实用文档之初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

（2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题）

问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点）

出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： B 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A，连结AB交l于 点P，则PAPBAB的值最小

例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三

A

l

P

A′

角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

（3）当AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长。

例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示） （1）求S△DBF;

(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF; (3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。

例4、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx3交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D

（1）求a，b及sinACP的值 （2）设点P的横坐标为m

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值； ②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由.

12

例5、如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=

经过点A(4,0)与点（-2,6）. （1）求抛物线的函数解析式；

（2）直线m与⊙C相切于点A，交y于点D.动点P在线段OB上，从点O

出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；

（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标.

32,抛物线yaxbx4

例1、证明：（1）∵△ABE是等边三角形，

∴BA=BE，∠ABE=60°．

∵∠MBN=60°， ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．

又∵MB=NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分） 解：

（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．（7分）

②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM+BM+CM的值最小．（9分）

理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM=EN， ∵∠MBN=60°，MB=NB， ∴△BMN是等边三角形． ∴BM=MN． ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分） 根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（11分）

例2、 解：（1）设所求抛物线的解析式为：ya(x1)4，依题意，将点

2B（3，0）代入，得： a(31)40 解得：a＝－1∴所求抛物线的解析式为：y(x1)4

（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称， 在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①

设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），

∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线

22y(x1)24，得

y(21)43 ∴点E坐标为（2，3）

又∵抛物线y(x1)4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D ∴当y＝0时，(x1)40，∴x＝－1或x＝3 当x＝0时，y＝－1＋4＝3, ∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3） 又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1， ∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………② 分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：

222kb0  解得：

2kb3k1 b1过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1

∴当x＝0时，y＝1 ∴点F坐标为（0，1） ∴DF=2………………………………………③ 又∵点F与点I关于x轴对称， ∴点I坐标为（0，－1） ∴EIDE2DI2224225………④

又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值， ∴只要使DG＋GH＋HI最小即可

由图形的对称性和①、②、③，可知， DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小

设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：yk1xb1(k10)，

分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入yk1xb1，得：

2k1b13b 11 解得：k12b11

过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1

∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝

12； ∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（12，0）

∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI 由③和④，可知： DF＋EI＝225 ∴四边形DFHG的周长最小为225。 （3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB， 要使，△DNM∽△BMD，只要使

NMMDMDBD即可， 即：MD2NMBD………………………………⑤

设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD， ∴NMAMBDAB

再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝32，AB＝4

∴ MNAMBDAB(1a)324324(1a)

∵MD2OD2OM2a29， ∴⑤式可写成： a29324(1a)32 3或a3（不合题意，舍去） 23∴点M的坐标为（，0）

2解得：a又∵点T在抛物线y(x1)4图像上，

2315时，y＝ 22315 ∴点T的坐标为（，）.

22 ∴当x＝例3、

解：（1）∵点F在AD上，∴AF2=a2＋a2，即AF=2a。 ∴DFb2a。 ∴SDBF1113DFAB（b2a）bb2ab。 2222（2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD， ∴四边形AFDB是梯形。

∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底。 由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等， ∴SDBFSABD12b。 2（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆。

第一种情况：当b＞2a时，存在最大值及最小值， ∵△BFD的边BD=2b，

∴当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值。

12b22ab如图，当DF⊥BD时，S△BFD的最大值=2b(， b2a)22212b22abS△BFD的最小值=2b(。 b2a)222

第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值，

b22abS△BFD的最大值=。

2

例4、解：（1）由x+1=0，得到x=－2，∴A（－2，0）。 由x+1=3，得到x=4，∴B（4，3）。 ∵y=ax2+bx3经过A、B两点，

12121a=4a2b3=02∴，解得。

116a+4b3=3b=2设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）。 ∴根据勾股定理，得AE=5。 ∵PC∥y轴，∴∠ACP=∠AEO。 ∴sinACP=sinAEO=OA225。 AE55（2）①由（1）可知抛物线的解析式为y=x2121x3。 2 m2m3，Cm， m+1。 由点P的横坐标为m，得Pm，121212∴PC= 在

1111m+1m2m3m2+m+4。 2222Rt△PCD

中

，

595125， PDPCsinACP=m2+m+4=m12+5525595。 <0，∴当m=1时，PD有最大值55532②存在满足条件的m值，m=或。

29 ∵

例5、解：（1）将点A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入y=ax+bx中，得方

2程组16a+4b=0，

4a-2b=6112a=解之，得2.∴抛物线的解析式为y=x-2x.

2b=-2（2）连接AC交OB于E.

∵直线m切⊙C于A ∴AC⊥m，∵ 弦 AB=AO， ∴ABAO .∴AC⊥OB，∴m∥OB.

∴∠ OAD=∠AOB，∵OA=4 tan∠AOB=

33，∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3. 44作OF⊥AD于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×

3=2.4. 5t秒时，OP=t,DQ=2t，若PQ⊥AD，则FQ=OP= t.DF=DQ－FQ= t. ⊿ODF中，t=DF=OD2OF2=1.8秒. （3）令R(x, x－2x) (0＜x＜4).

作RG⊥y轴于G 作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG= x，OG= x+2x.

122

122

534.∴IG=x IR= x,

3344121224122Rt⊿OIH中，OI=IG－OG=x－（x+2x）=x－x.HI=（x－x）.

33322525412222332211于是RH=IR－IH= x－（x－ x）=－ x+x=－ x+x=

3535155521121212－( x－)+ 54401111211121当x=时，RH最大.S⊿ROB最大.这时x－2x=×()－2×=－

44422115555.∴点R(,－)

43232Rt⊿RIG中，∵∠GIR=∠AOB ，∴tan∠GIR=