[第29讲 等差数列及其前n项和]
(时刻：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．已知a，b，c三个数成等差数列，其中a＝5＋26，c＝5－2
6，那么b的值为( )
A．2
6 B.
6
C．5 D．10
2．在等差数列{an}中，已知a1＝1，a2＋a4＝10，an＝39，那么n＝( ) A．19 B．20 C．21 D．22
3．[2021·昆明质检] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝5，S11＝22，那么数列{an}的公差d为( A．－1 B．－13
C.1
3
D．1 4．[2021·湖南卷] 设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，那么S5＝________． 能力提升
5．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝10，那么S11的值为( ) A．12 B．18 C．22 D．44
6．[2021·包头一模] 已知数列{an}是等差数列，假设a1＋a5＋a9＝2π，那么cos(a2＋a8)＝( ) A．－12 B．－32
C.12 D.32
7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，假设S8＝30，S4＝7，那么a4的值等于( ) A.14 B.94 C.134 D.174
8．等差数列{an}中，假设a5＋a6＝4，那么log2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )
) A．10 B．20 C．40 D．2＋log25
9．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，那么过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率是( ) 1
A．4 B.
4C．－4 D．－143
1
10．[2021·北京卷] 已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，假设a1＝，S2＝a3，那么a2＝________．
211．[2021·长春一调] 假设等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，那么a4＝________．
12．设等差数列{an}的公差为正数，假设a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，那么a11＋a12＋a13＝________． 13．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，假设对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，那么k的值为________．
14．(10分)[2021·福建卷] 已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)假设数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
15．(13分)[2021·吉林摸底] 已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2(n∈N*)． (1)求a1和an；
(2)记bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和． 难点突破
16．(12分)[2021·丰台二模] 已知数列{an}知足a1＝4，an＋1＝an＋p·3n＋1(n∈N*，p为常数)，a1，a2＋6，a3成等差数列．
(1)求p的值及数列{an}的通项公式； 4
(2)设数列{bn}知足bn＝，证明：bn≤.
an－n9
n2
课时作业(二十九) 【基础热身】
1．C [解析] 由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c， 1
则b＝(a＋c)＝5，应选C.
2
1
2．B [解析] 设等差数列{an}的公差为d，由a2＋a4＝10，得a1＋d＋a1＋3d＝10，即d＝(10－2a1)＝2，
4由an＝39，得1＋2(n－1)＝39，n＝20，应选B. 3．A [解析] 设等差数列{an}的公差为d，那么
a＋2d＝5，
11a＋11×10d＝22，解得a＝7，d＝－1， 2
1
1
1
∴数列{an}的公差d＝－1，应选A.
4．25 [解析] 设数列{an}的公差为d，因为a1＝1，a4＝7，因此a4＝a1＋3d⇒d＝2， 故S5＝5a1＋10d＝25. 【能力提升】
5．C [解析] 由S8－S3＝10，得a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝10， 因为a4＋a8＝a5＋a7＝2a6，那么5a6＝10，即a6＝2， 11（a1＋a11）11·2a6∴S11＝＝＝22，应选C.
22
2π4π1
6．A [解析] 由已知得a5＝，而a2＋a8＝2a5＝，那么cos(a2＋a8)＝－，应选A.
332
7．C
[解析] 由已知，得，
8×7
18a1＋d＝30，
2a1＝，4a1＋14d＝15，
4 即解得
4×34a1＋6d＝7，
d＝1，4a1＋d＝7，
2
13
则a4＝a1＋3d＝，应选C.
4
8．B [解析] 因为a1＋a10＝a2＋a9＝…＝a5＋a6＝4，那么
log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝20，应选B.
5（a1＋a5）
9．A [解析] 因为{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，因此S5＝＝55，得a1＋a5＝22，因此
22a3＝22，a3＝11，因此kPQ＝
a4－a3
4－3
＝4.应选A.
11
10．1 [解析] 设等差数列{an}的公差为d，由S2＝a3可得，a1＝a3－a2＝d＝，因此a2＝2d＝2×＝1.
22
5×4
5a＋2d＝25，
[解析] 依题意，得解得d＝2，∴a＝a＋2d＝7.
a＋d＝3，
1
4
2
1
11．7
a1＋a1＋d＋a1＋2d＝15，
12．105 [解析] 由已知，得
a1（a1＋d）（a1＋2d）＝80，d＝5－a1，
即消去d，得
a（a＋2d）＝16，11
2－10a＋16＝0，解得a＝2或a＝8. a1111
当a1＝2时，d＝3，a11＋a12＋a13＝a1＋10d＋a1＋11d＋a1＋12d＝3a1＋33d＝105； 当a1＝8时，d＝－3，不符合题意，舍去．
13．20 [解析] 方式一：由对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，知Sk是Sn的最大值． 由等差数列的性质，得a1＋a7＝2a4，a2＋a8＝2a5，代入已知条件，得
a4＝33，a5＝31，那么公差d＝a5－a4＝－2，a1＝33－3d＝39，
∴Sn＝39n＋
n（n－1）
2
×(－2)＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400，
那么当n＝20时，Sn有最大值，故k的值为20.
方式二：由题设对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，知求k的值即求Sn最大时的项数n. 由等差数列的性质，有a1＋a7＝2a4，a2＋a8＝2a5，代入已知条件，得
a4＝33，a5＝31，那么公差d＝a5－a4＝－2，a1＝33－3d＝39，
∴an＝39－2(n－1)＝41－2n.
an≥0，41－2n≥0，由即解得19.5a<0，41－2（n＋1）<0，n＋1∴当n＝20时，Sn取得最大值，故k＝n＝20.
14．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，那么an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3. 解得d＝－2.
从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n. 因此Sn＝
n[1＋（3－2n）]
2
＝2n－n2.
进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35. 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7为所求．
15．解：(1)∵Sn＝10n－n2，∴a1＝S1＝10－1＝9. ∵Sn＝10n－n2，当n≥2，n∈N*时，
Sn－1＝10(n－1)－(n－1)2＝10n－n2＋2n－11，
∴an＝Sn－Sn－1＝(10n－n2)－(10n－n2＋2n－11) ＝－2n＋11.
又n＝1时，a1＝9＝－2×1＋11，符合上式． 那么数列{an}的通项公式为an＝－2n＋11(n∈N*)．
－2n＋11（n≤5），
(2)∵an＝－2n＋11，∴bn＝|an|＝
2n－11（n>5），
设数列{bn}的前n项和为Tn， 当n≤5时，Tn＝
n（9－2n＋11）
2
＝10n－n2；
（n－5）（b6＋bn）（n－5）（1＋2n－11）
当n>5时，Tn＝T5＋＝25＋＝25＋(n－5)2＝n2－10n＋50，
22
10n－n2（n≤5，n∈N*），
∴数列{bn}的前n项和Tn＝
2*n－10n＋50（n>5，n∈N）.
【难点冲破】
16．解：(1)因为a1＝4，an＋1＝an＋p·3n＋1，
因此a2＝a1＋p·31＋1＝3p＋5；a3＝a2＋p·32＋1＝12p＋6. 因为a1，a2＋6，a3成等差数列，
因此2(a2＋6)＝a1＋a3， 即6p＋10＋12＝4＋12p＋6， 因此p＝2.
依题意，an＋1＝an＋2·3n＋1， 因此当n≥2时，a2－a1＝2·31＋1，
a3－a2＝2·32＋1，
…
an－1－an－2＝2·3n－2＋1， an－an－1＝2·3n－1＋1.
相加得an－a1＝2(3n－1＋3n－2＋…＋32＋3)＋n－1， 3（1－3n－1）
因此an－a1＝2×＋(n－1)，
1－3因此an＝3n＋n.
当n＝1时，a1＝31＋1＝4成立， 所以an＝3n＋n.
(2)证明：因为an＝3n＋n， 因此bn＝＝.
（3n＋n）－n3n（n＋1）2n2－2n2＋2n＋1
因为bn＋1－bn＝－n＝(n∈N*)． n＋1n＋1333假设－2n2＋2n＋1<0，那么
1＋3
n>，即n≥2时bn＋12n2n2
144
又因为b1＝，b2＝，因此bn≤.
399
