高中数学数列知识点解析

考试内容： 数列．

等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式． 考试要求：

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．

数列 ，

§03. 数 列 知识要点

数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系 项 项数 通项 等差数列 ~

等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前n项和 等比数列 等比数列的定义 、等比数列的性质 等比数列的前n项和 定义 递推公式 等差数列 an1and anan1d；anamnmd 等比数列 an1q(q0) an< anan1q；anamqnm 通项公式 中项 ana1(n1)d ankank2ana1qn1（a1,q0） Gankank(ankank0)A（n,kN*,nk0） 前n项和 Snn(a1an) 2n(n1)d 2（n,kN*,nk0） \\ na1(q1)Sna11qn a1anq(q2)1q1qSnna1重要性质 * amanapaq(m,n,p,qN, mnpq)1. ⑴等差、等比数列： 定义 等差数列 amanapaq(m,n,p,qN*,mnpq) 等比数列 ）{an}为APan1and(常数） {an}为GPan1an q(常数）通项公式 求和公式 an=a1+（n-1）d=ak+（n-k）d=dn+a1-d ana1qn1akqnk n(a1an)n(n1)na1d22 d2dn(a1)n22sn} (q1)na1sna1(1qn)a1anq (q1)1q1q中项公式 A=ab2 推广：2an=anmanm G2ab。推广：ananmanm 2若m+n=p+q，则amanapaq。 若{kn}成等比数列 （其中knN），则{akn}成等比数列。 性质1 若m+n=p+q则 aaaa mnpq 若{k}成（其中kN）则{a}也knnn2 为。 * 3 4 ．sn,s2nsn,s3ns2n 成等差数列。 sn,s2nsn,s3ns2n成等比数列。 aa1amandn(mn) n1mn— qn1ana ， qnmn (mn) a1am5

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：

…

①anan1d(n2,d为常数) ②2anan1an1(n2) ③anknb(n,k为常数).

⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①anan1q(n2,q为常数,且0)

2an1an1(n2，anan1an10)②an①

注①：i. bac，是a、b、c成等比的双非条件，即bacii. bac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. bac→为a、b、c等比数列的必要不充分.

；

a、b、c等比数列.

iv. bac且ac0→为a、b、c等比数列的充要.

注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个. ③ancqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x1）成等比数列.

s1a1(n1)a⑷数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：n

ss(n2)nn1[注]： ①ana1n1dnda1d（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）. ddd②等差{an}前n项和SnAn2Bnn2a1n →可以为零也可不为零→为等差的

222充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） ．．2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍Sk,S2kSk,S3kS2k...；

②若等差数列的项数为2nnN，则S偶S奇nd，S奇S偶anan1；

\"

③若等差数列的项数为2n1nN，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇 代入n到2n1得到所求项数. 3. 常用公式：①1+2+3 …+n =②122232n2nn1 2S偶n n1nn12n1

62nn1③132333n3

2[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…an10n1； 5，55，555，…an5n101. 94. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：

⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1r. 其中第n年产量为a(1r)n1，且过n年后总产量为：

2n1aa(1r)a(1r)...a(1r)a[a(1r)n].

1(1r)⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1r)n元. 因此，第二年年初可存款：

:

a(1r)12a(1r)a(1r)1110a(1r)[1(1r)12]...a(1r)=.

1(1r)⑶分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.

a1rx1rmm1x1rm2......x1rxa1rmx1rm1ar1rmx mr1r15. 数列常见的几种形式：

⑴an2pan1qan（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.

具体步骤：①写出特征方程x2Pxq（x2对应an2，x对应an1），并设二根x1,x2②若

nnx1x2可设an.c1xn1c2x2，若x1x2可设an(c1c2n)x1；③由初始值a1,a2确定c1,c2.

⑵anPan1r（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an2Pan1qan的形式，再用特征根方法求an；④anc1c2Pn1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.

①转化等差，等比：an1xP(anx)an1PanPxxxr. P1②选代法：anPan1rP(Pan2r)ran(a1Pn1a1Pn2rPrr.

~

rr)Pn1(a1x)Pn1x P1P1

an1Panran1anPanPan1an1（P1）anPan1. 相减，anPan1rrrrr，c2a1，anc2Pn1c1（a1）Pn1. 1PP1P11P③用特征方程求解：

④由选代法推导结果：c1

6. 几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：

一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Snd2dn(a1)n利用二次函数的性质求n22的值.

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依

111照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：1,3,...(2n1)n,...

242⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第

一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证anan1(an)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证an122an1anan2(an1anan2)nN都成立。

am03. 在等差数列｛an｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当a1>0,d<0时，满足的项数m

a0m1使得sm取最大值. (2)当a1<0,d>0时，满足am0的项数m使得sm取最小值。在解含绝

am10对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 （三）、数列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

c 2.裂项相消法:适用于其中{ an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分

anan1无理数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:适用于anbn其中{ an}是等差数列，bn是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论

1）: 1+2+3+...+n =

n(n1) 222） 1+3+5+...+(2n-1) =n

1 3）12nn(n1)

23332 4） 123n5）

22221n(n1)(2n1) 61111111()

n(n1)nn1n(n2)2nn21111()(pq) pqqppq6）