课时跟踪检测（三十五） 等比数列及其前n项和
[A级 基础题——基稳才能楼高]
1．(2019·榆林名校联考)在等比数列{an}中，a1＝1，a3＝2，则a7＝( ) A．－8 C．8或－8
B．8 D．16或－16
2
4
2
解析：选B 设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，a3＝2，∴q＝2，∴a7＝a3q＝2×2＝8.故选B. 2．(2019·六安一中调研)已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则55A.或－ 225C. 2
2
a1＋a2
的值是( ) b2
5B．－
21D． 2
解析：选C 由题意得a1＋a2＝5，b2＝4，又b2与第一项的符号相同，所以b2＝2.所以C.
a1＋a25
＝.故选b22
3．(2019·湖北稳派教育联考)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a11＝4，a6a12＝8，则a8a9＝( ) A．12 C．62
2
B．42 D．32
2
解析：选B 由等比数列的性质得a8＝a5a11＝4，a9＝a6a12＝8，∵an>0，∴a8＝2，a9＝22，∴a8a9＝42.故选B.
4．(2019·成都模拟)设{an}是公比为负数的等比数列，a1＝2，a3－4＝a2，则a3＝( ) A．2 C．8
B．－2 D．－8
2
2
解析：选A 法一：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝2，a3－a2＝a1(q－q)＝4，所以q－q＝2，解得q＝2(舍去)或q＝－1，所以a3＝a1q＝2，故选A.
法二：若a3＝2，则a2＝2－4＝－2，此时q＝－1，符合题意，故选A. 5．(2019·益阳、湘潭高三调研)已知等比数列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，则A．3 C．9
B．5 D．25
2
a7－a9
的值为( ) a5－a7
a5a7－a9a5q2－a7q22
解析：选D 设等比数列{an}的公比为q，则a4a7＝·a5q＝9q＝45，所以q＝5，所以＝
qa5－a7a5－a7
＝q＝25.故选D.
[B级 保分题——准做快做达标]
2
1．(2019·长沙一模)设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )
3A．Sn＝2an－1
B．Sn＝3an－2
2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
解析：选D 由等比数列前n项和公式Sn＝
a1－anq，代入数据可得Sn＝3－2an. 1－q2．(2019·山东五校联考)已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且S2＝2，S4＝8，则S8＝( ) A．16 C．54
B．128 D．80
2
解析：选D 由等比数列的性质可得S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6也成等比数列，∴(S4－S2)＝S2(S6－S4)，∵S2＝2，S4＝8，∴36＝2(S6－8)，即S6＝26.又(S4－S2)(S8－S6)＝(S6－S4)，∴S8＝54＋S6＝80.故选D.
3．(2019·湖北华师一附中联考)在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝( ) A．1 C．2
B．±1 D．±2
3
4
4
2
解析：选A 因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a3＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q＝2q＝8，所以
a3
q2＝2，a1＝2＝1，故选A.
q4．(2018·南宁测试)等差数列{an}的公差是2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( ) A．n(n＋1) C.
B．n(n－1) D．
2
nn＋
2
nn－
2
2
解析：选A 由已知得，a4＝a2·a8，因为{an}是公差为2的等差数列，故(a2＋2d)＝a2·(a2＋6d)，(a2
＋4)＝a2·(a2＋12)，解得a2＝4，所以an＝a2＋(n－2)d＝2n，故Sn＝2
na1＋an2
＝n(n＋1)．
5．(2019·吉林部分学校高三仿真考试)《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”，则该匹马第一天走的里数为( )
A.C.128
127700 127
44 800B． 127175D．
32
1
解析：选B 由题意知该匹马每日所走的路程成等比数列{an}，且公比q＝，S7＝700，由等比数列的
2
求和公式得Sn＝
a11－72
1
44 800
＝700，解得a1＝，故选B. 11271－2
6．(2019·衡水中学调研)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且则S4＝( )
A．63或120 C．120
B．256 D．63
an＋1
<1，若a3＋a5＝20，a3a5＝，an
a3＋a5＝20，
解析：选C 由题意得
a3a5＝，a3＝16，
数列，故
a5＝4.
a3＝16，
解得
a5＝4
a3＝4，
或
a5＝16.
又
an＋1
<1，所以数列{an}为递减an
a5112
设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝，因为数列为正项等比数列，所以q＝，从a342
14×1－
2
而a1＝，所以S4＝＝120.选C.
11－2
7．(2019·衡水模拟)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( ) A．80 C．26
B．30 D．16
解析：选B 由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列． 设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列． 由(x－2)＝2×(14－x)， 解得x＝6或x＝－4(舍去)．
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×2＝30.
8．(2019·湖北黄石三中检测)已知数列{an}是递增的等比数列，且a4a6－2a4＋a2a4＝144，则a5－a3＝( )
A．6 C．10
B．8 D．12
2
2
2
2
3
2
解析：选D ∵{an}是递增的等比数列，∴由a4a6－2a4＋a2a4＝144，a5－a3>0可得a5－2a3a5＋a3＝144，(a5－a3)＝144，∴a5－a3＝12，故选D.
8
9．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－，则当Tn取得最大值时，n的值为( )
9A．2 C．4
B．3 D．6
2
81133
解析：选C 设等比数列{an}的公比为q，则a4＝－24q＝－，所以q＝，q＝，易知此等比数列各9273项均为负数，则当n为奇数时，Tn为负数，当n为偶数时，Tn为正数，所以Tn取得最大值时，n为偶数，排
111811561946
除B，而T2＝(－24)×＝24×8＝192，T4＝(－24)×＝8×＝>192，T6＝(－24)×＝8×
993333
2
4
8188
＝9＝×7<，所以T4最大．故选C. 3939
10．(2019·南昌模拟)在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＋a3an－2＝256，且前n项和Sn＝126，则n＝( )
A．2
B．4
6
C．6 D．8
a1an＝128，
解析：选C ∵a2an－1＋a3an－2＝2a1an＝256，∴a1an＝128，由
a1＋an＝66，a1＝，
an＝2.
a1＝2，
解得
an＝
或
设等比数列{an}的公比为q，
a1＝2，
①当
an＝
a1＝，②当
an＝2
2
时，Sn＝
a1
－q1－qn＝na1－anq2－q＝＝126，解得q＝2，∴n＝6. 1－q1－qa1－anq－2q1
＝＝126，解得q＝，∴n＝6. 1－q1－q2
时，Sn＝
a1
－q1－q＝综上n＝6.故选C.
11．(2019·惠州一调)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a5，a2＝1，则a1＝________. 解析：∵a3a9＝a6，∴a6＝2a5，设等比数列{an}的公比为q，∴q＝2，由于q>0，解得q＝2，∴a1＝＝2. 2
答案：
2 2
2
2
2
2
a2q12．(2019·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{an}满足a2a4＝a5，a4＝8，则数列{an}的前n项和
Sn＝________.
a1q·a1q＝a1q，
解析：设等比数列{an}的公比为q，∵a2a4＝a5，a4＝8，∴3
a1q＝8，
3
4
a1＝1，
解得
q＝2，
∴Sn＝
－2
1－2
n＝2－1.
nn答案：2－1
13．(2019·仙桃测试)各项均为正数的等比数列{an}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是________．
a2a3399解析：设{an}的公比为q，则根据题意得q＝＝，∴≤q≤2，a4＝a3q≥，a4＝a2q2≤8，∴a4∈，8. a1a2222
9答案：，8
2
14．(2019·武汉模拟)已知等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，设{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若n(Tn＋1)＝2Sn，n∈N，则d＝________，q＝________.
2
n*
b1qnb1
－＋1nTn＋12nq－1q－12b1dd解析：由题意得，＝2⇒＝2，∴q＝2，＝1，a1＝，＝1，此时d＝2，q＝2.
Snnd2dnq－122
n＋a1－n2
2
答案：2 2
15．在数列{an}中，an＋1＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
2
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)证明：∵an＋1＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2， ∴(an＋1＋1)＝(an＋1)(an＋2＋1)， 即
2
2
an＋1＋1an＋2＋1
＝. an＋1an＋1＋1
a2＋1
＝2， a1＋1
∵a1＝2，a2＝5，∴a1＋1＝3，a2＋1＝6，∴
∴数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知，an＋1＝3·2∴an＝3·2
n－1
n－1
， －21－2
n－1，∴Sn＝－n＝3·2－n－3.
2
*
n16．设数列{an}的各项均为正数，且a2＝4a1，an＋1＝an＋2an(n∈N)． (1)证明：数列{log3(1＋an)}为等比数列；
(2)设数列{log3(an＋1)}的前n项和为Tn，求使Tn>520成立时n的最小值． 解：(1)证明：由已知，得a2＝a1＋2a1＝4a1， 则a1(a1－2)＝0，
因为数列{an}的各项均为正数，所以a1＝2. 因为an＋1＋1＝(an＋1)>0， 所以log3(an＋1＋1)＝2log3(an＋1)． 又log3(a1＋1)＝log33＝1，
所以数列{log3(1＋an)}是首项为1，公比为2的等比数列． (2)由(1)可知，log3(1＋an)＝2所以Tn＝1＋2＋2＋…＋2
n2
2
2
n－1
，
n－1
＝2－1.
n由Tn>520，得2>521(n∈N)，得n≥10. 则使Tn>520成立时n的最小值为10.
*
