2021重庆中考数学专题复习
几何证明题
1. 【初步探索】
E、F分别是BC、CD上的点，(1)如图1：𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=90°，在四边形ABC中，且𝐸𝐹=𝐵𝐸+𝐹𝐷，探究图中∠𝐵𝐴𝐸、∠𝐹𝐴𝐷、∠𝐸𝐴𝐹之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使𝐷𝐺=𝐵𝐸.连接AG，先证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺，再证明△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹，可得出结论，他的结论应是______； 【灵活运用】
(2)如图2，若在四边形ABCD中，𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵+∠𝐷=180°.𝐸、F分别是BC、CD上的点，且𝐸𝐹=𝐵𝐸+𝐹𝐷，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】
(3)如图3，已知在四边形ABCD中，∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐷𝐶=180°𝐴𝐵=𝐴𝐷，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足𝐸𝐹=𝐵𝐸+𝐹𝐷，请写出∠𝐸𝐴𝐹与∠𝐷𝐴𝐵的数量关系，并给出证明过程．
2. 如图1和图2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=13，𝐵𝐶=14，cos∠𝐴𝐵𝐶=13．
探究：如图1，𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于点H，则𝐴𝐻=______，𝐴𝐶=______，△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆△𝐴𝐵𝐶=______． 拓展：如图2，点D在AC上(可与点A、C重合)，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设𝐵𝐷=𝑥，𝐴𝐸=𝑚，𝐶𝐹=𝑛，(当点D与A重合时，我们认为𝑆△𝐴𝐵𝐷=0)． (1)用含x、m或n的代数式表示𝑆△𝐴𝐵𝐷及𝑆△𝐶𝐵𝐷；
(2)求(𝑚+𝑛)与x的函数关系式，并求(𝑚+𝑛)的最大值和最小值；
(3)对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程)，并写出这个最小值．
5
3. 如图，四边形ABCD为正方形，△𝐴𝐸𝐹为等腰直角三角形，∠𝐴𝐸𝐹=90°，连接FC，G为FC的中点，
连接GD，ED．
(1)如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．
(2)将图①中的△𝐴𝐸𝐹绕点A逆时针旋转，(1)中的结论是否成立？说明理由． 其它条件不变，如图②，(3)若𝐴𝐵=5，𝐴𝐸=1，将图①中的△𝐴𝐸𝐹绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．
4. 如图，在平行四边形ABCD中，𝐶𝐸⊥𝐵𝐶交AD于点E，连接BE，点F是BE上一点，连接CF．
(1)如图1，若∠𝐸𝐶𝐷=30°，𝐵𝐶=𝐵𝐹=4，𝐷𝐶=2，求EF的长；
(2)如图2，若𝐵𝐶=𝐸𝐶，过点E作𝐸𝑀⊥𝐶𝐹，交CF延长线于点M，延长ME、CD相交于点G，连接BG交CM于点N，若𝐶𝑀=𝑀𝐺，求证：𝐸𝐺=2𝑀𝑁．
5. 如图，在正方形ABCD中，𝐴𝐵=6，M是对角线BD上的一个动点(0<𝐷𝑀<2𝐵𝐷)，连接AM，过点
M作𝑀𝑁⊥𝐴𝑀交BC于点N． (1)如图①，求证：𝑀𝐴=𝑀𝑁；
(2)如图②，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当𝑆的长；
(3)如图③，过点N作𝑁𝐻⊥𝐵𝐷于H，当𝐴𝑀=2√5时，求△𝐻𝑀𝑁的面积．
𝑆△𝐴𝑀𝑁
△𝐵𝐶𝐷
1
=
1318
时，求AN和PM
6. 操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的
直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接𝐴𝐹.取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．
(1)连接AE，求证：△𝐴𝐸𝐹是等腰三角形； 猜想与发现：
(2)在(1)的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是______；
结论2：DM、MN的位置关系是______； 拓展与探究：
(3)如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
7. 如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作𝐷𝐸⊥𝐷𝐶交直线AB于点E，过点E作𝐸𝐻⊥𝐴𝐷
于点H，过点B作𝐵𝐹⊥𝐴𝐷于点F．
(1)如图1，若∠𝐵𝐴𝐷=60°，𝐴𝐹=3，𝐴𝐻=2，求AC的长；
(2)如图2，若𝐵𝐹=𝐷𝐻，在AC上取一点G，连接DG、GE，若∠𝐷𝐺𝐸=75°，∠𝐶𝐷𝐺=45°−∠𝐶𝐴𝐵，求证：𝐷𝐺=√𝐶𝐺．
2
6
8. 如图1，在𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐵中，∠𝐴𝑂𝐵=90°，𝑂𝐴=𝑂𝐵，D为OB边上一点，过D点作𝐷𝐶⊥𝐴𝐵交AB于C，
连接AD，E为AD的中点，连接OE、CE． 观察猜想
(1)①𝑂𝐸与CE的数量关系是______； ②∠𝑂𝐸𝐶与∠𝑂𝐴𝐵的数量关系是______； 类比探究
(2)将图1中△𝐵𝐶𝐷绕点B逆时针旋转45°，如图2所示，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 拓展迁移
(3)将△𝐵𝐶𝐷绕点B旋转任意角度，若𝐵𝐷=√2，𝑂𝐵=3，请直接写出点O、C、B在同一条直线上时OE的长．
9. 如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=20，𝑡𝑎𝑛𝐵=4，点D为BC边上的动点(点D不与点B，C重合).以D
为顶点作∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵，射线DE交AC边于点E，过点A作𝐴𝐹⊥𝐴𝐷交射线DE于点F，连接CF．
3
(1)求证：△𝐴𝐵𝐷∽△𝐷𝐶𝐸；
(2)当𝐷𝐸//𝐴𝐵时(如图2)，求AE的长；
(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得𝐷𝐹=𝐶𝐹？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
10. 已知：正方形ABCD中，∠𝑀𝐴𝑁=45°，∠𝑀𝐴𝑁绕点A顺时旋转，它的两边分别交CB，𝐷𝐶(或它们的
延长线)于点M，𝑁.当∠𝑀𝐴𝐵绕点A旋转到𝐵𝑀=𝐷𝑁时(如图1)，易证𝐵𝑀+𝐷𝑁=𝑀𝑁．
(1)当∠𝑀𝐴𝑁旋转到𝐵𝑀≠𝐷𝑁时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
(2)当∠𝑀𝐴𝑁绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
11. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸⊥𝐶𝐷且𝐴𝐸=𝐶𝐷，∠𝐶𝐴𝐸+2∠𝐵𝐴𝐸=90°．
(1)如图1，若△𝐴𝐶𝐸为等边三角形，𝐶𝐷=2√3，求AB的长；
(2)如图2，作𝐸𝐺⊥𝐴𝐵，求证：𝐴𝐷=√2𝐵𝐸；
(3)如图3，作𝐸𝐺⊥𝐴𝐵，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．
12. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐶=6，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷.点G是射线AD上一点．
F分别在AB，AC上，(1)若𝐺𝐸⊥𝐺𝐹，点E，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明𝐴𝐸+𝐴𝐹=√2𝐴𝐷.当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系． (2)当点G在线段AD上时，𝐴𝐺+𝐵𝐺+𝐶𝐺的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
F在CD上，BF交CG于点E，13. 如图，𝐶𝐺⊥𝐴𝐵于点G，∠𝐴𝐵𝐹=45°，在▱ABCD中，连接AE，且𝐴𝐸⊥𝐴𝐷．
(1)若𝐵𝐺=2，𝐵𝐶=√29，求EF的长度； (2)求证：𝐶𝐸+√2𝐵𝐸=𝐴𝐵．
14. 如图，在△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹中，𝐶𝐴=𝐶𝐵，𝐸𝐷=𝐸𝐹，AB、DF交于点G，且点G为AB、DF的中点，将
△𝐷𝐸𝐹绕着点G旋转．
(1)若∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐸𝐹=90°，连接CE．
当△𝐷𝐸𝐹旋转至点C在FE的延长线上时，若𝐴𝐵=8√2，①如图1，𝐷𝐹=2√6，𝐶𝐸=√3，tan∠𝐴𝐶𝐹=√2.求AF的长；
𝐵𝑁=点M为EF中点，连接CM，过点F作𝐹𝑁//𝐶𝐸交CM的延长线于点N，连接BN，求证：②如图2，√2𝐶𝐸；
(2)如图3，若∠𝐴𝐶𝐵=120°，∠𝐷𝐸𝐹=60°，连接AE，连接CF交AB于点M，交AE于点N，已知FN：DF：𝐴𝐵=2：5：21，直接写出𝐶𝑀的值．
𝐺𝑀
15. 已知△𝐴𝐵𝐶、△𝐵𝐷𝐸是等边三角形，△𝐵𝐷𝐸可以绕点B旋转．
(1)如图1，点F为DE边上一点，连接AF、BF、CF，当𝐶𝐹=𝐵𝐶且𝐴𝐹//𝐵𝐸时，∠𝐸𝐵𝐹=______ °； (2)如图2，连接AD并延长交BC于点M，点N为AC延长线上一点，连接BN，连接CE并延长交BN于点𝐺.若点G为BN的中点，求证：𝐵𝑀=𝐶𝑁；
(3)在(2)的情况下，若𝐴𝐵=4，𝐵𝐸=3，在△𝐵𝐷𝐸旋转过程中，当𝐴𝑀+𝑀𝑁最小时，请直接写出GE的长．
16. 如图，𝐶𝐴=𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵=90°，点D为AB的中点，连接CD；点E为CD的中点，𝐸𝐹=𝐸𝐺=𝐸𝐶，
且∠𝐹𝐸𝐺=90°；点O为CB的中点，直线GO与直线CF交于点N． (1)如图1，若∠𝐹𝐶𝐷=30°，𝑂𝐶=√2，求CF的长； (2)连接BG并延长至点M，使𝐵𝐺=𝑀𝐺，连接CM． ①如图2，若𝑁𝐺⊥𝑀𝐵，求证：𝐴𝐵=√10𝐶𝑀；
②如图3，当点G、F、B共线时，BM交AC于点H，𝐴𝐻=4𝐴𝐶，请直接写出𝑀𝐻的值．
1
𝐹𝐶
17. 如图，点B，C，D在同一条直线上，△𝐵𝐶𝐹和△𝐴𝐶𝐷都是等腰直角三角形.连接AB，DF，延长DF交
AB于点E．
(1)如图1，若𝐴𝐷=𝐵𝐷，DE是△𝐴𝐵𝐷的平分线，𝐵𝐶=1，求CD的长度；
(2)如图2，连接CE，求证：𝐷𝐸=√2𝐶𝐸+𝐴𝐸；
(3)如图3，改变△𝐵𝐶𝐹的大小，始终保持点F在线段AC上(点F与点A，C不重合).将ED绕点E顺时针旋转90°得到𝐸𝑃.取AD的中点O，连接𝑂𝑃.当𝐴𝐶=2时，直接写出OP长度的最大值．
18. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，E为线段CD上一点(不含端点)，连接
AE，设F为AE的中点，作𝐶𝐺⊥𝐶𝐹交直线AB于点G． (1)猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；
(2)如果将题设中的条件“E为线段CD上一点(不含端点)”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．
19. 如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点E是AD上一点，连接BE，
交AC与点F，过点C作线段BE的垂线，垂足为点G，交AD于点H，连接FH． (1)如图1，当𝐴𝐵=𝐴𝐸时，求证：𝐵𝐹−𝐸𝐺=𝐹𝐻+𝐻𝐺；
(2)如图2，连接BH交AC于点K，当𝐾𝐹=5时，求出𝐻𝐶的值．
𝐴𝐾6𝐻𝐹
20. 在菱形ABCD中，∠𝐴𝐷𝐶=120°.𝑃为菱形ABCD内对角线BD右侧一点．
(1)如图1，连接AP、BP、DP，若∠𝐵𝑃𝐷=2∠𝐵𝐴𝐷，求证：𝐴𝑃=𝐵𝑃+𝐷𝑃；
(2)如图2，𝑃𝐹⊥𝐵𝐷于点F，𝑃𝐺⊥𝐵𝐶于点𝐺.连接EF、FG、EG，过点P作𝑃𝐸⊥𝐶𝐷于点E，若𝐴𝐵=6，求△𝐸𝐹𝐺面积的最大值．
21. 在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐷𝐸=90°.𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷𝐸=𝐷𝐴，且𝐴𝐵>𝐴𝐷．
(1)如图1，当点D在线段AB上时，连接EC，若𝐴𝐶=2√2，𝐴𝐸=3，求线段EC的长；
(2)如图2.将图1中△𝐴𝐷𝐸绕着点A逆时针旋转，使点D在△𝐴𝐵𝐶的内部，连接BD，𝐶𝐷.线段AE，BD
相交于点F，当∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐷𝐴𝐶时，求证：𝐵𝐹=𝐷𝐹；
(3)如图3，点𝐶′是点C关于AB的对称点，连接𝐶′𝐴，𝐶′𝐵，在(2)的基础上继续逆时针旋转△𝐴𝐷𝐸，过BCG，BD，作AD的平行线，交直线EA于点G，连接𝐶′𝐺，若𝐵𝐶=2，当线段𝐶′𝐺最短时，直接写出△𝐴𝐶𝐺的面积．
22. 如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐷均为等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐷𝐸=90°，作𝐷𝐺⊥𝐴𝐸于G，连接BD，取BD
的中点F，连接GF．
(1)如图1，当𝐴𝐶=𝐴𝐸，且C、E重合时，若𝐴𝐷=3，求GF的长， (2)如图2，当𝐴𝐸≠𝐴𝐶，且点E不在BD上时，连接CF，求证：𝐶𝐹=𝐺𝐹；
DG与AC相交于P，BD与AC相交于N，(3)如图3，𝐴𝐷=10，当点E在BD上时，连接CG交BD于M，𝐴𝐶=13√2，直接写出四边形PGMN的面积．
23. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，AD平分∠𝐵𝐴𝐶交BC于点D，点E是AB上的一点，连接DE．
(1)如图1，若∠𝐵𝐴𝐶=90°，∠𝐷𝐸𝐴=60°，𝐷𝐸=4，求AE的长度；
(2)如图2，过点E作EF平行于AC交BC于点F，且∠𝐶=∠𝐵𝐷𝐸+∠𝐴𝐸𝐷，求证：𝐹𝐷=𝐶𝐷； (3)如图3，在(2)的条件下，过点D作𝐷𝐺⊥𝐵𝐶于点D且交AB于点G，在BD上取点H使得𝐴𝐻=𝐸𝐺，连接AH分别交GD、ED于点M、𝑁.若∠𝐻𝐴𝐷=∠𝐵，∠𝐻𝑀𝐷=2∠𝐵𝐷𝐸，设tan∠𝐴𝐻𝐶=𝑎，请直接写出sin∠𝐵𝐺𝐷的值(用关于a、b的代数式(最简形式)表示)．
𝑏
24. 如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，D为BC边上一点，𝐴𝐵=𝐶𝐷，过点D作𝐷𝐸//𝐴𝐵交AC于点𝐸.连接AD，BE交
于点O．
(1)若∠𝐵𝐴𝐶=90°.𝐴𝐵=3，𝐵𝐷=2，求AD的长度；
(2)如图②，已知∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶.𝐹为线段CD上一点，连接EF，∠𝐷𝐴𝐸=2∠𝐶𝐸𝐹，求证：𝐵𝐸⊥𝐸𝐹； (3)如图③，在(2)的条件下，将△𝐵𝐷𝐸沿直线BC向右平移，平移后B、D、E的对应点分别为𝐵′、𝐷′、𝐸′，当𝐷′与点C重合时，𝐵′𝐸′与EF交于点M，请直接写出𝑀𝐸′的值．
𝐵′𝑀
25. 如图1，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐷𝐵=90°，∠𝐵𝐴𝐶=60°，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵交AB于点E，𝐴𝐸=𝐴𝐷，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶与𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中，
点F在线段BD上，连接AF． (1)若𝐴𝐶=4，求线段BD的长；
(2)如图2，若∠𝐷𝐴𝐹=60°，点M为线段BF的中点，连接CM，证明：2𝐶𝑀=𝐵𝐹+√3𝐴𝐶； (3)如图3，在(2)的条件下，将△𝐴𝐷𝐹绕点A旋转得△𝐴𝐷′𝐹′，连接𝐵𝐹′，点M为线段𝐵𝐹′的中点，连接𝐷′𝑀，当𝐷′𝑀长度取最小时，在线段AB上有一动点N，连接MN，将线段MN绕点M逆时针旋转60°至𝑀𝑁′，连接𝐷′𝑁′，若𝐴𝐶=4，请直接写出(2𝑀𝑁′−√2𝐷′𝑁′)的最小值．
26. 将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定
DC或其所在直线相交于点E、∠𝑀𝑃𝑁的两边分别与正方形的边BC、不动，然后将三角板绕着点A旋转，F，连接EF．
(1)在三角板旋转过程中，当∠𝑀𝑃𝑁的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；
(2)在三角板旋转过程中，当∠𝑀𝑃𝑁的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；
(3)若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠𝑀𝑃𝑁的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．
