2019-2020学年高中数学课时分层作业11等差数列前n项和的综合应用

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于(　　)A．n　　C．2n＋1

B．n2D．2n－1

D　[当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又a1＝1适合an＝2n－1，所以an＝2n－1.]

2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　)A．5C．3

C　[由题意得S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.

或由解方程组Error!求得d＝3，故选C．]

3．已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为(　　)A．第5项C．第7项

2

B．第6项D．第

12a1＋a12

C　[由题知，S13＝13a7<0，S12＝

＝6(a6＋a7)>0，所以a7<0，a6＋a7>0，所以B．4D．2

a6>－a7＝|a7|，所以a7绝对值最小．]

→→→OBOAOC4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ＝a1 ＋a200 ，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于(　　)

A．100C．200

A　[A，B，C三点共线⇔a1＋a200＝1，200

∴S200＝2(a1＋a200)＝100.]

B．101D．201

S41S8

5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8＝3，那么S16的值为(　　)

1A．81C．9

1B．33D．10

D　[设S4＝m，则S8＝3m，由性质得S4、S8－S4、S12－S8，S16－S12成等差数列，

S83m3

S4＝m，S8－S4＝2m，所以S12－S8＝3m，S16－S12＝4m，所以S16＝10m，∴S16＝10m＝10.]

二、填空题

6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则数列{an}的通项公式an＝________.2n＋1　[当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)

＝2n＋1.

因为n＝1时，a1＝3，也满足an＝2n＋1，所以an＝2n＋1.]

7．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为________．23或24　[∵a24＝0，∴a1<0，a2<0，…，a23<0，故S23＝S24最小．]

8．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．

4或5　[由Error!解得Error!

∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5同时最大．∴n＝4或5.]三、解答题

9．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，求a9.[解]　设等差数列的公差为d，则

3×2

S3＝3a1＋2d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，6×5

S6＝6a1＋2d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.由Error!解得Error!

故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.

10．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足

a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＋.

(1)求a2的值；

(2)求数列{an}的通项公式．[解]　(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，∴a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3.

(2)法一：由an＋1＝2Sn＋1，得Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，故Sn＋1＝(Sn＋1)2.

∵an>0，∴Sn>0.∴Sn＋1＝Sn＋1.

∴数列{Sn}是首项为S1＝1，公差为1的等差数列．∴Sn＝1＋(n－1)×1＝n.∴Sn＝n2.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又a1＝1适合上式，∴an＝2n－1.

法二：由an＋1＝2Sn＋1，得(an＋1－1)2＝4Sn，当n≥2时，(an－1)2＝4Sn－1，

∴(an＋1－1)2－(an－1)2＝4(Sn－Sn－1)＝4an.

∴an＋

21－a2n－2an＋1－2an＝0，即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.∵an>0，∴an＋1－an＝2.

∴数列{an}从第2项开始是以a2＝3为首项，公差为2的等差数列，∴an＝3＋2(n－2)＝2n－1(n≥2)．∵a1＝1适合上式，∴an＝2n－1.

[能力提升练]

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　A．12B．14C．16

D．18

B　[Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，

S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，

所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，

na1＋an

由Sn＝

2

＝210，得n＝14.]

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5D．6

B　[∵an＝Error!

∴an＝2n－10.由5<2k－10<8，得7.53．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0且a11>|a10|，则满足Sn<0的n的最大值为________．

19　[因为a10<0，a11>0，且a11>|a10|，所以a11>－a10，a1＋a20＝a10＋a11>0，

20a1＋a20

所以S20＝

2

>0.

)又因为a10＋a10<0，

19×a10＋a10

所以S19＝

2

＝19a10<0，

故满足Sn<0的n的最大值为19.]

n＋1

4．已知{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，Sn＝2an，则{an}的通项公式为________．

an＝n(n∈N＋)　[由已知2Sn＝(n＋1)an，

∴2Sn－1＝nan－1(n≥2)，

两式相减，得2an＝(n＋1)an－nan－1，即(n－1)an＝nan－1，

anna22a33a44ann∴an－1＝n－1(n≥2)，从而可得a1＝1，a2＝2，a3＝3，…，an－1＝n－1(n≥2)，

以上各式相乘可得an＝na1＝n(n≥2)．又a1＝1也适合上式，∴an＝n(n∈N＋)．]

5．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.[解]　∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.

当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋annn－1

＝na1＋

2

nn－1

2

×(－4)

d＝13n＋

＝15n－2n2；

当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn13＋1×4＝2×

2

－(15n－2n2)

＝2n2－15n＋56.∴Tn＝Error!