湖南省2019年普通高等学校对口招生考试数学试题及答案

数

学

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.共4页，时量120分钟，满分120分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A1,3,B0,a,且AB{0,1,2,3}，则aA.0C.2

2.“x4”是“x2”的A．充分不必要条件C．充分必要条件

B.1D.3



B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

3.过点P(1,1)且与直线3x4y0平行的直线方程是A、4x3y70C、4x3y10

B、3x4y10D、3x4y10

4.函数f(x)log2x(x[1,8])的值域为A、[0,4]

B、[0,3]

C、[1,4]

D、[1,3]

5.不等式x(x1)0的解集是A、{x|x1}C、{x|1x0}

B、{x|x0}D、{x|x1或x0}

3

6.已知tan，且为第二象限角，则sin

4

4433A、B、C、D、

55557、已知A,B为圆x2y21上两点，O为坐标原点，若|AB|2，则OAOBA、

32

B、0C、

12

D、2

数学试题第1页（共7页）8.函数f(x)Asinx2（A为常数）的部分图像如图所示，则A＝

A、1B、2C、3D、-19.下列命题中，正确的是

A．垂直于同一条直线的两条直线平行B．垂直于同一个平面的两个平面平行

C．若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则该直线与平面平行D．一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直

10.已知直线l:axby1(a,b为常数）经过点（(cos,sin)）则下列不等式一定成

33立的是

A、a2b21

B、a2b21

C、ab1D、ab1二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．在一次射击比赛中，某运动员射击20次的成绩如下表所示：单次成绩（环）次数则该运动员成绩的平均数是748.5（环）；8696104

12．已知向量a(1,0)，b(0,1)，c(13,14)，且cxayb，则xy＝_____27_____；13．(ax1)的展开式中5

x的系数为10，则a______2________；14.将2，5，11三个数分别加上相同的常数，使这三个数依次成等比数列，则m____1______；2

15．已知函数f(x)(xR)为奇函数，g(x)(xR)为偶函数，且f(x)g(x)x4x1，求f(2)g(2)_____-13_______．三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22题为选做题．满分60分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分10分）已知数列an为等差数列，若a11,（I）求数列an的通项公式；

a23，求：

数学试题第2页（共7页）（II）设bn(1)an，数列{bn}的前n项和为Tn，求T100.(Ⅰ)解:设数列an公差为d，则da2a12

故an

n

1(n1)22n1(1)n(2n1)

（Ⅱ）解：bn

T10013579...197199

(13)(57)(911)...(197199)

250100

17.（本小题满分10分）10件产品在有2件不合格品，每一次取一件，有放回地抽取三次，用表示取到不合格品的次数，求：（I）随机变量的分布列；

（II）三次中至少有一次取到不合格品的概率．（I）解：随机变量的可能取值为0，1，2，3，则

4

P(0)C0()3

351251412

P(2)C2()2

355125故的分布列为

1448

P(1)C1()1()2

35512511

P(3)C3()3

35125012348121P

125125125125（II）三次中至少有一次取到不合格品的概率为

61

P(1)1

125125

数学试题第3页（共7页）18.（本小题满分10分）2

x,0x2,

已知函数f(x)

6x,2x4.

（I）画出f(x)的图象；（II）若f(m)2,求m的取值范围．（I）解：作f(x)的图象如下所示：m22

（II）由得2m4，6m2，故m的取值范围为[2,4]19.（本小题满分10分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBC1,ABC900,D为AC的中点。（Ⅰ）证明：BD平面ACC1A1；（Ⅱ）若直线BA1与平面ACC1A1所成的角为30，求三棱柱ABCA1B1C1的体积。（Ⅰ）证明：

0

AA1底面ABC

AA1BD

ABBC,D为AC的中点。ACBD

又

ACAA1A

BD平面ACC1A1

数学试题第4页（共7页）（Ⅱ）解：连结A1D，由BD平面ACC1A1知，直线BA1与平面ACC1A1所成的角为DA1B

故DA1B=30

0

0在ABC中，由ABBC1,ABC90，可得BD

2，2在DA1B中，由tanDA1B

6BD3，可得DA1

2DA13从而AA1

DA1DA2=26214411

VABCA1B1C1SABCAA1=111

2220.（本小题满分10分）x2

已知椭圆C:y21.2

（I）求椭圆C的离心率；（II）已知点M(1,0)，直线yx1与椭圆Ｃ相交于A，B两点，求ABM的面积．（I）解：由题意得，a

2,ca2b21，故椭圆C的离心率为e

c12a22x22

（II）解:将yx1代入C:y21得3x4x0

2设A(x1,y1),B(x2,y2)，则|AB|

424(11)()2=33|101|1(1)

2点M(1,0)到直线yx1的距离为d2

14214

2SABM|AB|d

2233数学试题第5页（共7页）选做题：请考生在第21题，22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第２１题计分，作答时，请写清题号．21．（本小题满分10分）如图，在直角三角形ABC中，ACB90，ABC60，BC2，M为ABC内一点，0

0

BMC900，且MC1.（Ⅰ）求AM的长；（Ⅱ）求sinAMB的值.（Ⅰ）解:由ACB900

，ABC600

，BC2得AB4

又由BC2，BMC900，MC1可得MBC300

，BM3，又ABC600，从而MBA300

在ABM中，由余弦定理得AM

AB2BM22ABBMcosABM

16324332

7

（Ⅱ）解：由余弦定理，得cosAMB

AM2BM2AB2

2AMBM



7316

21273



7所以sinAMB1

2149287

数学试题第6页（共7页）22.（本小题满分10分）某企业拟生产产品A和产品B，生产一件产品A需要新型材料2千克，用3个工时；生产一件产品B需要新型材料1千克，用2个工时.生产一件产品A的利润为1600元,生产一件产品B的利润为1000元.现有新型材料200千克,问该企业在不超过360个工时的条件下,如何规划生产,才能使企业获得的总利润最大?并求出总利润的最大值.解：设生产产品A和产品B分别为x件，y件，公司获利为Z元，则z1600x1000y

2xy2003x2y360

由题意得：

x0y0

当x40,y120时，Zmax160040100012018400（元）

数学试题第7页（共7页）