圆锥曲线的重要结论

经验公式及小结论秒解几选填题 圆类：

22(xa)(yb)1 已知圆

若切点当

(x0,y0)在圆上，其切线方程为 (xa（)x0a)(yb)(y0b)1

(x0,y0)圆外时, (xa（)x0a)(yb)(y0b)1表示过两个切点的切点弦方程．

从圆外一点引圆的两条割线．这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

关系式：PA·PB=PC·PB=PT2． 圆内接四边形：

型 定理：圆内接四边形对角互补。

推论：圆内接四边形的外角等于它的内对角。

椭圆类

x2y21、椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，

ab则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2btan22

x2y22、AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则，即

abKABb2x0b2a2x22，如果焦点在Y轴，则 有kAB22可以推出kOMkAB2abyay0

x2y23、设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一

ab,.

点，在△PF1F2中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

since.

sinsinax2y24、设P点是椭圆221（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记关

ab2b22F1PF2，则(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2btan

1cos2双曲线类

x2y21、双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点

abF1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2b2cot2

x2y22 AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，

ab则KOMKABb2x0b2x02，即KAB2ay0ay0

x2y23、设P点是双曲线221（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记

ab2b22F1PF2，则(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2bcot

1cos24、渐近线的夹角2，（焦点在夹角内，则离心率为esec）

渐近线是双曲线的定性线，由焦点向渐近线引垂线，垂足必在相应的准线上，反之，过渐近线与准线的交点和相应的焦点的连线，必垂直于该渐近线。` 焦点到相应渐近线的距离等于双曲线的虚半轴长b

抛物线类

,.

2A(x,y)B(x,y)y（1）若AB是抛物线2px(p0)的焦点弦（过焦点的弦），且11，22，

p2x1x2y1y2p24则：，。

（2）已知直线AB是过抛物线y2px(p0)焦点F，求证：

2211AFBF为定值。

AB2Psin2

（3）若AB是抛物线y2px(p0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（4）中点弦求斜率公式

2设AB是抛物线y2px的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点 则kp y0三类曲线通用公式 求弦长公式 l 

1k2x1x211|y1y2|k2Va(1k2)[(x1x2)24x1x2]　（消y）(11)[(y1y2)24y1y2]　　（消x）2k=1k2焦半径：r

ep1ecosb2b2pc 通径的一半：a 焦点到对应准线的距离（焦准距）

,.

22（x3）y4，和过原点的直线ymx的交点为P、Q，则OP与OQ之积是已知圆

（ C ）、

521m1mA、 B、 C、10 D、5

22已知两圆xy10和(x1)(y3)20相交于A，B两点，则直线AB的方程

22是 ．x3y0

2222若⊙O1:xy5与⊙O2:(xm)y20(mR)相交于A、B两点，且两圆在点

处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 4

椭圆两焦点为 F1(4,0)，F2(4,0) ，P在椭圆上，若 △PF1F2的面积的最大值为12， 则椭圆方程为（ B ）

x2y2x2y2x2y2x2y21 B、1 C、1 D、1 A、

1692592516254中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为

1，则椭圆方程为( C ) 22x22y22x22y2A.1 B.125757525 2222xyxyC.1 D.1257575252y21的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若AB4，则这样的过双曲线x2直线l有（ C ）条。

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

,.

x2y2x2y21的右焦点为圆心，且与双曲线1的渐近线相切的圆的方程以椭圆

169144916是（ A ）。 （A）x（C）x2y210x90 （B）x2y210x90 y210x90 （D）x2y210x90

2x2y2直线l过双曲线221的右焦点，斜率为k2，若l与双曲线的两个交点分别在双曲

ab线左右两支上，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ D ）。 （A）e2 （B）1e3 （C）1e5 （D）e5 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线yx1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为2，则此双曲线的方程是（ D ） 3x2y2x2y2x2y2x2y2A、1 B、1 C、1 D、1

34435225x2y2双曲线1的渐近线与圆(x3)2y2r2(r0)相切，则r答案：A。

63 A、3

B、2

C、3

D、6

x2y2已知双曲线221(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线

ab右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（C）

A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)

2C：y4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点．设F已知是抛物线

,.

FAFB，则

FA与

FB的比值等于 ．322

过椭圆的一个焦点F(c,0)，倾斜角为arccos3的直线交椭圆于A,B两点，若 4|AF|:|BF|1:3，则椭圆的离心率为

Ａ．

1223 Ｂ． C. D. 3332x2y21上一点，F1、F2为焦点，如果PF1F275o，PF2F115o，1、P为椭圆 ab则椭圆的离心率为（A）。

（A）

2362 （B） （C） （D）

22332y4x的焦点弦被焦点分成m和n两部分，则m和n的关系是

2 设抛物线

（A）m+n4 （B）mn4 （C）m+nmn （D）m+n2mn

22、 求过抛物线y8x被点1,1所平分的弦所在直线的方程。y4x3

4．过抛物线x2pyp0的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点

2(点A在y轴左侧)，则

AF1＝ ．

3FB7 中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横

1坐标为2，则椭圆方程为( C )

2x22y22x22y2A.1 B.125757525x2y2x2y2C.1 D.125757525

,.

x2y21上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，8 ．若点P在椭圆且F1PF290，则F1PF22的面积是（ ）

A. 2 B. 1 C.

2213 D.

229 ．椭圆4x9y144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直

线的方程为

（ ）

A．3x2y120 C．4x9y1440

B．2x3y120 D． 9x4y1440

x210．过点M（－2，0）的直线m与椭圆y21交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直

2线m的斜率为k1（k10），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（ ）

A．2

B．－2

C．

1 2D．－

1 213．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M、N两点，过两点O与线段MN之中点的直 线的斜率为A．

2 2m2，则的值是（ A ）

n2 B．

2392 C． 32 D．

23 27x2x22y1(m1)与双曲线y21(n0)有相同的焦点F1、F2，P是两14、若椭圆mn曲线的一个交点，则F1PF2的面积是（ ）

目 A．4 B．2 C．1 D．

21

x2y215已知双曲线2－2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△

aba2OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为

2 A．30º

B．45º

C．60º

D．90º

,.

x2y220、过双曲线221（a＞0，b＞0）上任意一点P，作X轴的平行线交两条渐近线于

abPQ两点，则PQ.PR的值为 B A、ab B

a2 C、 b2 D、a2b2

x2y221、O 是坐标原点, M是椭圆221上异于椭圆顶点的点, M与椭圆短轴两端点的连线

ab交X轴于P, Q 两点, 则PQ•OQ的值为 B A、ab B

a2 C、 b2 D、a2b2

x2y23C:221(a＞b＞0)ab7．已知椭圆的离心率为2，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线

uuuruuur与C相交于A、B两点．若AF3FB，则k（2010全国2高考题）（B）

A．1 B．2 C．3 D．2

uuuruuury2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OAOB

1 设坐标原点为O，抛物线

233 （A）4 （B）4 （C）3 （D）3

10．过抛物线y2px(p0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分

2别交于A、B两点，则

|AF|的值等于 |BF|B．4

C．3

D．2

A．5

P是椭圆上一定点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若PF1F2600,PF2F1300,则椭圆的离心率为 ______ .

31

,.

x27． 设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且

4PF1PF2，求点P的横坐标为（ ）

268A．1 B． C．22 D．3

311已知双曲线9ymx1(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为5，则m（ ）

222A．1 B．2 C．3 D．4

x2y221的右焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 1．已知双曲线

3bA．2 B．3 C．

23 332D．2

12．已知A(2,0),B(0,2),实数k是常数，M,N是圆xykx0上两个不同点，P是圆

22x2y2kx0上的动点，如果M,N关于直线xy10对称，则PAB面积的最大

值是

A．3

C．3

（ ）

2

B．4

2

D．6

y1y2y22pxp0的焦点作一条直线交抛物线于Ax1,y1,Bx2,y2，则x1x2等

10．过抛物线

于（B ）

22pp A. 4 B.－4 C. D.

,.

2a0 的焦点作一直线交直线于P.Q两点，若线段PF与FQ的长分别yax11．过抛物线

p,q,则时

11pq等于（ B ）

14 A.2a B.4a C.2a D.a

22xy21(a＞0，b＞0)2ab5.（2011高考山东理8）已知双曲线的两条渐近线均和圆

22xy6x50C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为【答案】A

x2y2x2y2x2y2x2y211114563 A．5 B．4 C．3 D．6

118．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为2，则该双

曲线的离心率为(C)

2(A)2 (B)2 (C)

y2

19．已知双曲线 － =1(a>

a22A.2 B.

x2

2 (D)22

π

2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为(D)

3

63

D.

233

23 C.

x2y21F、F259128.已知为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若

F2AF2B12，则

AB=______________。8

222xyk（k0)的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ C ） 1、若双曲线

,.

A． 6 5. 已知

B． 8

C． 1

D． 4

F1、

F222xy1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=600，则为双曲线C:

|PF1|g|PF2|(B)

(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8

uuuruuur2y4x已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足AF3FB,则弦AB的中点到准线的距

8离为___________.3

x2uuuruuurC:y212已知椭圆的右焦点为F，右准线为l，点Al，线段AF交C于点B.若FA3FB,

uuurAF

则

=

（ ）【答案】A。

C、3

A、2

B、2

D、3

x2y2C:221(a0,b0)的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、Bab已知双曲线

uuuruuur两点，若AF4FB，则C的离心率为（ ）：A。 678A．5 B．5 C．5

9 D．5