故答案为：2

＝．

＝2

，

5．解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD， ∴EF＝AD＝CD，∠ACD＝45°，∠GFC＝90°， ∴△CFG为等腰直角三角形， ∴GF＝FC，

∵EG＝EF﹣GF，DF＝CD﹣FC， ∴EG＝DF，故①正确；

②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH＝CH，∠GFH＝

∠GFC＝45°＝∠HCD，

在△EHF和△DHC中，

，

∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确； ∴∠HEF＝∠HDC，

∴∠AEH+∠ADH＝∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC＝∠AEF+∠ADF＝180°，故②正确； ④如图，将△DCH绕点D顺时针旋转90°，可得△DAQ，连接QP，

∴△DAQ≌△DCH，

∴AQ＝CH，DQ＝DH，∠ADQ＝∠CDH， ∵△EHF≌△DHC，

∴EH＝DH，∠EHF＝∠DHC， ∴∠DHE＝∠FHC＝90°， ∴∠EDH＝45°， ∴∠ADP+∠CDH＝45°， ∴∠ADP+∠ADQ＝45°＝∠EDH， 又∵QD＝DH，DP＝DP， ∴△QDP≌△HDP（SAS），

∴PH＝QP，∠QAD＝∠HCD＝45°， ∴∠QAP＝90°，

∴QA2+AP2＝QP2，

∴PH2＝AP2+CH2，故④正确； ⑤∵∴AE＝

，

BE，

∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH＝GH，∠FHG＝90°，

∵∠EGH＝∠FHG+∠HFG＝90°+∠HFG＝∠HFD， 在△EGH和△DFH中，

，

∴△EGH≌△DFH（SAS），

∴∠EHG＝∠DHF，EH＝DH，∠DHE＝∠EHG+∠DHG＝∠DHF+∠DHG＝∠FHG＝90°， ∴△EHD为等腰直角三角形，

过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：

设HM＝x，则DM＝2x，DH＝则S△DHC＝

×HM×CD＝

x，CD＝3x，

x）2＝x2，

x2，S△EDH＝×DH2＝×（

∴3S△EDH＝5S△DHC， 故⑤正确；

故答案为：①②③④⑤．

6．解：如图，AB＝CD，AD∥BC，BD＝BC＝2，∠C＝75°， 过A作AQ⊥BC于Q，过D作DH⊥BC于H， 则AQ∥DH， ∵AD∥QH，

∴四边形AQHD是平行四边形， ∴四边形AQHD是矩形， ∴AQ＝DH，AD＝QH， 在Rt△ABQ和Rt△DCH中，

，

∴Rt△ABQ≌Rt△DCH（HL）， ∴BQ＝CH， ∵BD＝BC，

∴∠BDC＝∠C＝75°，

∴∠DBC＝180°﹣75°﹣75°＝30°， 在Rt△DCH中， ∴DH＝∴BH＝

BD＝1，

＝

＝，

）＝2×（2

﹣2，

﹣2+2）×1＝

，

，

∴BQ＝CH＝BC﹣BH＝2﹣

∴AD＝QH＝BC﹣BQ﹣CH＝2﹣2（2﹣∴梯形ABCD的面积＝故答案为：

．

（AD+BC）•DH＝

7．解：当DE＝1时，则AE＝∵△AEF是等腰直角三角形， ∴AF＝

＝＝，

AE＝，故①正确；

当DE＝2时，如图1，过点F作DH⊥CD，交CD的延长线于H，

∵△AEF是等腰直角三角形， ∴AE＝EF，∠AEF＝90°， ∴∠AED+∠FEH＝90°， ∵∠AED+∠DAE＝90°， ∴∠DAE＝∠FEH， 在△AED和△EFH中，

，

∴△AED≌△EFH（AAS）， ∴AD＝HE＝4，DE＝HF＝2， ∴DH＝4﹣2＝2＝HF，

∴∠HDF＝45°，

∵∠HDF+∠ADH+∠ADB＝180°， ∴点B，点D，点F三点共线，故②正确； 当DE＝

时，由②可得，△AED≌△EFH，

，AD＝HE＝4，

∴DE＝HF＝∴DH＝

，

∴S△ADF＝

×AD×HD＝×4×

＝3，S△EDF＝

×DE×HF＝××＝，

∴S△ADF≠S△EDF，故③错误； 当DE＝

时，如图2，在AD上截取DN＝DE，连接NE，

∵∠ADC＝90°，DN＝DE＝，

，

∴∠DNE＝∠DEN＝45°，NE＝∵AN＝AD﹣DN＝∴∠NAE≠22.5°，

∵△AEF是等腰直角三角形， ∴∠EAF＝45°， ∴∠FAD≠∠EAD，

≠NE，

∴AD不是∠EAF的平分线，故④错误； 故答案为：①②．

8．解：如图，过C作CH⊥AE于H， ∵AG＝GE， ∴AB＝BE， ∴∠BAE＝BEA， ∵BG⊥AE，

∴∠BGP＝∠CHP＝90°， ∵P为BC的中点， ∴BP＝CP，

在△BGP和△CHP中，

，

∴△BGP≌△CHP（AAS）， ∴BG＝CH，∠GBP＝∠PCH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC， ∴BC＝BE， ∴∠BCE＝∠BEC，

∵∠ABC＝∠ABG+∠GBP＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°， ∴∠GBP＝∠BAG， ∴∠PCH＝∠BEP， ∴∠HCE＝∠HEC， ∴CH＝EH， ∵∠CHE＝90°，

∴CE＝CH，即CE＝BG，

BC＝1，

在Rt△ABP中，AB＝2，BP＝∴AP＝∵S△ABP＝∴BG＝∴CE＝故答案为

×

＝

，

AB•BP＝AP•BG，

＝

＝．

，

，

9．解：延长EF和BC，交于点G，

∵3DF＝4FC， ∴

，

∵矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E， ∴∠ABE＝∠AEB＝45°， ∴AB＝AE＝8，

∴直角三角形ABE中，BE＝

＝8

，

又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F， ∴∠BEG＝∠DEF，

∵AD∥BC， ∴∠G＝∠DEF， ∴∠BEG＝∠G， ∴BG＝BE＝8

，

∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC， ∴△EFD∽△GFC， ∴

，

设CG＝x，DE＝3x，则AD＝8+3x＝BC， ∵BG＝BC+CG， ∴8+3x+x＝8解得x＝2∴

故答案为：6

． ． ．

10．解：如图，过点E作EF⊥AD于点F，

在矩形ABCD中，∠B＝∠BAD＝90°， ∵EA是∠BAD的平分线， ∴∠DAB＝∠EAF＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴AB＝BE，

∴矩形ABEF是正方形，

∴AB＝BE＝EF＝AF＝4， ∴DF＝AD﹣AF＝6﹣4＝2， ∴DE＝故答案为：2

． ＝

＝2

．

11．解：①如图，作DQ⊥PF于点Q，设PF＝x，

∵四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°， ∴∠ADC＝120°， ∵△DPF是等腰三角形， ∴DF＝DP，FQ＝PQ＝∠FDQ＝∠PDQ＝∴DF＝

＝

PF＝x，

ADC＝60°， x，

∵MN垂直平分AP， ∴AF＝PF＝x， ∵AD＝AF+DF， ∴x+

x＝4，

；

解得x＝6﹣2

②第二种情况如图所示：

∵MN垂直平分AP， ∴AF＝PF，

∵四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°， ∴∠ADP＝∠C＝60°， ∵△DPF是等腰三角形， ∴△DPF是等边三角形， ∴PF＝DF＝AF，

∵AD＝AF+DF＝2PF＝4， ∴PF＝2，

综上所述：PF的长为6﹣2故答案为：6﹣2

或2．

或2．

12．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4， ∵E，F分别是边AB，BC的中点，

∴AE＝CF＝∵AD∥BC， ∴∠DPH＝∠FCH，

，

在△PDH和△CFH中，

，

∴△PDH≌△CFH（AAS）， ∴PD＝CF＝2， ∴AP＝AD﹣PD＝2， ∴PE＝

，

∵点G，H分别是EC，FD的中点， ∴GH＝

EP＝．

13．解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3， ∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∴∠CDE＝∠BAE，DE＝AE，

∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG， ∴△ABG≌△CBG（SAS）， ∴∠BAE＝∠BCF， ∴∠BCF＝∠CDE， 又∵∠CDE+∠CED＝90°， ∴∠BCF+∠CED＝90°，

∴∠CHE＝90°， ∴CF⊥DE，故①正确； ∵CD＝6，CE＝3， ∴DE＝＝＝3

，

∵S△DCE＝∴CH＝

CD×CE＝DE×CH，

，

∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH， ∴△ECH∽△FCB， ∴∴CF＝

， ＝3

， ，

∴HF＝CF﹣CH＝∴

，故②正确；

如图，过点A作AM⊥DE于点M，

∵DC＝6，CH＝∴DH＝

，

＝＝

，

∵∠CDH+∠ADM＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°， ∴∠CDH＝∠DAM，

又∵AD＝CD，∠CHD＝∠AMD＝90°， ∴△ADM≌△DCH（AAS）， ∴CH＝DM＝∴MH＝DM＝又∵AM⊥DH， ∴AD＝AH，故③正确； ∵DE＝3∴HE＝

，DH＝，

，

，

，AM＝DH＝，

，

ME＝HE+MH＝

∵AM⊥DE，CF⊥DE， ∴AM∥CF， ∴

＝

，

∴＝，

∴HG＝，故④正确．

综上，正确的有：①②③④． 故答案为：①②③④．

14．解：（1）当正方形的边长和平行线垂直时，

正方的边长应该为3，所以正方的面积为：3×3＝9．

（2）如图，将两条平行的虚线之间分为三段，使每一段长为1个单位， 由题意可知：△AEB≌△AHD≌BFC≌CGD， 所以当正方形如图放置时，正方形的边长为：所以正方形的面积为：故答案为9或5．

×

＝5．

＝

．

15．解：方法一：如图，过点C作CF⊥AE延长线于点F，

在Rt△ABE中，AB＝14，BE＝6， 根据勾股定理，得

AE＝

∵∠CAE＝45°， ∴CF＝AF，

＝＝，

∴EF＝AF﹣AE＝CF﹣，

∵∠B＝∠F＝90°，∠AEB＝∠CEF， ∴△AEB∽△CEF， ∴∴

＝＝

＝

， ＝，

，

解得CF＝∴CE＝29．

方法二：如图，过点E作EF⊥AC于点F，

在Rt△ABE中，AB＝14，BE＝6， 根据勾股定理，得

AE＝＝＝2，

在Rt△AEF中，∠CAE＝45°， ∴AF＝EF＝设CE＝x， ∵tan∠ACB＝∴

＝

＝，

，

AE＝×2＝2，

∴CF＝，

在Rt△EFC中，根据勾股定理，得

CF2+EF2＝EC2，

∴[

]2+（2

）2＝x2，

解得x＝29或x＝﹣11.6（舍去）， ∴CE的长29． 故答案为：29．

16．解：设AE与FG交于点O，如图：

∵AE平分∠BAC， ∴∠FAE＝∠GAE； ∵DF⊥AE，

∴∠AOF＝∠AOG＝90°， ∴∠AFO＝∠AGO， ∴AF＝AG； ∵EG∥AB， ∴∠GEA＝∠FAE， ∵∠FAE＝∠GAE， ∴∠GEA＝∠GAE， ∴AG＝EG，

又∵AF＝AG， ∴AF＝EG，

∴四边形AFEG为菱形， ∴AG＝EG＝AF＝EF，EF∥AC． ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠AFO＝∠CDG，

∵∠AFO＝∠AGO，∠CGD＝∠AGO， ∴∠CDG＝∠CGD， ∴CD＝CG＝AB，

设AG＝EG＝AF＝EF＝x（x＞0）， ∵BF＝1，

∴CD＝CG＝AB＝x+1， ∵EF∥AC， ∴△BFE∽△BAC， ∴BF：BA＝EF：AC，

∴1：（x+1）＝x：（x+x+1） ∴x（x+1）＝2x+1， 解得：x1＝故答案为：17．解：如图：

（舍），x2＝．

．

当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2＝

CE．

当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP． 由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝∴点P的运动轨迹是线段P1P2， ∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．

∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点， ∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2． ∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°． ∴∠DP2P1＝90°． ∴∠DP1P2＝45°．

∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2， ∴BP的最小值为BP1的长．

在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2， ∴BP1＝2

．

CF．

∴PB的最小值是2故答案是：2

．

18．解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD， ∴∠BAE+∠ABM＝90°， ∵BN⊥AE，

∴∠MBE+∠ABM＝90°， ∴∠BAE＝∠MBE， ∵tan∠BAE＝∴AB＝2BE， ∴BC＝2BE， ∴E是BC的中点，

同理可证：N是CD的中点， 设BE＝a，

则CN＝a，AB＝2a， ∴AE＝BN＝∴BM＝BN﹣MN＝

＝

＝

，

a，

a﹣3，

＝

，

∵tan∠BAE＝tan∠BAM＝∴AM＝2

a﹣6，

在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，AB＝2a， ∴AB2＝AM2+BM2， ∴4a2＝（2

a﹣6）2+（a﹣3）2，

整理，得7a2﹣10解得a1＝∵

，a2＝

×

a+15＝0，

， ﹣3＜0，

a﹣3＝

∴不符合题意，舍去，

． ．

∴AB＝2a＝2故答案为：2

19．解：过D作DM⊥BG，交BG的延长线于M，BM交AD于H，过D作DN⊥AE于N，

∵AE⊥BG，

∴∠BAG+∠ABG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADE＝90°， ∴∠BAG+∠DAE＝90°， ∴∠DAE＝∠ABG， 在△ABH和△DAE中，

，

∴△ABH≌△DAE（ASA）， ∴AH＝DE，

同理得：△AGH≌△DNE， ∴AG＝DN，

∵∠DGE＝45°＝∴DM＝DN，

∠MGE＝∠MGD，

∴AG＝DM＝DN，

又∵∠M＝∠AGH，∠AHG＝∠DHM， ∴△AGH≌△DMH（AAS）， ∴AH＝DH＝3＝DE， 由勾股定理得：BD＝∵AB∥DE， ∴△ABF∽△EDF， ∴

∴AF＝2EF， ∵AF+EF＝3∴AF＝2

，

，OF＝4，

﹣3

＝

，

， ＝2，

＝6

，AE＝

＝3

，

同理得：DF＝4∵sin∠ABG＝∴∴AG＝

， ，

∴FG＝AF﹣AG＝2∵S△AOF＝∴S△FGO＝故答案为：

﹣

×

＝×

， ＝3，

×AO×FO＝

×3＝．

，

20．解：如图，过点E作EM⊥BA于M，过点C作CN⊥BA交BA的延长线于N，过点A作AH⊥BC于

H．

在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，AC＝2∴AH＝CH＝AC•cos45°＝

，

，

，

在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝10，AH＝∴BH＝

∴BC＝BH+CH＝4∵S△ACB＝∴CN＝4，

在Rt△ACN中，AN＝

＝

•BC•AH＝

＝

，

•AB•CN，

＝3

，

＝2，

∴BN＝BA+AN＝12，设BD＝x，则DN＝12﹣x， ∵四边形EFCD是正方形，

∴DE＝DC，∠EDC＝∠EMD＝∠DNC＝90°， ∴∠EDM+∠ADC＝90°，∠ADC+∠DCN＝90°， ∴∠EDM＝∠DCN， ∴△EMD≌△DNC（AAS）， ∴EM＝DN＝12﹣x， ∴S△DBE＝∵﹣

•BD•EM＝

•x•（12﹣x）＝﹣

x2+6x＝﹣（x﹣6）2+18，

＜0，

∴当x＝6时，△BDE的面积的最大，最大值为18． 故答案为18．