专题11.1 两个计数原理(精讲)-2021年新高考数学一轮复习学与练(解析版)

【考纲要求】

1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会解决简单的计数问题.

【知识清单】

知识点1. 分类加法计数原理

1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念

一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法.

知识点2. 分步乘法计数原理

1．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念

一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2…mn种不同的方法. 2. 两个原理的区别：

（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.

（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能完成这件事. 3.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的条件.

【考点梳理】

考点一 ：分类加法计数原理

【典例1】（2020·北京高三二模）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（ ） A．12 C．14

B．13 D．15

【答案】B 【解析】

将5月剩余的30天依次编号为1，2，330，

因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，且5月1日李明分别去了这四家超市配送，

所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送， 则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天； 李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天； 李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天； 李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天； 所以李明需要配送的天数为1050217， 所以整个5月李明不用去配送的天数是301713. 故选：B.

【典例2】（2012·北京高考真题（理））从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( ) A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】B

【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况． 【规律方法】

分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置． (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．

(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．

(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏． 【变式探究】

1.（2019·内蒙古集宁一中高二月考（理））书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( ) A．22种 【答案】A 【解析】

由题意知本题是一个分类计数问题，

解决问题分成三个种类，一是选择语文书，有10种不同的选法； 二是选择英语书，有7种不同的选法， 三是选择数学书，有5种不同的选法，

根据分类计数原理知，共有10+7+5＝22种不同的选法.

2. （2012·四川高考真题（文））方程𝑎𝑦=𝑏2𝑥2+𝑐中的𝑎,𝑏,𝑐∈{−2,0,1,2,3}，且𝑎,𝑏,𝑐互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ） A．2 【答案】B 【解析】

方程𝑎𝑦=𝑏2𝑥2+𝑐变形得所以，分b=-2,1,2,3四种情况：

，若表示抛物线，则

B．32条

C．36条

D．4

B．350种

C．32种

D．20种

（1）若b=-2，; （2）若b=\"2,\"

以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条； 同理 若b=1，共有9条； 若b=3时，共有9条. 综上，共有14+9+9=32种 【总结提升】

分类加法计数原理的两个条件：

(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；

(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理． 考点二 ： 分步乘法计数原理

【典例3】（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）

A.24 B.18 C.12 D.9 【答案】B

【解析】从EF的最短路径有6种走法，从FG的最短路径有3种走法，由乘法原理知，共6318种走法.故选B．

343，1221，【典例4】（2020·陕西高三二模（理））回文数指从左向右读与从右向左读都一样的正整数，如22，94249等.显然两位回文数有9个，即11，22，33，99；三位回文数有90个，即101，121，131，…，191，202，…，999.则四位回文数有______个，2nnN位回文数有______个. 【答案】90个 910n1 【解析】

由题意，可得4位回文数的特点为中间两位是相同的，千位和个位数相同但不能为0， 第一步，选千位和个位数字，共有9种选法； 第二步，选中间两位数字，共有10种选法； 由分步计数原理可得，4位回文数共有910=90个. 在2nnN位回文数中，

第一步，先选左边的第一个数字，共有9种选法； 第二步，分步选左边的第2,3,4,,n个数字，共有10101010=10n1种选法，

由分步计数原理可得，在2n位回文数中，共有910n1个. 故答案为：90；910n1. 【总结提升】

应用分步乘法计数原理的注意事项

(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事． (2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成． 【变式探究】

1. （2020·福建福州·高三其他模拟（理））数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1,2,3（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有（ ）

A．12种 C．72种 【答案】A 【解析】

B．24种 D．216种

分步填数，先填第一行三个数字，第二步填第二行的第一个数，第三步其它格子中的数字填法唯一，由分步计数原理可得． 【详解】

先填第一行，有3216种不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其它单元格唯一确定．根据分步乘法计数原理，共有6212种不同的填法． 故选：A

．

2. （2019·浙江高三其他模拟）五一假期从5月1日至4日调休4天，某班6名同学准备五一期间去参加社会实践做志愿者，每人社会实践一天，且甲乙两人不在同一天的不同安排方案有_________种（用数字作答）． 【答案】3072 【解析】

根据乘法原理和排除法知共有46453072种不同的安排方案. 故答案为：3072.

考点三 ： 计数原理的综合运用

【典例5】（2020·江苏扬州中学高一月考）已知集合P1,2,3,4,5，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）

A．49 【答案】A 【解析】

B．48 C．47 D．46

集合P1,2,3,4,5知：

1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：A的集合为{1}， 而B有 24115种集合，集合对(A,B)的个数为15； 2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：

A的集合为{2},{1,2}，而B有2317种，

集合对(A,B)的个数为2714；

3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：

A的集合为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}，而B有2213种，

集合对(A,B)的个数为4312；

4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：

A的集合为{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}，

而B有2111种，集合对(A,B)的个数为818； ∴一共有151412849个， 故选：A

【典例6】（2019·安徽六安一中高二月考（理））西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有__________种涂色方法．

【答案】420 【解析】

对于有5种涂色的方法， 对于青海有4种涂色方法，

对于有3种涂色方法，

对于四川：若与颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法； 若四川与颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法； 根据分步、分类计数原理，则共有5×4×3×（2×2+1×3）＝420种方法． 故答案为：420.

【典例7】（2020·浙江高三月考）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数. 【答案】198 【解析】

当用0时，0只能在个位，十位，百位三个位置之一.

当个位为0时，从2,4,6中再取1个数字(3种方法），从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），将这取得的3个数字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有3×3×6=54种方法；

当十位或百位为0时（2种不同方法），从2,4,6中再取1个数字放置在个位(3种方法），然后从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），在其余两位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有2×3×3×2=36种方法；

当没有用0时，从2，4，6中任取1个数字放置在个位(有3中不同的方法）；在从其余的2个非零偶数字中任取一个数字(2种不同方法），从1，3，5中任取2个数字（有3种不同方法)，将这3个数字在除个位之外的十百千3个位置上任意排列(有3!=6种不同的方法），由分步乘法计数原理方法数为3×2×3×6=108种． 根据分类加法计数原理，一共有没有重复数字的四位偶数54+36+108=198个， 故答案为：198. 【总结提升】

1. 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．

2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．

3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：

(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．

(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件． (3)对完成各步的方法数要准确确定．

4. 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．

(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化． (4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．

5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．

5. (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是的． (2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的． 6. 应用两种原理解题 (1)分清要完成的事情是什么？

(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相，“步”间互相联系； (3)有无特殊条件的； (4)检验是否有重漏．

7. 涂色问题：涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.

涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.

涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．

【变式探究】

1.（2020·浙江杭州高级中学高三期中）如图给三棱柱ABCDEF的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.

【答案】2 【解析】

首先先给顶点A,B,C染色，有A424种方法，再给顶点D染色，①若它和点B染同一种颜色，点E和点

3C染相同颜色，点F就有2种方法，若点E和点C染不同颜色，则点E有2种方法，点F也有1种方法，

则D,E,F的染色方法一共有2214种方法，②若点D和点B染不同颜色，且与点C颜色不同，则点

D有1种方法，点E与点C颜色不同，则点E有1种方法，则点F有1种方法，此时有1种方法；若最后E与C相同，则F有2种方法，则共有2种方法；点D与点C颜色相同，则点D有1种方法，则点E有2

种方法，则点F有2种方法，共有224种方法，所以点D和点B染不同，颜色共有1247种方法，

所以点D,E,F的染色方法一共有4711种，所以共有24112种方法. 故答案为：2

2.（2020·北京市第三十一中学高三期中）某公园划船收费标准如下：

两人船 船型 （限乘2人） 每船租金 90 （限乘4人） 100 （限乘6人） 130 四人船 六人船 （元/小时） 某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为___________元，租船的总费用共有__________种可能． 【答案】360 10 【解析】

由题意，当租两人船时，租金为

1690720元， 216当租四人船时，租金为100400元，

4当租一条两人船、两条四人船、一条六人船时，租金为901002130420元， 当租两条两人船、三条四人船时，租金为9021003480元， 当租两条两人船、两条六人船时，租金为9021302440元，

当租三条两人船、一条四人船、一条六人船时，租金为903100130500元， 当租四条两人船、两条四人船时，租金为9041002560元， 当租五条两人船、一条六人船时，租金为905130580元， 当租六条两人船、一条四人船时，租金为9061000元， 当租一条四人船、两条六人船时，租金为1001302360元. 所以租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能. 故答案为：360；10.

3.（浙江省金华市浦江县2018年高考适应）联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种． 【答案】25. 【解析】

联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资， 每种物资既可以全部给一个国家，

也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助， 需要分为：粮食和药品都有，方法1种； 一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法； 一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法；

两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法； 两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；

一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有3×（2+2）=12种方法； 方法总数是：25． 故答案为：25．