河南工业大学理学院谢萍丽老师点集拓扑学试题(含答案)

点集拓扑学练习题

一、单项选择题

1、设X{a,b,c}，下列集族中,（ ② ）是X上的拓扑. ① T{X,,{a},{a,b},{c}} ② T{X,,{a},{a,b},{a,c}}

③ T{X,,{a},{b},{a,c}} ④ T{X,,{a},{b},{c}} 2、设X{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑. ① T{X,,{b},{c},{a,b}} ② T{X,,{a},{b},{a,b},{a,c}}

③ T{X,,{a},{b},{a,c}} ④ T{X,,{a},{b},{c}} 答案：② 3、设X{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑. ① T{X,,{a},{b},{b,c}} ② T{X,,{a,b},{b,c}}

③ T{X,,{a},{a,c}} ④ T{X,,{a},{b},{c}} 答案：③

4、设X{a,b,c,d}，拓扑T{X,,{a},{b,c,d}},则X的既开又闭的非空真子集个数（ ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

5、设X{a,b,c}，拓扑T{X,,{a},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

6、设X{a,b}，拓扑T{X,,{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③

7、设X{a,b,c}，拓扑T{X,,{a},{b},{a,b},{b,c}},X的既开又闭的非空真子集个数（① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

8、在实数空间中，有理数集Q的边界(Q)是（ ） ①  ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④ 9、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）

①  ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④

10、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中错误的是（ ） ① d(AB)d(A)d(B) ② ABAB

1

） ） ）

③ d(AB)d(A)d(B) ④ AA 答案: ③

11、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① d(AB)d(A)d(B) ② ABAB

③ d(AB)d(A)d(B) ④ AA 答案: ①

12、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（ ）

① d(AB)AB ② ABAB

③ d(AB)d(A)d(B) ④ d(d(A))Ad(A) 答案: ④

13、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① d(A) ② d(A)XA

③ d(A)A ④ d(A)X 答案：①

14、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中不正确的是（ ） ① 若A,则d(A) ② 若A{x0},则d(A)XA

③ 若A={x1,x2},则d(A)X ④ 若AX, 则d(A)X 答案：④ 15、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① 若A,则d(A) ② 若A{x0},则d(A)X

③ 若A={x1,x2},则d(A)XA ④ 若A{x1,x2},则d(A)A 答案：① 16、设X{a,b,c,d}，令B{{a,b,c},{c},{d}},则由B产生的X上的拓扑是（ ） ① { X,,{c},{d},{c,d},{a,b,c}} ② {X,,{c},{d},{c,d}}

③ { X,,{c},{a,b,c}} ④ { X,,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}} 答案：①

17、设X是至少含有两个元素的集合，pX,T{GX|pG}{} 是X的拓扑，则（是T的基.

① B{{p,x}|xX{p}} ② B{{x}|xX}

③ B{{p,x}|xX} ④ B{{x}|xX{p}} 答案：③ 18、 设X{a,b,c},则下列X的拓扑中（ ）以S{X,,{a}}为子基. ① { X, ,{a},{a,c}} ② {X, ,{a}}

2

）

③ { X, ,{a},{b},{a,b}} ④ {X, }答案：②

19、离散空间的任一子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③ 20、平庸空间的任一非空真子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④

11121、实数空间R的子集A ={1,, ,,……},则A＝（ ）

234①φ ② R ③ A∪{0} ④ A 答案：③

22、已知X{1,2,3}上的拓扑T{X,,{1}},则点1的邻域个数是（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④ 23、已知X{a,b},则X上的所有可能的拓扑有（ ）

① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④ 24、已知X={a,b,c},则X上的含有４个元素的拓扑有（ ）个 ① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④ 25、设(X,T)为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) ①XT , T ② XT ,T ③当TT时,

UTUT ④ 当TT时,

UTUT 答案：③

1,2,3}26、设X{,T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A{1,2},则X的子空间A的拓扑

为( ) ① T{,{2},{1,2}} ② T{,X,{1},{2},{1,2}} ③ T{,A,{1},{2}} ④ T{,X,{1},{2}} 答案：③

1,2,3}27、设X{,T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A{1},则X的子空间A的拓扑为

( ) ① T{,{1}} ② T{,A,{1,2}} ③ T{,X,{1},{3},{1,3}} ④ T{,X,{1}} 答案：①

28、设X{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A{3},则X的子空间A的拓扑为( ) ① T{,{2},{1,2}} ② T{,{X},{1,3}} ③ T{,X,{3}} ④ T{,{3}} 答案：④ 29、有理数集Q是实数空间R的一个（ ） ① 不连通子集 ② 连通子集

3

③ 开集 ④ 以上都不对 答案：① 30、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若YZY, 则Z为( ) ①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集 答案：②

二、填空题

1、设X{a,b},则X的平庸拓扑为 ;答案：T{X,} 2、设X{a,b},则X的离散拓扑为 ;答案：T{X,,{a},{b}} 3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质 4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是___________. 答案： R

5、xd(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 答案： U(A{x}) 6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= ;答案：X 7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A= ;答案：X 8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ;答案：X 9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A= ;答案：X

10、设X{a,b,c},则X的平庸拓扑为 ;答案：T{X,} 11、设X{a,b,c},则X的离散拓扑为 答案：T{X,,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}}

2则X的子集A{1,3 }的内部12、设X{1,2,3},X的拓扑T{X,,{2},{3},{,

为 ;答案：{3}

13、f:XY是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集f(X)的一个同胚，则称映射f是一个 .答案：嵌入

14、f:XY是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个 ;答案：商映射

15、设X,Y是两个拓扑空间，f:XY是一个映射，若X中任何一个开集U的象集f(U)是Y中的一个开集，则称映射f是一个 答案：开映射

16、设X,Y是两个拓扑空间，f:XY是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集f(U)是Y 4

中的一个闭集，则称映射f是一个 答案：闭映射

17、若拓扑空间X存在两个非空的开子集A,B,使得AB,ABX,则X是一个 ；答案：不连通空间

18、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，ZX满足YZY，则Z也是X的一个 ; 答案：连通子集

19、设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得ABX,则称X是一个 ；答案：不连通空间. 三．判断 1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√

理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，f:XY是连续映射，因为对任意AY，都有

1f（A)X,由于X中的任何一个子集都是开集，从而f1(A)是中的开集，所以f:XY是连续的.

2、设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1T 2不一定是集合X的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）T 1,T 2是X的拓扑，故X,T1，X,T２，从而X,T 1T 2；

（２）对任意的A,BT1T２，则有A,BT1且A,BT２，由于T1, T2是X的拓扑，故

ABT1且ABT2，从而AB T1T２；

（３）对任意的TT1T2，则TT1,TT2，由于T1, T2是X的拓扑，从而UT’UT1,

UT’UT2,故UT’U T1T２；

综上有T1T２也是X的拓扑．

3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ ）答案:√

理由：设f:XY是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有Y,,易知它们在f下的原象分别是X,,均为X中的开集，从而f:XY连续. 4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则dA （ ）答案:√ 理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{p}是X的开子集，且有pAp，即pdA,从而 d(A).

5、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则dA （ ）答案：×

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理由：设A{y},则对于任意xX,xy,x有唯一的一个邻域X，且有yX(Ax),从而

X(Ax)，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有X(Ay),所

以有dAXA.

6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则dAX （ ）答案：√ 理由：对于任意xX,因为A包含多于一点，从而对于x的唯一的邻域X，且有X(Ax)，因此x是A的一个凝聚点，即xd(A)，所以有dAX. 四． 名词解释

1．同胚映射 答案：设X和Y是两个拓扑空间.如果f:XY是一个一一映射，并且f和

f1:YX 都是连续映射，则称f是一个同胚映射或同胚.

2、集合A的聚点 答案：设A是拓扑空间X的一个子集，如果xX的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U(A{x})，则称点x是集合A的一个凝聚点。

3、集合A的内部 答案：设X是一个拓扑空间，AX.则集合A的所有内点构成的集合称为集合A的内部.

4．拓扑空间(X,T)的基 答案：设(X,T)是一个拓扑空间，B是T的一个子族.如果T中的每一个元素是B中的某些元素的并，则称B是拓扑T的一个基.

5．闭包 答案：设X是一个拓扑空间，AX.集合A与集合A的导集d(A)的并Ad(A)称为集合A的闭包.

6. 拓扑性质 在同胚变换下保持不变的性质称为同胚性质.

7、导集 答案：设X是一个拓扑空间，集合A的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集. 8、不连通空间 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得

ABX,则称X是一个不连通空间.

11、A 1空间 答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为A 1空间.

12、A 2空间 答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为A 2空间.

13、可分空间 答案：如果拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间. 14、Lindeloff空间： 答案：设X是一个拓扑空间．如果 X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindelöff空间．

15．T0空间 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T0空间.

15、T1空间 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一

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个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T1空间.

16、T2空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X是T2空间.

17、正则空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正则空间.

18、正规空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正规空间.

五．简答题

1、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，且AB.试说明d(A)d(B).

答案：对于任意xd(A),设U是x的任何一个邻域，则有U(A{x}),由于AB，从而

U(B{x})U(A{x})，因此xd(B)，故d(A)d(B).

2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:XY, g:YZ都是连续映射，试说明gf:XZ也是连续映射.

答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:YZ是一个连续映射，从而g1(W)是Y的一个开集，由f:XY是连续映射，故f1(g1(W))是X的一开集，因此 (gf)1(W)f1(g1(W))是X的开集，所以gf:XZ是连续映射.

3、设X是一个拓扑空间，AX.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A是一个开集. 答案：对于xA,则xA，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U(A{x}),因此UA，即UA,所以对任何xA,A是x的一个邻域，这说明A是一个开集. 4、设X是一个拓扑空间，AX.试说明：若A的补集A是一个开集，则A是一个闭集. 答案：设xA,则xA,由于A是一个开集，所以A是x的一个邻域，且满足AA,因此xA,从而AA,即有AA，这说明A是一个闭集. 5、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~yx,y(,1)或者x,y[1,2)或者x,y[2,)

设在这个等价关系下得到的商集Y{[0],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T {,Y,{[0]},{[0],[1]}} 6、在实数空间R中给定如下等价关系:

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x~yx,y(,1]或者x,y(1,2]或者x,y(2,)

设在这个等价关系下得到的商集Y{[1],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T {,Y,{[3]},{[2],[3]}} 六、证明题

1、设f:XY是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集. 证明：如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A,B使得f(X)AB 于是f1(A),f1(B)是X的非空子集，并且：

(f1(A)f1(B))(f1(B)f1(A))(f1(A)f1(B))(f1(B)f1(A)) f1((AB)(AB))所

以

f1(A),f1(B)1是

1X的非

1空隔离子集 此外，

f1(A)f(B)f(Af(X)是Y的一不连通，矛盾.从而)B，这说明(fX(f)X)X个连通子集.

2．设T 1,TT2也是X上的拓扑，并举例说明T1T2不1 2是拓扑空间X上的两个拓扑，证明：T是X的拓扑。

证明：1）.(1) T 1,T 2是X的拓扑，故X,T1，X,T2，从而X,T1T2；

(2) 对任意的A,BT1T2，则有A,BT1且A,BT2，由于T1,T2是X的拓扑，

故ABT1，且ABT2，从而ABT1T2；

(3) 对任意的TT1T2，则TT1,TT2，由于T1,T2是X的拓扑，从而

UT’UT1, UT’UT1,故UT’U T1T2；

综上有T1T2也是X的拓扑．

2）. 设X{a,b,c},T1{{a},{b,c},{a,b,c},}，易见，T2{{b},{a,c},{a,b,c},}，T1,T2都是X的拓扑，但是T1T2{{a},{b},{a,c},{b,c},{a,b,c},}，而{a},{b}T1T2，

{a,b}{a}{b}T1T2，因此，T1T2不是X的拓扑。

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3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集使得YAB,则或者YA,或者YB.

证明：因为A,B是X的开集，从而AY,BY是子空间Y的开集. 又因YAB中，故Y(AY)(BY)

由于Y是X的连通子集,则AY,BY中必有一个是空集. 若BY,则YA;若

AY,则YB

4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，ZX满足YZY，则Z也是X的一个连通子集. 证明：若Z是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集A,B 使得ZAB.因此

YAB

由于Y是连通的，所以YA或者YB,如果YA，由于ZYA，所以ZBAB，因此 BZB,同理可证如果YB，则A,均与假设矛盾.故Z也 是X的一个连通子集.

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