让学生学会学习
x2y2
1.(2010·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标
412
为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
MF4
解析：由圆锥曲线的共同性质得＝e＝＝2，d为点M到右准线x＝1的距离，则d＝2，
d2
所以MF＝4.
答案：4
x23
2.已知双曲线2－y2＝1(a>0)的一条准线为x＝，则c＝________，双曲线的离心率为
a2
________．
a23223
解析：由＝，b＝1得c＝2，a＝3，∴e＝＝.
c23323
答案：2
3x2y2
3.椭圆2＋＝1的准线垂直于y轴，则实数m的取值范围为________．
m（m－1）2
1
解析：由题意(m－1)2>m2，m≠1且m≠0解得m<且m≠0.
2
1
答案：m<且m≠0
2
4.已知椭圆的两个焦点将长轴三等分，焦点到相应准线距离为8，则此椭圆的长轴长为________．
2aa2
解析：由题意得2c＝，－c＝8，解得a＝3，∴2a＝6.
3c
答案：6
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x2y2
5.设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y2＝4x的准线
ab
重合，则此双曲线方程为________．
ca2x2y2
2
解析：由题意得＝3，＝1，得a＝3，c＝3，则b＝6，所以此双曲线方程为－＝ac36
1.
x2y2
答案：－＝1
36
[A级 基础达标]
x2y2
1.点A(x0，y0)在双曲线－＝1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0＝
432
________．
解析：设A点到右焦点的距离为r，A点到该双曲线右准线的距离为d，由已知得a＝2，ra2
c＝6，＝e⇒r＝3d，所以2x0＝3(x0－)⇒x0＝2.
dc答案：2
x2y2
2.已知椭圆＋＝1上一点P到右准线的距离为10，则点P到它的左焦点的距离为
2516
________．
解析：设F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P到左准线的距离为d1，P到右准线的距离
PF2c3
为d2＝10，由圆锥曲线的统一定义知，＝＝，解得PF2＝6，又PF1＋PF2＝2a＝10，解
d2a5
得PF1＝4，故P到它的左焦点距离为4.
答案：4
x2y2
3.如果双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是
42
________．
6解析：由双曲线方程可知a＝2，b＝2，c＝6，e＝，设F1，F2分别为双曲线的左，
2
46右焦点，设P点坐标为(x，y)，由已知条件知P点在右支上，且PF2＝ex－a＝2，解得x＝.
3
46答案： 3x2y2
4.椭圆2＋2＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若
ab
MN≤2F1F2，则该椭圆的离心率的取值范围是________．
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a212
解析：由MN≤2F1F2，得≤2c，即a2≤2c2，则e2≥，解得≤e<1.
c22
2
答案：[，1)
2
x2y2
5.设F1，F2分别是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c(c
ab
为半焦距)的点，且F1F2＝F2P，则椭圆的离心率是________．
解析：如图有P(，3c)，设右准线交x轴于H点，
c
∵F2P＝F1F2＝2c，且PH＝3c，故∠PF2H＝60°；
a212
∴F2H＝c，OH＝＝2c⇒e2＝⇒e＝.
c22
2
答案： 2
6.求下列曲线的焦点坐标与准线方程： (1)x2＋2y2＝4；(2)2y2－x2＝4；(3)x2＋y＝0.
x2y2a2
22
解：(1)方程即为＋＝1，焦点在x轴上，a＝2，b＝2，则c＝a－b＝2，＝22.
42c
所以焦点坐标为(2，0)，(－2，0)，
a2
准线方程为x＝±＝±22；
cy2x2a22622
(2)方程可化为－＝1知焦点在y轴上，a＝2，b＝2，c＝a＋b＝6，＝＝.
24c63a26
所以焦点坐标为(0，6)，(0，－6)，准线方程为y＝±＝±；
c3
(3)方程可化为x2＝－y可知抛物线焦点在y负半轴上，
1
∴－2p＝－1⇒p＝，
2
11
所以焦点坐标为(0，－)，准线方程为y＝.
44
x2y2
7.在椭圆＋＝1上求一点P，使它到左焦点F1的距离是它到右焦点F2距离的2倍，试
259
求点P的坐标．
解：由题意可设P点坐标为(x0，y0)，
x2y2
由椭圆的方程＋＝1，
259
a2
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4
可得a＝5，b＝3，c＝4，离心率e＝.
5
4425
所以PF1＝a＋ex0＝5＋x0，PF2＝a－ex0＝5－x0.又PF1＝2PF2，解得x0＝，代入椭圆
5512
11925119
方程得y0＝±，故点P的坐标为(，±)．
4124
[B级 能力提升]
x2y2
8.已知椭圆＋＝1外一点A(5，6)，l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的
25163
距离为d，则PA＋d的最小值为________．
5
解析：如图，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为F(－3，0)，根据圆锥曲线的统一定义PF333
有：＝e＝，即PF＝d，所以PA＋d＝PA＋PF，可知当P，F，A三点共线且P在线段
d555
3
AF上时，PA＋PF最小，最小值AF＝10.故PA＋d的最小值为10.
5
答案：10
9.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且→→
BF＝2FD，则C的离心率为________．
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OFBF2→→
解析：如图，BF＝b2＋c2＝a，作DD1⊥y轴于点D1，则由BF＝2FD，得＝＝，
DD1BD3
333ca23c3c2
所以DD1＝OF＝c，即xD＝，由圆锥曲线的统一定义得FD＝e(－)＝a－；
222c22a
3c2
又由BF＝2FD，得a＝2a－，整理得3c2＝a2.
a
33
解得e＝－(舍去)或e＝.
333
答案： 3
x225y28
10.已知A，B为椭圆2＋2＝1上的两点，F2是椭圆右焦点，若AF2＋BF2＝a，AB的
a9a5
3
中点M到椭圆的左准线的距离为，试确定椭圆的方程．
2
3445
解：由椭圆的方程可得b＝a，则c＝a，e＝，两准线间的距离为a，设A，B两点到
5552AF2BF2448
右准线的距离分别是dA，dB，则＝＝，∴AF2＋BF2＝(dA＋dB)＝a，∴dA＋dB＝2a，
dAdB555
53
则AB的中点M到椭圆右准线的距离为a，于是M到左准线的距离为a－a＝，解得a＝1，
22
225y
故椭圆方程为x2＋＝1.
9
11.(创新题)设椭圆的左焦点为F，AB为椭圆中过点F的弦，试分析以AB为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系．
解：设M为弦AB的中点(即以AB为直径的圆的圆心)，A1，B1，M1分别是A、B、M在准线l上的射影(如图)．由圆锥曲线的统一定义得AB＝AF＋BF＝e(AA1＋BB1)＝2eMM1.
AB
∵02∴以AB为直径的圆与左准线相离．
