点集拓扑期末试卷

 | | | 点集拓扑试题样卷A | | | | 一 二 三 四 总 分 | | 密 | | 得分 阅卷人 | 一、单项选择题 (每小题3分，共30分) | | | 1、设X{a,b,c}，下列集族中,X上的拓扑是 ………………… （ ② ）. | | ① T{X,,{a},{a,b},{c}} ② T{X,,{a},{a,b},{a,c}} | 封 ③ T{X,,{a},{b},{a,c}} ④ T{X,,{a},{b},{c}} | | 2、已知X{a,b,c,d}，拓扑T{X,,{a}},则{b}=………………（ ④ ） | | ①φ ② X ③ {b} ④ {b,c,d} | | 3、在实数空间中，有理数集Q的边界(Q)是 ………………… （ ④ ） | | ①  ② Q ③ R -Q ④ R | 线 4、在实数空间中，区间[0,1)的内部是 ……………………… （ ④ ） | | ①  ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) | | 5、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中错误的是（ ③ ） | ① d(AB)d(A)d(B) ② ABAB | | ③ d(AB)d(A)d(B) ④ AA | | 6、离散空间的任一子集为 ……………………………………… ( ③ ) ① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 共 6 页，第 1 页 7、设XX1X2X6是拓扑空间X1,X2,,X6的积空间. P1是X到X1的投射，则P1是…………………………………（ ④ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 8、在实数空间R中，下列集合是开集的是……………………（ ④ ） ① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z的补集Z 9、设X{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A{2,3}, 则X的子空间A的拓扑为 ………………………………( ② ) ① T{,{3},{2,3}} ② T{,A,{2},{3}} ③ T{,X,{2},{3},{2,3}} ④ T{,X,{3}} 10、设X{a,b,c}，拓扑T{X,,{a},{b,c}},则X的既开又闭的 非空真子集的个数为 ………………………………………… （ ② ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 得分 阅卷人 二、填空题 (每小题4分，共20分) 1、设X{a,b},则X的平庸拓扑为 T{X,} ; 2、每一个球形的邻域都是 开集 3、若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个 可分空间 ； 4、若任意n1个拓扑空间X1,X2,,Xn,都具有性质P,则积空间X1X2Xn也具有性质P，则性质P称为 有限可积性 ; 5、f:XY是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个 商映射 ; 共 6 页，第 2 页 | | | 得分 阅卷人 | 三、名词解释（每小题4分，共20分） | | | 1、同胚映射：设X和Y是两个拓扑空间.如果f:XY是一个一一映射，并 | | 且f和 密

f1:YX 都是连续映射，则称f是一个同胚映射或同胚. | | 2、不连通空间 | | | | | | | 3、拓扑 封

| | | | | 4、导集 | | | | 线 线

| 5、度量 | | | | | | | | | 共 6 页，第 3 页 得分 阅卷人 四、证明题（每小题6分，共30分） 2、设f:XY是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集. 证明：如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A,B使得f(X)AB …………………………………………… 3分 于是f1(A),f1(B)是X的非空子集，并且： (f1(A)f1(B))(f1(B)f1(A))(f1(A)f1(B))(f1(B)f1(A)) f1((AB)(AB))所以f1(A),f1(B)是X的非空隔离子集 此外，f1(A)f1(B)f1(AB)f1(f(X))X，这说明X不连通，矛盾.从而f(X)是Y的一个连通子集. 4、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理. 证明：若X满足第一可数公理，则在xX处,有一个可数的邻域基，设为V x ,因为X是可数补空间，因此对yX,yx,X{y}是x的一个开邻域，从而 VyV x ,使得VyX{y}. 于是{y}Vy, …………………………………………………3分 由上面的讨论我们知道： X{x} {y} V yX{x}yX{y}y 因为X{x}是一个不可数集，而 VyX{x}u是一个可数集，矛盾. 从而X不满足第一可数性公理. 共 6 页，第 4 页 | |

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3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两 |

个无交的开集使得YAB,则或者YA,或者YB. |

证明：因为A,B是X的开集，从而AY,BY是子空间Y的开集. |

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又因YAB中，故Y(AY)(BY) |

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由于Y是X的连通子集,则AY,BY中必有一个是空集. 若BY, 密

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则YA;若AY,则YB |

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封

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| | | | | | 线 线 | | | | | | | |

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