2020-2021学年山东省青岛市青岛第一中学高一下学期期中考试数学试题

高一数学试题

本试卷共6页，22题。全卷满分150分．考试用时120分钟.

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3。考试结束后，请将答题卡上交。

一、单项选择题:本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..

cos的值为（ ） 1.sin1212A．3663 B． C． D． 22442. 四边形ABCD为矩形,对角线长为4,若ABa,ADb,BDc,则abc（ ） A．0 B．6 C．8 D．10 3. 已知i为虚数单位，下列与i相等的是（ ）

1i1iC．

1iA．

B．1i1i

2342021D．iiiii

4. 已知A2,1,B1,4,CsinA．AB1,5 C．A,B,C三点共线

35,cos23，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） B．A,O,C三点共线 D．OAOB3OC

5.已知角A,B,C是ABC的内角，向量msinA,sinB,ncosA,cosB且m与n共线，则可以判断

ABC的形状为（ ）

A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形

226. 已知复数z1m1m2m3i,z2m3i,其中i为虚数单位，mR，若z1为纯虚数，则下

列说法正确的是（ ）

A．m1 C．z22

B．复数z2在复平面内对应的点在第一象限 D．z1z2

227. 如图所示，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角

MAN60,C点的仰角CAB30以及司MAC75,从C点测得MCA60，若山高

BC1002米，则山高MN等于（ ）

A．300米 C．240米 8.设aB．360米 D．320米

132tan121sin40,则a,b,c大小关系正确的是（ ） cos4sin4,b,c221tan2122A．cba B．abc C．acb D．bca

二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求:全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.

9. 关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差，下列说法止确的是（ ） A．改变其中一个数据，平均数和中位数都会发生改变

B．频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等

C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则平均数小于中位数 D．样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小

10. 已知平面向量a3,m,b(1,3)，且2abab，则（ ） A．m3 C．a与b夹角的大小为

B．m33或3 D．abab

5 611. 在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，b2c2bca2,b8,a213．则下列说法正确的是（ ）

A．ABC为锐角三角形 C．AB长度为6 12. 下列说法正确的是（ ）

B．ABC面积为43或123 D．ABC外接圆的面积为

52 3

A．在ABC中，sinA sinB是BCAC的充要条件 B．将函数ysin2x的图象向右平移

个单位长度得到函数ysin2x的图象 633成立 2

C．存在实数x，使得等式sinxcosxD．在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC是钝角三角形

三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.某人任意统计5次上班步行到单位所花的时间(单位:分钟)分别为8,12,10,11,9.则.这组数据的标准差为 .

14、函数ysinx3cosx在区间0,上的值域为 .

15．在ABC中，已知AB3,AC2,BC10，则ABBC .

16.右图为某校1000名高一学生的体育测试成绩的频率分布直方图，如果要按照分层抽样方式抽取200名学生进行分析，则要抽取的80,90之间的学生人数是 .估计这1000名学生的体育测试平均成绩为 .(本小题第一空2分，第二空3分)

四、解答题:本大题共6小顿，70分解签应写出立字说明、证明过程或演算步骤。17.

17.某蔬菜基地准备对现月地铺管道设施加装智能控制水泵系统，对大棚蔬菜进行自动控制根部滴灌，可以大天节省人力和资金，地铺管道在达到满水最大压状态后，水泵自动停机，管道可以自动连续进行滴注工作至最

小工作压，然后水泵会重新开启，不同性能的管道系统根据最小工作压需要配置与之压力性能相对应的水泵系统，不同品种的蔬菜由于需要的滴注速度和强度不同，可以选择配备不同性能的管道系统和水泵系统.为充分了解基地内既有管道系统的总体情况，现随机抽取不同蔬菜棚内的若干条管道进行满水测试，对这些管道的最小工作压数据（单位:千帕）分组为4,6,6,8,8,10,10,12,12,14，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，下图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知2b3a,a,bR.

1求a,b的值;

2已知最小工作压在10以上的管道系统都需要分别配备2台大功率水泵，若第一组与第二组共有200条管

道，求该基地需要配备的大功率水泵的台数n.

218. 已知向量acos2,2,b1,sin,mab2，在复平面坐标系中，i为虚数单位，复数

z1mi对应的点为Z1. 1i﹔

1求z12Z为曲线z2z11(z1为z1的共扼复数)上的动点，求Z与Z1之间的最小距离;

3若6，求a在b上的投影向量n.

19. 已知函数fx2sin2x53sin2xxR. 1261将函数fx化为Asinxk形式，求fx的最小正周期T和单调递增区间; 2若为ABC的内角，f恰为fx的最大值，求;

3若tan2，求f.

62 320. 在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，a2ccosB,sinB1求cosA; 2若a25,P为CA延长线上一点，连接PB,BPBC，求PBC的面积.

21. 在ABC中，M,N为ABC所在平面内的两点，AB3,AC22,BAC4，

1MCBC,NANC0.

31以AB和AC作为一组基底表示NM，并求NM;

2D为直线MN上一点，设CDxAByAC(x,yR)，若直线CD经过

22. 在平面直角坐标系中，已知At,,B8m,8ABC的垂心，求x,y

2t3m,C7m,0,t,mR,t0. 21若t1,m4,Р为x轴上的一动点，点A1,2. i当A,P,B三点共线时，求点P的坐标; ii求PAPB的最小值﹔

2若tsin,0,，且CA与CB的夹角0,，求m的取值范围．

22020-2021学年度第二学期期中学业水平检测

高一数学答案及评分标准

一、单项选择题:

1-8:BCDB ACAD

二、多项选择题

9.BCD 11.BD

10.AC 12.ABD

三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.2 14.3,2



15.15 216.140

273

四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 解:1根据分布列的特点，有a0.08b0.080.0421. 因为a2b， 3所以b0.18,a0.12

2第一组和第二组的频率为0.120.0820.4.

所以，管道总条数为

200500条 0.4所以最小工作压在10以上的管道系统有5000.080.042120条 所以该基地需要配备的大功率水泵的台数n1202240.

22222218. 解:1abcos2,21,sincos22sin3cossin2sincossin1.

所以mab2123. 所以z13i3i1i33ii124i12i. 3i1i1i1i222所以z112i5.

2z112i

曲线z2z1，即z24i1，

因此曲线是复平面内以Z02,4圆心，半径为1的圆 故Z0与Z1之间的距离为212(4)2237 所以Z与Z1之间的最小距离为371.

3因为6，

所以a,2,b1,121 4此时ab1,a与b的夹角余弦为cosabab8 17与b方向相同的单位向量为ebb411,

417所以a在b上的投影向量nacose416, 171719. 解:1fx2sin2x53sin2xxR 1261cos2x623sin2x

263sin2xcos2x1

66312sin2xcos2x1

62622sin2x1

662sin(2x)1 3所以fx的最小正周期T由2 222k2x322k，得12kx5k 12所以fx的单调递增区间为5k,k(kZ)

12122fa2sin(2因为0, 所以3)1

325 33所以当2即当32

5时，f()恰为fx的最大值 124sincos4tan6662111 3f2sin3sin2cos2tan21666因为tan2， 64tan817611 所以f55tan21620. 解:1由题意a2ccosB， 根据正弦定理，

可得:sinA2sinCcosB

所以sinBCsinBcosCcosBsinC2sinCcosB 即sinBcosCsinCcosB, 即sinBcosCcosBsinC0, 也即sinBC0 因为BC, 所以BC0, 即BC

2所以cos AcosBCcos2B12sinB2411 992BC，所以bc

由余弦定理知，a220b2c22bccosA2b22b2 解得bc3,

因为cosPABcosBAC在PAB中，因为BPBC, 所以BPCBCP,

191 9所以PBC2BCA2BACBAC 2又因为sinBAC45 9所以SPBC1145405 PBCBsinBAC252522991BC，所以M为线段BC上靠近C的三等分点 321. 解:1由MC由NANC0，

所以N为线段AC的中点

NMNCCM111111ACCBACABACABAC 232336因为ABACABACcosBAC322226 321111171ABACABAC所以NMABAC

3693693 2D为直线MN上一点，设NDkNM

则CDCNND1111ACkNMk(ABAC) 2236111kABkAC 326111kABkACAB.

2632111kABkACAB 326111k9k322sin 3246因为CD直线经过ABC的垂心， 所以CDAB,即CDAB0 所以CDABk91311k322sin0

246解得k3. 4所以CD11131kABkACABAC 32486因为CDxAByAC， 所以x13,y 4822.解：1i设Px,0,t1,m4 所以x13,y 48因为A'Px1,2.A'B3,4,A'P与A'B共线 所以4x16 解得x5 2所以A',P,B三点共线时，点P的坐标为5,0 2ii因为A1,2关于x轴的对称点为A'1,2

所以APPBPA'PB

所以当A,P,B三点共线时，PA'PB取得最小值 最小值即A'B345 所以PAPB取得最小值5

222tsin

所以Asin,223,CAsinm7,,CB1,8m sinsin2 2因为CA与CB的夹角0,所以CACB0恒成立

所以CACBsinm78又因为0,,sin0 可得sin232m0 2sin7sinmsin163m0

即3sinmsin27sin16恒成立 又因为3sin0

k2k44k1 可得mkk因为k412415， k其中等号当且仅当k2成立 所以k2时，k41有最小值5 k所以m的取值范围是：m5