第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
1．若△ABC中，∠C=90°， （1）若a=5，b=12，则c= ； （2）若a=6，c=10，则b= ；
（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .
2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .
3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 . 4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（ ）. A．30 cm2
B．130 cm2 C．120 cm2 D．60 cm2
5．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.
6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要
从树底开始爬多高？
7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处， 若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.
BFADEC参：
1．（1）13；（2）8；（3）6，8． 2．2.5m．
3．
60cm． 134．D． 5．25km． 6．4． 7．3 cm．
1.1 探索勾股定理
第2课时 验证勾股定理
1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？ 它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.
（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？
（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？
2.下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.
①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？
④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？
参
1.（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC=4，BC=3,
S正方形ABED=S正方形FCGH－4SRt△ABC =(3+4)2－4×
1×3×4=72－24=25 2即AB2=25，又AC=4，BC=3， AC2+BC2=42+32=25 ∴AB2=AC2+BC2
（2）如图（图见题干中图）
S正方形ABED=S正方形KLCJ－4SRt△ABC=(4+7)2－4×
2.①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a为边长的正方形，（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方
1×4×7=121－56=65=42+72 2
形.
②图中（1）的面积为a2,(2)的面积为b2,(3)的面积为c2. ③图中（1）（2）面积之和为a2+b2.
④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.
因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个Rt△ABC的面积.
由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.
1.2 一定是直角三角形吗
1.如图在ABC中, BAC = 90, ADBC于D, 则图中互余的角有 A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为
3.已知：四边形ABCD中，BD、AC相交于O，且BD垂直AC，求证：
AB2CD2AD2BC2。
4. 已知：钝角BAC，CD垂直BA延长线于D，求证：
D C O A B BC2AB2AC22ABAD。
5. 已知：ABAC，且ABAC，D在BC上，求证：
D A B C BD2CD22AD2。
A B D C
6. 已知：ABAC，CDBC，求证：ADAB2BC。
7 已知：ABC中，AD
222为BC
AB2AC22(BD2AD2)。
8.如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
A 中线，求证： B D C 9.如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知：AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。
9.已知：如图，ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A。
求：BD的长。
分析：因为ABC中，AB=AC，可作AE⊥BC于E，构造直角三角形，由已知条件，AE，CE，可求。根据勾股定理可列方程式求解。
1.3 勾股定理的应用
1．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时线，中心O为点）是（ ）．
A . 2m B．3m C．6m D．9m
2．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2 m，坡角∠A ＝30°，∠B ＝90°，BC ＝6 m． 当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝ m时，有DC2＝AE2＋BC2．
3．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．
O 一个直角三条支路的距视管道为
4．如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为8 cm，圆柱的半径为
6cm，那么最短路径AB长( )． A．8 B．6
C．平方后为208的数 D．10
5．一个圆桶，底面直径为24 cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为( ) ．
A．24cm B．32cm C．40 cm D．45
6．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160 m，再向东直走80 m后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少米后，他与神仙百货的距离为340 m？
A． 100 B． 180 C． 220 D． 260
7. 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m,8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长． ．．．．．．．．．．
8．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000 m处，过了．．．．20秒，飞机距离这个女孩头顶5000 m，则飞机速度是多少？
参 1.C 2.
14 33. 15
4.D 5.C 6.C
7. 周长=8+8+82=16+82． 8.150 m/s.
