2020届高考原创押题卷(二)数学理科试题(有答案)(已纠错)

2019年高考原创押题卷（二）

数 学(理科)

时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U＝{x∈N|y＝5－x}，A＝{x∈N*|x－4<0}，B＝{2，4}，则(∁UA)∪B＝( )

A．{2} B．{4} C．{2，4，5} D．{0，2，4，5}

2．已知i是虚数单位，直线2x＋y＋2＝0在x轴、y轴上的截距分别为复数z(1－i)的实部与虚部，则复数z的共轭复数为( )

13131313A.－i B.＋i C．－－i D．－＋i 22222222x2y23．若双曲线E：－＝1(m>1)的焦距为10，则该双曲线的渐近线方程为( )

2m－2m5934

A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x

413

2Sn＋30

4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S9＝126，a4＋a10＝40，则的最小值为( )

n41

A．610＋1 B．20 C. D．19

2

5．在《九章算术》中有这样一个问题：某员外有小米一囤，该囤的三视图如图2­1所示(单位：尺)，已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3.1，则该囤所储小米斛数约为( )

图2­1

A．459 B．138 C．115 D．103

6．已知某班某个小组8人的期末考试物理成绩的茎叶图如图2­2所示，并用图2­3所示的程序框图对成绩进行分析(其中框图中的a表示小组成员的物理成绩)，则输出的A，B值分别为( )

/

/

图2­2

图2­3

A．76，37.5% B．75.5，37.5% C．76，62.5% D．75.5，62.5%

7．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝23，∠ACB＝120°，AA1＝4，则该三棱柱外接球的体积为( ) 162π2πA. B．2π C．32π D.

338．p：∃x0∈R＋，x0ln x0＋x20－ax0＋2<0为假命题的一个充分不必要条件为( )

A．a∈(0，3) B．a∈(－∞，3] C．a∈(3，＋∞) D．a∈[3，＋∞) x＋2y－4≥0，2

9．已知a＝24x－x2dx，实数x，y满足x－2y＋2≥0，则z＝x2＋y2＋ay的取值范围为( )

π

02x－y－4≤0，253121221231

，8 B.， C.8， D.，8 A.99455

10．若函数f(x)对定义域内任意x，都有f(x)＋f(－x)＝0，且对定义域内任意x1，x2，且x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）

>0，则称函数f(x)为“优美函数”．下列函数中是“优美函数”的是( )

x1－x2e＋1x，x≠0，1－eA．f(x)＝ B．f(x)＝ln(3x＋9x2＋1) 0，x＝0x＋2x－1，x>0，

C．f(x)＝0，x＝0， D．f(x)＝tan x

－x2＋2x＋1，x<011．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<＋

φ

＋A)，下列说法正确的是( ) 2

πωx的部分图像如图2­4所示，则关于函数g(x)＝－2Asin2(22

2x

图2­4

/

/

A．g(x)的单调递增区间为（

2kπ2kπ2π

，＋，k∈Z） 339

5π

B．直线x＝－是曲线y＝g(x)的一条对称轴

18

π

C．将函数f(x)图像上所有的点向左平移个单位长度，即可得到函数y＝g(x)的图像

6π

D．若函数g(x＋m)为偶函数，则m＝kπ＋，k∈Z

3

12．已知函数y＝(x－2)ex1＋x2－2x＋a恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围为( )

＋

A．(－∞，e2＋1] B．(－∞，e2＋1) C．(e2＋1，＋∞) D．(e2，＋∞)

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知二项式(ax＋1)7展开式的各项系数和为128，(ax＋1)7＝a0＋a1(ax＋3)＋a2(ax＋3)2＋…＋a7(ax＋3)7，则a4＝________．

→→

14．已知在△DEF中，DE＝2，EF＝3，∠DEF＝60°，M是DF的中点，N在EF上，且DN⊥ME，则DN·DF＝________．

15．已知直线2x＋y－2＝0与x轴的交点是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线C的焦点F，P是抛物线C上一点，以P为圆心，|PF|为半径的圆截x轴所得的弦长为2，则圆P的方程为________________． 16．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n1，则{an}的前40项和为________．

－

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

bsin C－sin B－sin Acos B17．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，＝. csin Acos C－sin B(1)求角A的大小；

4S△ABC

(2)若a＝2，△ABC是锐角三角形，求＋3c的取值范围．

c

18．(本小题满分12分)中国某文化研究机构为了解国人对中国传统戏剧的态度，随机抽取了68人进行调查，相关的数据如下表所示：

五十岁以上(含五十岁) 五十岁以下(不含五十岁) /

不喜爱 10 c 喜爱 b 4 总计 22 46 /

总计 52 16 68 (1)求2×2列联表中b，c的值，并判断是否有99%的把握认为喜爱传统戏剧与年龄有关？

(2)从喜爱传统戏剧的16人中随机抽取3人，设3人中五十岁以下(不含五十岁)的人数为X，求X的分布列与数学期望． 附：

P(K2≥k0) k0 2

0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 n（ad－bc）2公式： K＝(n＝a＋b＋c＋d)．

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

19．(本小题满分12分)在如图2­5所示的四棱锥P - ABCD中，△PAB是边长为4的正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，BC＝2，∠ADC＝60°，E是CD的中点． (1)求证：BE⊥PC；

(2)求二面角A-PD-C的正弦值．

图2­5

3x2y2

20．(本小题满分12分)已知A，B分别是离心率为的椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的上顶点与右顶点，右焦

2ab25－15

点F2到直线AB的距离为. 5(1)求椭圆E的方程；

(2)过M(0，2)作直线l交椭圆E于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ的面积的最大值．

21．(本小题满分12分)函数f(x)＝a(x－1)ln(x－1)＋(bx＋1)(x－1)＋a＋1(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线方程为x－y＋1＝0，求实数a，b的值； (2)已知b＝1，当x>2时，f(x)＞0，求实数a的取值范围．

/

/

请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy和极坐标系中，极点与原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，直线l过点(1，1)，倾π3

斜角α的正切值为－，曲线C的极坐标方程为ρ＝42sinθ＋.

44(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)判断直线l与曲线C的位置关系，若直线l与曲线C相交，求直线l被曲线C截得的弦长．

23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－1|－|2x－3|.

(1)若f(x)≥m对0≤x≤3恒成立，求实数m的取值范围；

(2)若f(x)的最大值为M，a，b∈R＋，a＋2b＝Mab，求a＋2b的最小值．

/

/

参·数学(理科)

2019年高考原创押题卷（二）

1．D [解析] 由题知U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，∴∁UA＝{0，4，5}，∴(∁UA)∪B＝{0，2，4，5}，故选D.

2．B [解析] 由题知，直线2x＋y＋2＝0在x轴、y轴上的截距分别为－1，－2，所以z(1－i)＝－1－2i，1＋2i（1＋2i）（1＋i）1313

所以z＝－＝－＝－i，故复数z的共轭复数为＋i，故选B.

221－i（1－i）（1＋i）22

3．C [解析] 由题知a2＝2m－2，b2＝m，c＝5，所以c2＝2m－2＋m＝25，解得m＝9，所以a＝4，b＝3，3

所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选C.

4

9（a1＋a9）

4．B [解析] 设公差为d，由题知126＝S9＝＝9a5，解得a5＝14，由2a7＝a4＋a10＝40，得a7

2a7－a52Sn＋30103110

＝20，所以d＝＝3，所以a1＝a5－4d＝2，所以Sn＝n2＋n，所以＝3n＋n＋1.令y＝x＋，222nx2Sn＋302Sn＋30

该函数在(0，10)上单调递减，在(10，＋∞)上单调递增，所以当n＝3时，＝20，当n＝4时，nn＝

2Sn＋3041

，故的最小值为20，故选B. 2n

5．C [解析] 由三视图知，该粮囤是由一个底面半径为3、高为6的圆柱和一个等底、高为2的圆锥组成1的组合体，其体积为3.1×32×6＋×3.1×32×2＝186(立方尺)，所以该囤所储小米斛数约为186÷1.62≈115，

3故选C.

6．A [解析] 由程序框图，知输出的A表示本小组物理成绩的平均值，B表示本小组物理成绩大于或等于55＋63＋68＋74＋77＋85＋88＋983

80分的人数占小组总人数的百分比，故A＝＝76，B＝×100%＝37.5%，

88故选A.

AB

7．D [解析] 设该三棱柱的外接球的半径为R，底面所在截面圆的半径为r，由正弦定理，知2r＝

sin 120°23＝＝4，所以r＝2，所以R＝324π×（22）32π

＝，故选D.

33

2

8．A [解析] 由题知綈p：∀x∈R＋，xln x＋x2－ax＋2≥0是真命题，即a≤ln x＋x＋对x∈R＋恒成立．设

x212（x＋2）（x－1）

f(x)＝ln x＋x＋(x>0)，∴f′(x)＝＋1－2＝，当01时，f′(x)＞0，

xxxx2∴f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝3，∴a≤3，故选A.

/

AA14πR22r＋＝2＋2＝22，所以该三棱柱外接球的体积V＝＝23

2

23

/

9．B [解析] 令y＝4x－x2＝4－（x－2）2，∴(x－2)2＋y2＝4(y≥0)，∴24－（x－2）2dx表示直线x

0

1

＝2，x轴以及以(2，0)为圆心、2为半径的圆围成的圆的面积，

4

2

∴a＝24－（x－2）2dx＝2，∴目标函数z＝x2＋y2＋2y＝x2＋(y＋1)2－1表示可行域内点(x，y)与点M

π

0

(0，－1)之间距离的平方减去1.作出可行域如图中阴影部分所示，

过M作直线x＋2y－4＝0的垂线，垂足为N，由图知，N在线段AB上，MN＝

＝6

， 5

|－2－4|12＋2262x－2y＋2＝0，10831∴zmin＝－1＝.由得C∴MC＝3，3，552x－y－4＝0，21231212

1＝，∴z的取值范围为，，故选B.

959

222

22110＋8＋1＝221，∴zmax＝－333310．B [解析] 依题意，“优美函数”是奇函数，且在定义域上是增函数．对选项A，定义域为R，∀x∈Rex＋1ex＋1e1＋1e＋1

且x≠0，f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∵f(－1)＝，∴f(x)在定义域－x＝x－1>0＞f(1)＝

1－ee－11－e1－e

－

－

内不是增函数，故A不是“优美函数”；对选项B，∵9x2＋1>9x2，∴9x2＋1>|3x|，∴9x2＋1＋3x>|3x|＋3x≥0，∴f(x)的定义域为R，f(x)＋f(－x)＝ln(3x＋9x2＋1)＋ln[－3x＋9（－x）2＋1]＝ln[(3x＋18x

29x2＋132222

9x＋1)(－3x＋9x＋1)]＝ln[9x＋1－(3x)]＝ln 1＝0，∴该函数是奇函数，∵f′(x)＝＝

3x＋9x2＋19x2＋1

3＋

111－＝－－＋2×－＋1＞0，∴该函数在R上是增函数，∴该函数是“优美函数”；对选项C，∵f444112717＝＞f4＝4＋2×－1＝－，∴该函数在R上不是增函数，故该函数不是“优美函数”；对选项D，

116由y＝tan x的图像知，该函数在定义域上不单调，故不是“优美函数”．故选B.

ππωπππ33311．C [解析] 由图知A＝3，f(0)＝3sin φ＝，∴sin φ＝，∵|φ|<，∴φ＝，∴＋＝，

22231832ωxφππ

∴ω＝3，∴f(x)＝3sin3x＋.∵g(x)＝－2Asin2＋＋A＝Acos(ωx＋φ)＝3cos（3x＋）.令2kπ－π≤

2233π2kπ4π2kππ2kπ4π2kπ

3x＋≤2kπ，k∈Z，解得－≤x≤－，k∈Z，∴g(x)的单调递增区间为（－），（33939393－

ππ5π5π5π），k∈Z，故A错；∵g－＝3cos3×－＋＝0，∴直线x＝－不是曲线y＝g(x)的对称轴，91818183

2

πππ

故B错；∵将f(x)的图像向左平移个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y＝3sin3x＋＋＝663

/

/

3sin＋

πππππ＋3x＋＝3cos3x＋，故C正确；∵g(x＋m)＝3cos3(x＋m)＋＝3cos3x＋3m＋为偶函数，∴3m23333

πkππ

＝kπ，k∈Z，∴m＝－，k∈Z，故D错．故选C. 339

＋

＋

12．B [解析] 由题知，方程(x－2)ex1＋x2－2x＋a＝0有两个不同的解，即方程(x－2)ex1＝－x2＋2x－a恰有两个解．设g(x)＝(x－2)ex1，φ(x)＝－x2＋2x－a，则函数y＝g(x)的图像与y＝φ(x)的图像恰有两个交点．因

＋

为g′(x)＝ex1(x－1)，当x<1时，g′(x)＜0，当x>1时，g′(x)＞0，所以g(x)在(－∞，1)上是减函数，在(1，

＋

＋∞)上是增函数，所以当x＝1时，g(x)取得最小值g(1)＝－e2.因为φ(x)＝－x2＋2x－a＝－(x－1)2－a＋1，所以当x＝1时，φ(x)取得最大值φ(1)＝1－a，则1－a>－e2，所以a<1＋e2，故选B.

13．－280 [解析] 令x＝1，得(a＋1)7＝128，解得a＝1，∴(ax＋1)7＝(x＋1)7＝ [－2＋(x＋3)]7，∴a4＝C47×(－2)3＝－280.

9→→→→→→→→1→→→→1→14. [解析] 设EN＝λEF，∴DN＝EN－ED＝λEF－ED.EM＝(ED＋EF)．∵DN⊥ME，∴DN·EM＝(ED2221117→→→→→→→＋EF)·(λEF－ED)＝[(λ－1)EF·ED＋λ|EF|2－|ED|2]＝[(λ－1)×2×3×＋λ×32－22]＝0，解得λ＝，

222127→19→→→71919→→7→→→→

∴DN·DF＝EF－ED·(EF－ED) ＝|EF|2－ED·EF＋|ED|2 ＝×32－×2×3×＋22＝.

12121212122215．x2＋y2＝1或(x－2)2＋(y±22)2＝9 [解析] 由题知F(1，0)，故抛物线C的焦点在x轴上，设抛物线Cp2

的方程为y2＝2px(p>0)，则＝1，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.设P(x0，y0)，则y0＝4x0，根据

2

22

抛物线的定义，知|PF|＝1＋x0，圆心P到x轴的距离为|y0|，由垂径定理，得(1＋x0)2＝y20＋1，即(1＋x0)＝

4x0＋1，解得x0＝0或x0＝2.当x0＝0时，y0＝0，|PF|＝1，圆P的方程为x2＋y2＝1；当x0＝2时，y0＝±22，|PF|＝3，圆P的方程为(x－2)2＋(y±22)2＝9.

7（240－1）16. [解析] 由题设知a2－a1＝1①， a3＋a2＝2②， a4－a3＝22③，a5＋a4＝23，a6－a5＝24，a7

15＋a6＝25，a8－a7＝26，a9＋a8＝27，a10－a9＝28，a11＋a10＝29，a12－a11＝210，…，a38－a37＝236，a39＋a38＝237，a40－a39＝238，∴②－①得a1＋a3＝1，③＋②得a4＋a2＝3×2，同理可得a5＋a7＝24，a6＋a8＝3×25，a9＋a11＝28，a10＋a12＝3×29，…，a37＋a39＝236，a38＋a40＝3×237，∴a1＋a3，a5＋a7，a9＋a11，…，a37＋a39是首项为1，公比为24，项数为10的等比数列，a2＋a4，a6＋a8，a10＋a12，…，a38＋a40是首项为6，公1－16106（1－1610）7（240－1）

比为2，项数为10的等比数列，∴数列{an}的前40项和为＋＝. 151－161－16

4

bsin C－sin B－sin Acos Bbc－b－acos B

17．解：(1)由＝及正弦定理，得＝，

ccsin Acos C－sin Bacos C－b即c2－bc－accos B＝abcos C－b2，2分

a2＋c2－b2a2＋b2－c22

由余弦定理，得c－bc－ac·＝ab·－b，整理得c2＋b2－a2＝bc，4分

2ac2ab

2

c2＋b2－a2bc1

∴cos A＝＝＝，5分

2bc2bc2π

∵03

/

/

2bc

(2)由正弦定理，得＝＝，

πsin Bsin Csin3∴b＝∴

44

sin B，c＝sin C，8分 33

4S△ABCπ2π2π1

＋3c＝4×bcsin＋3c＝3(b＋c)＝4(sin B＋sin C)＝4sin B＋sin－B＝4sin B＋sincos c2c333

2ππ31

B－cossin B＝43sin B＋cos B＝43sinB＋.

322610分

2π2ππππππ2ππ3

由(1)知B＋C＝，∴C＝－B＜，∴3326236326π

∴6<43sinB＋≤43，

6∴

4S△ABC

＋3c的取值范围为(6，43].12分 c

18．解：(1)由题知b＝22－10＝12，c＝52－10＝42. 由2×2列联表中的数据，得

68×（10×4－42×12）2

K＝≈17.388＞6.635，

52×16×22×46

2

4分

∴有99%的把握认为喜爱传统戏剧与年龄有关． 5分

(2)X的可能取值为0，1，2，3，6分

12

C311C233C19C311212C412C44

P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝3＝，P(X＝2)＝3＝，P(X＝3)＝3＝，9分

C1628C1670C1670C16140

∴X的分布列为

X P 10分

1133913

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 287070140412分

19．解：(1)证明：设AB的中点为F，连接PF，EF，BE，FC，设FC∩BE＝O， ∵△PAB是边长为4的正三角形，∴PF⊥AB，BF＝2. ∵平面PAB⊥平面ABCD，∴PF⊥平面ABCD， ∵BE⊂平面ABCD，∴PF⊥BE.2分

/

0 11 281 33 702 9 703 1 140/

∵E是CD的中点，底面ABCD是平行四边形，BC＝2， ∴EF∥BC，AB∥CD，BF＝BC，

∴四边形BCEF是边长为2的菱形，∴BE⊥FC. ∵FC∩PF＝F，∴BE⊥平面PFC. 又PC⊂平面PFC， ∴BE⊥PC.5分

(2)由(1)知，PF＝23，PF⊥平面ABCD，四边形BCEF是边长为2的菱形，∠FBC＝60°，BE⊥FC， ∴OB＝OE＝3，OC＝OF＝1.

以O为原点，过O作PF的平行线为z轴，以OC，OB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示空间直→→

角坐标系，则C(1，0，0)，F(－1，0，0)，E(0，－3，0)，P(－1，0，23)，∴FA＝CE＝(－1，－3，0)， →→

∴A(－2，－3，0)，CD＝2CE＝(－2，－23，0)，

→→

∴D(－1，－23，0)，∴AD＝(1，－3，0)，DP＝(0，23，23).7分

→AD＝x1－3y1＝0，m·

设平面PAD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则 令y1＝1，则x1＝3，z1＝－1，

→DP＝23y1＋23z1＝0，m·∴m＝(3，1，－1)．

→CD＝－2x2－23y2＝0，n·

设平面PCD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则令y2＝1，则x2＝－3，z2＝－1，

→DP＝23y2＋23z2＝0，n·∴n＝(－3，1，－1)，9分

－3×3＋1×1－1×（－1）m·n1

∴cos〈m，n〉＝＝＝－，11分

|m||n|5（－3）2＋12＋（－1）2×（3）2＋12＋（－1）2设二面角A-PD-C的平面角为θ，则sin θ＝26

∴二面角A-PD-C的正弦值为.12分

5c33

20．解：(1)由题知，e＝＝，∴c＝a，

a221

∴b＝a2－c2＝a，

2

a30，，B(a，0)，F2a，0， ∴A22∴直线AB的方程为x＋2y－a＝0，

/

126－＝1－， 55

2

/

∴

3a－a2

25－15＝，解得a＝2，∴b＝1， 2251＋2

x22

∴椭圆E的方程为＋y＝1.4分

4

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，显然直线l的斜率一定存在，故设直线l方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程x2＋4y2－4＝0，整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0， 3

由Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0，得k2>，

416k12

x1＋x2＝－，xx＝，7分

1＋4k2121＋4k2∴|PQ|＝1＋k2|x1－x2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝

16k12－（1＋k）1＋4k2－4×＝4

1＋4k2

2

2

（1＋k2）（4k2－3）

，

（1＋4k2）2原点O到直线l的距离d＝1

∴S△OPQ＝|PQ|·d＝4

2

2

，9分 1＋k24k2－3

，

（1＋4k2）2设t＝4k2－3，则4k2＝t2＋3，t>0， 4t4

∴S△OPQ＝2＝≤4t＋4

t＋2t

4

47

＝1，当且仅当t＝，即k＝±时，取等号，11分

t24t·t

∴△OPQ的面积的最大值为1.12分

21．解：(1)f(x)的定义域为(1，＋∞)，f′(x)＝aln(x－1)＋a＋2bx＋1－b，

f（2）＝2b＋1＋a＋1＝3，a＝3，由题知解得 4分 f′（2）＝a＋4b＋1－b＝1，b＝－1.

(2)当b＝1时，f(x)＝a(x－1)ln(x－1)＋(x＋1)(x－1)＋a＋1， f（x）a＋1当x>2时，由f(x)＞0，知＝aln(x－1)＋＋x＋1＞0，

x－1x－1a＋1

设g(x)＝aln(x－1)＋＋x＋1(x>2)，

x－1

a＋1x2＋（a－2）x－2a（x－2）（x＋a）a

∴g′(x)＝－＋1＝＝.7分

x－1（x－1）2（x－1）2（x－1）2当a≥－2时，－a≤2，g′(x)＞0，∴g(x)在区间(2，＋∞)上是增函数， ∴g(x)＞g(2)＝a＋1＋2＋1≥0，解得a≥－4， ∴a≥－2；9分

当a<－2时，－a>2，当2－a时，g′ (x)＞0， ∴g(x)在区间(2，－a)上是减函数，在区间(－a，＋∞)上是增函数， a＋1

∴g(x)min＝g(－a)＝aln(－a－1)＋－a＋1＝aln(－a－1)－a，

－a－1

/

/

a<－2，

由题知g(x)min＝aln(－a－1)－a＞0，即ln(－a－1)<1，即解得－e－1－a－111分

综上所述，实数a的取值范围为(－e－1，＋∞)． 12分

π33

22．解：(1)由题知tan α＝－＜0，0<α<π，∴<α<π，sin α＝－cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，

42434

－cos α＋cos2α＝1，解得cos α＝－， 得453

∴sin α＝，∴直线l的参数方程为

5

2

3y＝1＋t5

4x＝1－t，

5

(t为参数).3分

π

由ρ＝42sinθ＋，得ρ＝4sin θ＋4cos θ，即ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，

4由ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，得x2＋y2－4x－4y＝0， ∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＝0.5分

(2)∵12＋12－4×1－4×1＝－6<0，∴点(1，1)在圆x2＋y2－4x－4y＝0内部， ∴直线l与曲线C相交.7分



设直线l与曲线C的交点M，N对应的参数分别为t，t，将3

y＝1＋t5

1

2

4x＝1－t，

5

(t为参数)代入

2

x2＋y2－4x－4y＝0，整理得t2＋t－6＝0，

52

∴t1＋t2＝－，t1t2＝－6，

5

∴|MN|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）－4t1t2＝2151

.10分 5

22

－2－4×（－6）＝2151，故直线l被曲线C截得的弦长为55



3x－4，132－x，x≥，2

33

－∞，上是增函数，在区间，＋∞上是减函数，∵f(0)＝－2，f(3)＝－1， ∴f(x)在区间22∴当0≤x≤3时，f(x)min＝f(0)＝－2，则m≤－2. 5分 31

(2)由(1)知，f(x)max＝f2＝2， 124

∴a＋2b＝ab，∴＋＝1，

2ba

/

x－2，x≤1，

/

24a4b

＋＝8＋2＋≥8＋2×2∴a＋2b＝(a＋2b)babaa4b×＝16， ba

4ba

当且仅当＝，即a＝2b＝8时，a＋2b取得最小值16.10分

ab

/