2022届新高考数学模拟试卷及答案解析(8)

2022届新高考数学模拟试题（8）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A{x|y1x}，B{x|(x1)(x3)0}，则(RA)A．[1，3) 2.复数z213iB( )

(1,3)

B．(1,3) C．(1，0][1，3) D．(1，0]（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于( )

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

A．第一象限

3.已知向量a(1,1)，2ab(4,3)，c(x,2)，若b//c，则x的值为( ) A．4

B．4

12C．2 D．2

4.已知xlog52，ylog25，z3，则下列关系正确的是( ) A．xzy 5.(x13B．xyz C．zxy D．zyx

x)8展开式的常数项为( )

A．56 B．28 C．56 D．28

x2y26.双曲线221(a0,b0)的一条渐近线与直线2xy30垂直，则双曲线的离心率

ab为( ) A．5 B．3 C．5 2D．2

7.已知圆(x2)2y21上的点到直线y3xb的最短距离为3，则b的值为( ) A．2或2

B．2或432

C．2或432

D．432或2

x,x08.已知函数f(x)2x，g(x)ex(e是自然对数的底数），若关于x的方程

e,x0g(f(x))m0恰有两个不等实根x1、x2，且x1x2，则x2x1的最小值为( )

1A．(1ln2)

21B．ln2

2C．1ln2

1D．(1ln2)

2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9.如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：

第1页（共18页）

营业收入占比 净利润占比 空调类 90.10% 95.80% 冰箱类 4.98% 0.48% 小家电类 3.82% 3.82% 其它类 1.10% 0.86% 则下列判断中正确的是( )

A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损

B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供

D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 10.下列命题中，是真命题的是( )

A．已知非零向量a,b,若abab,则ab

B．若p:x(0,)，x1lnx，则p:x0(0,)，x01lnx0 C．在ABC中．“sinAcosAsinBcosB”是“AB”的充要条件 D．若定义在R上的函数yf(x)是奇函数，则yf(f(x))也是奇函数

11.设函数f(x)的定义域为D，xD，yD，使得f(y)f(x)成立，则称f(x)为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是( ) A．yx2

B．y1 x1

C．yln(2x3) D．y2x3

12.如图，在棱长均相等的四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论正确的有( )

A．PA//平面OMN

B．平面PCD//平面OMN

C．直线PD与直线MN所成角的大小为90 D．ONPB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

第2页（共18页）

13.已知点M(1,2)在抛物线C:y22px(p0)上，则p ；点M到抛物线C的焦点的距离是 ．

114.已知cos(x)，则cos(2x)sin2(x)的值为 ．

333315.为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，每个教师只参与一道题目的改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为 种．

16.三棱锥PABC的4个顶点在半径为2的球面上，PA平面ABC，ABC是边长为3的正三角形，则点A到平面PBC的距离为 ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. Sn217．（10分）已知数列{an}中，a11，其前n项的和为Sn，且当n2时，满足an．

Sn1（Ⅰ）求证：数列{1}是等差数列； Sn22（Ⅱ）证明：S12S2Sn7． 418．（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且

3(sin2Bsin2C)42sinBsinC3sin2A． （1）求tanA的值； （2）若

3ca2sinB，且ABC的面积SABC22，求c的值． sinA19．（12分）如图，在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PAC为等边三角形，

ABAC，D是BC的中点．

（Ⅰ）证明：ACPD；

（Ⅱ）若ABAC2，求二面角DPAB平面角的余弦值．

20．（12分）某公司为了预测下月产品销俜情况，找出了近7个月的产品销售量y（单位：万件）的统计表：

第3页（共18页）

月份代码t 销售量y（万件） 1 y1 2 y2 3 y3 4 y4 5 y5 6 y6 7 y7 但其中数据污损不清，经查证yi9.32，tiyi40.17，i1i177(yi17iy)20.55．

（Ⅰ）请用相关系数说明销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系； （Ⅱ）求y关于t的回归方程（系数精确到0.01)；

（Ⅲ）公司经营期间的广告宣传费xiti（单位：万元）(i1，2，，7)，每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由．（毛利润等于销售金额减去广告宣传费）

参考公式及数据：72.6，相关系数r(ti1nit)(yiy)n(ti1n，当|r|0.75时认为两

it)2(yiy)2i1个变量有很强的线性相关关系，回归方程ybta中斜率和截距的最小二乘估计公式分别

ˆ为b(ti1nit)(yiy)i(ti1nˆ． ˆybt，at)273x2y2)，且离心率e21．（12分）已知椭圆C:221(ab0)过点(1,． 22ab（1）求椭圆C的方程； （2）已知斜率为

1的直线l与椭圆C交于两个不同点A，B，点P的坐标为(2,1)，设直线2PA与PB的倾斜角分别为，，证明：．

22．（12分）已知函数f(x)12x(a1)xalnx． 2（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）对任意的a[3，5]，x1，x2[1，3](x1x2)，恒有|f(x1)f(x2)||x1x2|，求实数的取值范围．

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2022届新高考数学模拟试题（8）

答案解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A{x|y1x}，B{x|(x1)(x3)0}，则(RA)A．[1，3)

B．(1,3)

B( )

(1,3)

C．(1，0][1，3) D．(1，0]【解析】集合A{x|y1x}{x|1x0}{x|x1}(，1]； 集合B{x|(x1)(x3)0}{x|1x3}(1，3)， 则

RA(1,)；

所以(RA)故选：B． 2.复数zB(1，3)．

213i（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于( )

B．第二象限

22(13i)A．第一象限 【解析】由zC．第三象限 D．第四象限

13i13i；

22(13i)(13i)1331zi，对应的点为(，)在第二象限．

2222故选：B．

3.已知向量a(1,1)，2ab(4,3)，c(x,2)，若b//c，则x的值为( ) A．4

B．4

C．2

D．2

【解析】b2ab2a(2,1)； b//c；

x40； x4．

故选：B．

4.已知xlog52，ylog25，z3，则下列关系正确的是( )

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12

A．xzy 【解析】xlog52log5xzy．

B．xyz C．zxy D．zyx

1111(，1)． 5，ylog251，z32223故选：A． 5.(x13x)8展开式的常数项为( )

A．56 【解析】由(x244r0， 3138B．28

)展开式的通项Tr1Cxr88rC．56

(3)(1)Cxx1rrr8244r3D．28 ，

x令

解得r6， 即(x13x6)8展开式的常数项为(1)6C828，

故选：D．

x2y26.双曲线221(a0,b0)的一条渐近线与直线2xy30垂直，则双曲线的离心率

ab为( ) A．5 B．3 C．5 2D．2

x2y2b【解析】根据题意，双曲线221(a0,b0)的渐近线方程为yx，

aab又由双曲线的一条渐近线与直线2xy30即y2x3垂直， 则有

b1

， a2

即a2b，

cb25则双曲线的离心率e12；

aa2故选：C．

7.已知圆(x2)2y21上的点到直线y3xb的最短距离为3，则b的值为( ) A．2或2

B．2或432

C．2或432

D．432或2

【解析】依题意，设圆的半径为r，则r1，设直线y3xb到圆(x2)2y21圆心的

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距离为d，

圆(x2)2y21上的点到直线y3xb的最短距离为3，

|23b|3113，解得b2或b432．

所以dr3．即故选：D．

x,x08.已知函数f(x)2x，g(x)ex(e是自然对数的底数），若关于x的方程

e,x0g(f(x))m0恰有两个不等实根x1、x2，且x1x2，则x2x1的最小值为( )

1A．(1ln2)

21B．ln2

2C．1ln2

1D．(1ln2)

2【解析】

x,x0f(x)2x，f(x)0恒成立；

e,x0g[f(x)]ef(x)m，f(x)lnm；

作函数f(x)，ylnm的图象如下，

结合图象可知，存在实数m(1me)，使x2e2x1m

111故x1x2mlnm，令g(m)mlnm，则g(m)1，

222m11111故g(m)在(0，]递减，在(，1)递增，g(m)g()ln2，

22222故选：D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9.如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：

空调类 冰箱类 小家电类 其它类 第7页（共18页）

营业收入占比 净利润占比 90.10% 95.80% 4.98% 0.48% 3.82% 3.82% 1.10% 0.86% 则下列判断中正确的是( )

A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损

B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供

D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【解析】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为0.48，是亏损的，A正确；

小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；

该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确； 所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确． 故选：ACD．

10.下列命题中，是真命题的是( )

A．已知非零向量a,b,若abab,则ab

B．若p:x(0,)，x1lnx，则p:x0(0,)，x01lnx0 C．在ABC中．“sinAcosAsinBcosB”是“AB”的充要条件 D．若定义在R上的函数yf(x)是奇函数，则yf(f(x))也是奇函数

【解析】A中|ab||ab|，两边平方得，(a)2(b)22ab(a)2(b)22abab0ab，所以A正确；

B是写全称命题的否定，条件中将符合改成符合，结论否定即可，所以B正确；

C中ABC中，sinAcosAsinBcosB2sin(A)2sin(B)AB4444或A(B)AB或AB，所以C不正确；

442因为yf(x)在R上是奇函数，即f(x)f(x)，f(f(x))f(f(x))f(f(x))，D中，

所以yf(f(x))也是奇函数，所以D正确． 故选：ABD．

第8页（共18页）

11.设函数f(x)的定义域为D，xD，yD，使得f(y)f(x)成立，则称f(x)为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是( ) A．yx2

B．y1 x1C．yln(2x3) D．y2x3

【解析】若xD，yD，使得f(y)f(x)成立， f(x)的值域关于原点对称．

对于A，函数yx2的值域为[0，)，不关于原点对称； 对于B，函数y1的值域为{y|y0}，关于原点对称； x1对于C，函数f(x)ln(2x3)的值域为R，关于原点对称； 对于D，函数y2x3的值域为R，关于原点对称． 其中是“美丽函数”的是BCD．

故选：BCD．

12.如图，在棱长均相等的四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论正确的有( )

A．PA//平面OMN

B．平面PCD//平面OMN

C．直线PD与直线MN所成角的大小为90 D．ONPB 【解析】如图所示：

第9页（共18页）

根据设棱长均相等的四棱锥PABCD中，各个棱长为a，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，

所以：PA与平面MON相交．故选项A错误．

对于选项B：由于ON//PD，MN//AB//CD，所以平面PCD//平面OMN，故选项B正确．

对于选项C：由于各个棱长都相等，所以直线PD与直线MN所成角即直线PD与直线CD所夹得角，由于PCD为等边三角形，所以角的大小为60，故选项C错误．

对于选项D：在平面PBD中，ON//PD，由于PDPBa，BD2a，所以PD2PB2BD2，所以PDPB，故ONPB，选项D正确．

故选：BD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知点M(1,2)在抛物线C:y22px(p0)上，则p 2 ；点M到抛物线C的焦点的距离是 ．

【解析】点M(1,2)在抛物线C:y22px(p0)上， 可得42p，解得p2；

抛物线方程为：y24x，抛物线的焦点坐标(1,0)， 点M到抛物线C的焦点的距离是：(11)2(20)22． 故答案为：2；2．

5114.已知cos(x)，则cos(2x)sin2(x)的值为 ．

333331【解析】cos(x)sin(x)，

363cos(2x)sin2(x)

33cos(2x31cos()22x)3 213113cos2xsin2xcos2xsin2x 2224431cos(2x) 23231[12sin2(x)] 262第10页（共18页）

311(12) 2925． 35故答案为：．

315.为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，每个教师只参与一道题目的改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为 150 种．

【解析】根据题意，分2步进行分析： ①，将5人分成3组，

113C5C4C310种分组方法； 若分为1、1、3的三组，有2A2122C5C4C215种分组方法； 若分为1、2、2的三组，2A2则有101525种分组方法；

36种情况， ②，将分好的三组全排列，对应选择题、填空题和解答题3种题型，有A3则有256150种分派方法； 故答案为：150．

16.三棱锥PABC的4个顶点在半径为2的球面上，PA平面ABC，ABC是边长为3的正三角形，则点A到平面PBC的距离为

6 ． 5【解析】将三棱锥PABC补成三棱柱，如图：上下底面中心O1O2连线段的中点O为外接球的球心， AN33AB22，AO1223AN1，OO1OA2AO12211，332PA2OO12，

第11页（共18页）

设A到平面PBC的距离为d，

11则由VAPBCVPABC得dSPBCPASABC，

331111dBCPNPABCAN， 3232115113d323， 322322d6， 56． 5故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. Sn217．（10分）已知数列{an}中，a11，其前n项的和为Sn，且当n2时，满足an．

Sn1（Ⅰ）求证：数列{1}是等差数列； Sn22（Ⅱ）证明：S12S2Sn7． 42Sn， Sn1【解析】（Ⅰ）当n2时，SnSn1Sn1SnSnSn1，即

111， SnSn11从而构成以1为首项，1为公差的等差数列．

Sn（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

2则当n2时Sn111(n1)1n，Sn． SnS1n111112()． 2nn12n1n1故当n2时

11111111111113722S12S2Sn1(1)()()1(1)1232242n1n122nn1224．

又当n1时，S1212法二：则当B时Sn7722满足题意，故S12S2Sn． 441111， n2n2nn1n1111111717()()() 42334n1n4n422那么S12S2Sn1第12页（共18页）

又当n1时，S12177，当时，S121满足题意， 4418．（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且

3(sin2Bsin2C)42sinBsinC3sin2A． （1）求tanA的值； （2）若

3ca2sinB，且ABC的面积SABC22，求c的值． sinA【解析】（1）3(sin2Bsin2C)42sinBsinC3sin2A，

角化边得：3(b2c2)42bc3a2，

化简得：b2c2a242bc， 3b2c2a22281，sinA1cos2A1， cosA2bc393tanA2； 42sinB， sinA3c2b3c，即b， aa2（2）

3ca角化边得：

1又SABCbcsinA22，

213c2122，c28， 223解得c22．

19．（12分）如图，在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PAC为等边三角形，

ABAC，D是BC的中点．

（Ⅰ）证明：ACPD；

（Ⅱ）若ABAC2，求二面角DPAB平面角的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：取AC中点E，联结DE、PE，

PAC为等边三角形，PEAC．

第13页（共18页）

ABAC，D是BC的中点，E为AC中点，EDAC． ACPED面，ACPD．

PD平面PAD，

（Ⅱ）平面PAC平面ABC，PE平面ABC，PEDE，

PE，AC，ED三线两两垂直，以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系C(1，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，D(0，1，0)，P(0，

0，3)．

设平面PAD的法向量为n(x,y,z)，

PD(0,1,3)， PA(1,0,3)，

PDn,PAn，

y3z0令z3，y3，x3， x3z0平面PAD的法向量为n(3,3,3)． 设平面PAB的法向量为m(x,y,z)，

AB(0,2,0)，AP(1,0,3)，

ABm,APm，

2y0令z3，y0，x3， x3z0平面PAB的法向量为m(3,0,3)． 设二面角DPAB的平面角为，cosnm9327，

|n||m|799393二面角DPAB平面角的余弦值27． 7第14页（共18页）

20．（12分）某公司为了预测下月产品销俜情况，找出了近7个月的产品销售量y（单位：万件）的统计表： 月份代码t 销售量y（万件） 但其中数据污损不清，经查证yi9.32，tiyi40.17，i1i1771 y1 2 y2 3 y3 4 y4 5 y5 6 y6 7 y7 (yi17iy)20.55．

（Ⅰ）请用相关系数说明销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系； （Ⅱ）求y关于t的回归方程（系数精确到0.01)；

（Ⅲ）公司经营期间的广告宣传费xiti（单位：万元）(i1，2，，7)，每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由．（毛利润等于销售金额减去广告宣传费）

参考公式及数据：72.6，相关系数r(ti1nit)(yiy)n(ti1n，当|r|0.75时认为两

it)2(yiy)2i1个变量有很强的线性相关关系，回归方程ybta中斜率和截距的最小二乘估计公式分别

ˆ为b(ti1nit)(yiy)i(ti1nˆ． ˆybt，at)2【解析】（Ⅰ）由表格中的数据和附注中的参考数据得t4，

7777(ti17it)228，

(yi1iy)0.552，

(ti1it)(yiy)tiyityi40.1749.322.i1i1，

（2分）

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r2.270.552.0.99，

22.60.550.990.75，

销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系；（4分）

9.32ˆ（Ⅱ） 由y，得b1.331及（Ⅰ）7(ti17it)(yiy)i(ti17t)22.0.103，（6分） 28ˆ1.3310.10340.92， ˆybtaˆ0.10t0.92；（8分） y关于t的回归方程为yˆ0.1080.921.72（万件）（Ⅲ）当t8时，代入回归方程得y．（10分）

第8个月的毛利润为z101.72817.221.41414.37214.37215， 预测第8个月的毛利润不能突破15万元．（12分） 73x2y2)，且离心率e21．（12分）已知椭圆C:221(ab0)过点(1,． 22ab（1）求椭圆C的方程； （2）已知斜率为

1的直线l与椭圆C交于两个不同点A，B，点P的坐标为(2,1)，设直线2PA与PB的倾斜角分别为，，证明：．

714221,b【解析】（1）由题意得a b23e12,a2解得a28，b22，

x2y2所以椭圆的方程为C:1．

821（2）证明：设直线l:yxm，

21yxm,2由2消去y得x22mx2m240，△4m28m2160， 2xy1,28解得2m2．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x22m,x1x22m24，

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由题意，易知PA与PB的斜率存在，所以,设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2， 则tank1，tank2，

2．

要证，即证tantan(B)tan， 只需证k1k20， k1y11y1，k12， x12x22y11y21(y11)(x22)(y21)(x12)， x12x22(x12)(x22)故k1k2又y1所

11x1m，y2x2m， 22以

11(y11)(x22)(y21)(x12)(x1m1)(x22)(x2m1)(x12)x1x2(m2)(x1x2)4(m1)2m24(m2)(2m)4(m1)022，

k1k20，

故．

22．（12分）已知函数f(x)12x(a1)xalnx． 2（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）对任意的a[3，5]，x1，x2[1，3](x1x2)，恒有|f(x1)f(x2)||x1x2|，求实数的取值范围．

ax2(a1)xa(x1)(xa)【解析】（1）f(x)xa1(x0)，

xxx(x1)2当a1时，f(x)0．所以f(x)在(0,)上单调递增；

x当a1时，x(0,1)或(a,)，f(x)0，

所以f(x)在(0,1)，(a,)上单调递增；x(1,a)，f(x)0， 所以f(x)在(1,a)上单调递减．

当0a1时，x(0,a)或(1,)，f(x)0，

所以f(x)在(0,a)，(1,)上单调递增；x(a,1)，f(x)0， 所以f(x)在(a,1)上单调递减．

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当a0时，x(0,1)，f(x)0，

所以f(x)在(0,1)上单调递减；x(1,)，f(x)0， 所以f(x)在(1,)上单调递增．

（2）因为a[3，5]，由（1）得，f(x)在[1，3]上单调递减，不妨设x1x2， 由|f(x1)f(x2)||x1x2|得f(x1)f(x2)x2x1， 即f(x1)x1f(x2)x2．

令h(x)f(x)x(1x3)，h(x)xaa a1，只需h(x)xa10恒成立，

xx1即(1)ax1(a[3，5]，x[1，3])恒成立，

x1即5(1)x1，

x55即6(x)．因为6(x)625（当且仅当x5时取等号），

xx所以实数的取值范围是[625,)．

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