十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题12 概率统计(新课标Ⅰ卷)(解析版)

历年考题细目表

题型 年份 2019 2018 2017 2017 2016 2015 2013 2012 2011 2010 2019 2018 2017 2016 2015 2014 2013 201考点 试题位置 单选题 单选题 单选题 单选题 单选题 单选题 单选题 单选题 单选题 填空题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 统计 统计 统计 概率 概率 概率 概率 统计 概率 概率 概率统计综合题 概率统计综合题 概率统计综合题 概率统计综合题 概率统计综合题 概率统计综合题 概率统计综合题 概率统计综合题 2019年新课标1文科06 2018年新课标1文科03 2017年新课标1文科02 2017年新课标1文科04 2016年新课标1文科03 2015年新课标1文科04 2013年新课标1文科03 2012年新课标1文科03 2011年新课标1文科06 2010年新课标1文科14 2019年新课标1文科17 2018年新课标1文科19 2017年新课标1文科19 2016年新课标1文科19 2015年新课标1文科19 2014年新课标1文科18 2013年新课标1文科18 2012年新课标1文科18 解答题 解答题 2 2011 2010 概率统计综合题 概率统计综合题 2011年新课标1文科19 2010年新课标1文科19 历年高考真题汇编

1．【2019年新课标1文科06】某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A．8号学生

B．200号学生

C．616号学生

D．815号学生

【解答】解：：∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本， ∴系统抽样的分段间隔为∵46号学生被抽到，

则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列， 设其数列为{an}，则an＝6+10（n﹣1）＝10n﹣4， 当n＝62时，a62＝616，即在第62组抽到616． 故选：C．

2．【2018年新课标1文科03】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

10，

则下面结论中不正确的是（ ） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a． A项，种植收入37%×2a﹣60%a＝14%a＞0， 故建设后，种植收入增加，故A项错误． B项，建设后，其他收入为5%×2a＝10%a， 建设前，其他收入为4%a， 故10%a÷4%a＝2.5＞2， 故B项正确．

C项，建设后，养殖收入为30%×2a＝60%a， 建设前，养殖收入为30%a， 故60%a÷30%a＝2， 故C项正确．

D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为 （30%+28%）×2a＝58%×2a， 经济收入为2a，

故（58%×2a）÷2a＝58%＞50%， 故D项正确．

因为是选择不正确的一项， 故选：A．

3．【2017年新课标1文科02】为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：g）分别是1，2，…，n，下面给出的指标中可以用评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ） A．1，2，…，n的平均数 C．1，2，…，n的最大值

B．1，2，…，n的标准差 D．1，2，…，n的中位数

【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标， 故A不可以用评估这种农作物亩产量稳定程度；

在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用评估这种农作物亩产量稳定程度；

在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用评估这种农作物亩产量稳定程度； 在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用代表一组数据的“中等水平”， 故D不可以用评估这种农作物亩产量稳定程度． 故选：B．

4．【2017年新课标1文科04】如图，正方形ABCD内的图形自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 则黑色部分的面积S

，

则对应概率P故选：B．

，

5．【2016年新课标1文科03】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有

6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4

种方法，所以所求的概率为．

另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，

即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），

则P故选：C．

．

6．【2015年新课标1文科04】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种， 其中只有（3，4，5）为勾股数， 故这3个数构成一组勾股数的概率为故选：C．

7．【2013年新课标1文科03】从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

．

【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42＝6种结果，

满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4）， ∴要求的概率是 故选：B．

8．【2012年新课标1文科03】在一组样本数据（1，y1），（2，y2），…，（n，yn）（n≥2，1，2，…，n不全相等）的散点图中，若所有样本点（i，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线y相关系数为（ ） A．﹣1

B．0

C．

D．1

+1上，则这组样本数据的样本

．

【解答】解：由题设知，所有样本点（i，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线y∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1， 故选：D．

+1上，

9．【2011年新课标1文科06】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件数是3×3＝9种结果，

满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组， 由于共有三个小组，则有3种结果， 根据古典概型概率公式得到P故选：A．

10．【2010年新课标1文科14】设函数y＝f（）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y＝f（）及直线＝0，＝1，y＝0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数1，2，…，n和y1，y2，…，yn，由此得到N个点（，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（）（i＝1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为 ． 【解答】解：

方法一：∵∫01f（）d的几何意义是函数f（）（其中0≤f（）≤1） 的图象与轴、直线＝0和直线＝1所围成图形的面积， ∴根据几何概型易知∫01f（）d

． ，

方法二：这种随机模拟的方法是在[0，1]内生成了N个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是N1个， 所以根据比例关系

，而正方形的面积为1，所以随机模拟方法得到的面积为

．

故答案为：．

11．【2019年新课标1文科17】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

男顾客 女顾客

满意 40 30

不满意 10 20

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：2

P（2≥）

．

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828 ，

【解答】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P

女顾客对该商场服务满意的概率P；

（2）由题意可知，2

4.762＞3.841，

故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．

12．【2018年新课标1文科19】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量 [0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6） [0.6，0.7） 频数

1

3

2

4

9

26

5

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量 频数

[0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6）

1

5

13

10

16

5

（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

【解答】解：（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表， 作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：

（2）根据频率分布直方图得：

该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为： p＝（0.2+1.0+2.6+1）×0.1＝0.48．

（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：

（1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）＝0.48， 使用节水龙头50天的日均用水量为：

（1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）＝0.35， ∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48﹣0.35）＝47.45m3．

13．【2017年新课标1文科19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序 零件尺寸

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

1

2

3

4

5

6

7

8

抽取次序 零件尺寸

9 10 11 12 13 14 15 16

10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

经计算得

i

＝9.97，s0.212，

18.439，

16．

（i）（i﹣8.5）＝﹣2.78，其中i为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，

（1）求（i，i）（i＝1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（

3s，

3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的

生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ⅱ）在（

3s，

3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的

均值与标准差．（精确到0.01）

附：样本（i，yi）（i＝1，2，…，n）的相关系数r

，

0.09．

【解答】解：（1）r0.18．

∵|r|＜0.25，∴可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小． （2）（i）

9.97，s＝0.212，∴合格零件尺寸范围是（9.334，10.606），

显然第13号零件尺寸不在此范围之内， ∴需要对当天的生产过程进行检查． （ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为

16×0.2122+16×9.972＝1591.134，

10.02，

∴剔除离群值后样本方差为

（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）＝0.008，

∴剔除离群值后样本标准差为0.09．

14．【2016年新课标1文科19】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

记表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若n＝19，求y与的函数解析式；

（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 【解答】解：（Ⅰ）当n＝19时， y

（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06， 更换的易损零件数为17个频率为0.16， 更换的易损零件数为18个频率为0.24， 更换的易损零件数为19个频率为0.24

又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5． 则n≥19

∴n的最小值为19件；

（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件， 所须费用平均数为：

（70×19×200+4300×20+4800×10）＝4000（元）

假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件， 所须费用平均数为∵4000＜4050

∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．

15．【2015年新课标1文科19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i和年销售量yi（i＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

（90×4000+10×4500）＝4050（元）

（i

）2

（wi

）2

（i

）（yi

）

（wi（yi

46.6 表中wi

563

i，

）

）

6.8

2.8 1.6 1469 108.8

（Ⅰ）根据散点图判断，y＝a+b与y＝c+d出判断即可，不必说明理由）

哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费的回归方程类型？（给

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利润与、y的关系为＝0.2y﹣．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i）年宣传费＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据（u1v1），（u2v2）…..（unvn），其回归线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

，

．

【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y＝c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费的回归方程类型；

（Ⅱ）令w，先建立y关于w的线性回归方程，由于68，

563﹣68×6.8＝100.6，

所以y关于w的线性回归方程为100.6+68w，

因此y关于的回归方程为100.6+68，

（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当＝49时，年销售量y的预报值100.6+68576.6，

年利润的预报值576.6×0.2﹣49＝66.32，

（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润的预报值0.2（100.6+68）﹣＝﹣+13.620.12，

当6.8时，即当＝46.24时，年利润的预报值最大．

16．【2014年新课标1文科18】从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

质量指标值分

组 频数

6

26

38

22

8

[75，85）

[85，95）

[95，105）

[105，115）

[115，125）

（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；

（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？

【解答】解：（1）频率分布直方图如图所示：

（2）质量指标的样本平均数为

80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100，

质量指标的样本的方差为S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104， 这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．

（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08＝0.68，

由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．

17．【2013年新课标1文科18】为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选

取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 （Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

【解答】解：（Ⅰ）设A药观测数据的平均数据的平均数为，设B药观测数据的平均数据的平均数为，

则（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）＝2.3．

（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）＝1.6．

由以上计算结果可知：．由此可看出A药的效果更好．

（Ⅱ）根据两组数据得到下面茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有中在0，1上．由此可看出A药的疗效更好．

18．【2012年新课标1文科18】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元

的叶集中在2，3上．而B药疗效的试验结果由

的叶集

的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：

日需求量n 频数

14 10

15 20

16 16

17 16

18 15

19 13

20 10

（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； （ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．

【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y＝85；当日需求量n＜17时，利润y＝10n﹣85； ∴利润y关于当天需求量n的函数解析式

（n∈N*）

（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；

（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P＝0.16+0.16+0.15+0.13+0.1＝0.7．

19．【2011年新课标1文科19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表

指标值分组 频数

B配方的频数分布表

指标值分组 频数

[90，94）

4

[94，98）

12

[98，102）

42

[102，106）

32

[106，110]

10

[90，94）

8

[94，98）

20

[98，102）

42

[102，106）

22

[106，110]

8

（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y

估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润． 【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3． 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．

（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94． 由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．

所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96． 用B配方生产的产品平均一件的利润为

[4×（﹣2）+54×2+42×4]＝2.68（元）．

20．【2010年新课标1文科19】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：

性别 是否需要志愿者

需要 不需要

40 160

30 270

男

女

0.42，

0.3，

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；

（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．

P（2≥）

附：2

0.050 3.841 ．

0.010 6.635

0.001 10.828

【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助

的老年人的比例的估计值为

（2）2的观测值

因为9.967＞6.635，且P（2≥6.635）＝0.01，

所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关． （3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．

考题分析与复习建议

本专题考查的知识点为：随机抽样，用样本估计总体，变量间的相关关系，性检验，随机事件的概率，古典概型，几何概型等，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：随机抽样，用样本估计总体，变量间的相关关系，性检验，随机事件的概率，古典概型，几何概型等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点用样本估计总体，变量间的相关关系，性检验，随机事件的概率等为重点较佳.

最新高考模拟试题

1．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设BEC15，在梯形ABCD中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE中（阴影部分）的概率是（）

A．3 2B．

3 4C．

2 3D．

2 2【答案】C 【解析】

在直角BCE中，accos15，bcsin15，

则PSCDES梯形ABCD1(ab)22212c2c2c2cos15sin15212，故选C.

1sin3032．函数fxx2x84x6，在其定义域内任取一点x0，使fx0≥0的概率是（ ） A．

3 10B．

2 3C．

3 5D．

4 5【答案】C 【解析】

2由题意，知fx0≥0，即x02x080，解得x02x04，

所以由长度的几何概型可得概率为P4(2)3，故选C.

6(4)53．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ） A．

1 2B．

1 3C．

1 4D．

1 5【答案】C 【解析】

（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种， 所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是：故选：C．

1， 44．已知等差数列an中，Sn为其前n项和，S4（其中为圆周率），a42a2，现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为( ) A．

1430 B．

1530 C．

1630 D．

1730 【答案】A 【解析】

∵等差数列an中，Sn为其前n项和，S4（其中为圆周率），a42a2，

∴ S44a1432d，解得a1d，

a1013d2a1d∴an10n110n10， ∴前30项中，第6至14项和第26项至第30项的余弦值是负数， ∴现从此数列的前30项中随机选取一个元素， 则该元素的余弦值为负数的概率为p1430，故选A． 5．根据如下样本数据

x 3 4 5 6 7 y 4 ab4 -0.5 0.5 -2

得到的回归直线方程为$ybxa.若样本中心为5,0.9，则x每减少1个单位，y就( ) A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位 C．增加1.2个单位 D．减少1.2个单位

【答案】B 【解析】

由线性回归方程过样本中心点可得5ba0.9， 由y0.9可得ab24.5，解得 b1.4a7.9，

可得回归直线方程为： y1.4x7.9， 则x每减少1个单位，y就减少1.4个单位，故选B．

6．某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取部分样本，若从高一年级抽取28人，则从高二、高三年级分别抽取的人数是（ ） A．27 26 【答案】A 【解析】

设从高二、高三年级抽取的人数分别为m,n， 则满足

28mn，得m27,n26，故选A. 560540520B．26 27 C．26 28 D．27 28

7．在长为10cm的线段AB上任取一点C，作一矩形，邻边长分別等于线段AC、CB的长，则该矩形面积小于16cm2的概率为（ ） A．

2 3B．

3 4C．

2 5D．

1 3【答案】C 【解析】

设线段AC的长为xcm，则线段CB长为(10x)cm， 那么矩形面积为x(10x)16，x2或x8，又0x10，

所以该矩形面积小于16cm2的概率为故选：C

42. 1058．某民航部门统计的2019年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表如图所示，根据图表，下面叙述不正确的是( ) ．

A．同去年相比，深圳的变化幅度最小且厦门的平均价格有所上升 B．天津的平均价格同去年相比涨幅最大且2019年北京的平均价格最高

C．2019年平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州

D．同去年相比，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京 【答案】A 【解析】

根据条形图，可以判断2019年平均价格前三位分别为北京、深圳、广州， 根据折线图，可以判断涨幅前三位分别为天津、西安、南京，涨幅最小的是厦门， 由此可判断B、C、D均正确，A不正确. 故选A.

9．某高校组织学生辩论赛，六位评委为选手A成绩打出分数的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则所剩数据的平均数与中位数的差为______.

【答案】【解析】

3 2117583858795，这四个数的中位421175386. 数为8587=86，则所剩数据的平均数与中位数的差为

222剩下的四个数为83，85，87，95，且这四个数的平均数x10．为了落实“回天计划”，准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园．针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于21岁至65岁的居民进行了调查．已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人．若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是______． 【答案】300 【解析】

100300700这次抽样调查抽取的总人数是． 840700560故答案为：300．

22211．已知一组样本数据x1,x2Lx10，且x1x2Lx10180，平均数x4，则该组数据的方差为

________ 【答案】2

【解析】

由题意知x1x2x3Lx1041040，

x4x24x34又s2110222Lx1042

222x12x2x3x108x1x2x3Lx101610 10=

180-840160

10=2

故答案为：2

12．某高中学校三个年级共有团干部56名，采用分层抽样的方法从中抽取7人进行睡眠时间调查.其中从高一年级抽取了3人，则高一年级团干部的人数为________． 【答案】24 【解析】

某高中学校三个年级共有团干部56名，采用分层抽样的方法从中抽取7人进行睡眠时间调查.其中从高一年级抽取了3人，

高一年级团干部的人数为：56故答案为24。

13．某公司对2019年1:4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示： 月份x 利润y/万元

利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y关于x的线性回归方程为__________．

324， 71 2 3 6.5 4 5 6 8 ˆ0.95x4. 【答案】y【解析】

ˆaˆbxˆ，因为x设线性回归方程为y551，y， 28515ˆˆbaˆ0.95，a8，解得bˆ4， 由题意可得28bˆˆ11.6aˆ0.95x4. 即yˆ0.95x4 故答案为y14．从1，2，3，4中选取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率为__________． 【答案】

1. 3【解析】

从1,2,3,4中选取两个不同的数字组成的所有两位数为：12,13,14,21,23,24,31,32,34,

41,41,43，共计12个基本事件，

其中能被3整除的有：12,21,24,42，共有4个基本事件， 所以这个两位数能被3整除的概率为P41． 12315．某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表． 甲 乙

222用S1,S2分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，计算两个班学分的方差．得S2______，并由

8 6 11 7 14 10 15 23 22 24 此可判断成绩更稳定的班级是______班． 【答案】62 甲 【解析】

根据表中数据，计算甲班的平均数为

1x1（8+11+14+15+22）＝14，

5乙班的平均数为

1x2（6+7+10+23+24）＝14；

5甲班的方差为

1S12[（8﹣14）2+（11﹣14）2+（14﹣14）2+（15﹣14）2+（22﹣14）2]22，

5乙班的方差为

1S22[（6﹣14）2+（7﹣14）2+（10﹣14）2+（23﹣14）2+（24﹣14）2]62，

5∴S1＜S2，

由此可判断成绩更稳定的班级是甲班； 故答案为62，甲．

16．在区间[20,100]内任取一个实数m，则实数m落在区间[50,75]的概率为__________． 【答案】

225 16255 8016【解析】

区间[50,75]长度为25，区间[20,100]长度为80，则由几何概型可知长度的比值为概率，所以P17．随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1100名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表： 分组 使用“余额宝” 使用“财富通” 使用“京东小金库” 使用其他理财产品 合计

已知这1100名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多200名. （1）求频数分布表中x，y的值；

（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.8%，“财富通”的平均年化收益率为4.2%，“京东

频数（单位：名） x y 40 60 1100 小金库”的平均年化收益率为4.82%，有3名市民，每个人理财的资金有10000元，且分别存入“余额宝”“财富通”“京东小金库”，求这3名市民2018年理财的平均年化收益率；

（3）若在1100名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，求“这2人都使用‘财富通’”的概率.

注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利率，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.

【答案】（1）x600,y400 （2）3.94%（3）p【解析】

解：（1）据题意，得1 10xy200，

xy1100100x600所以.

y400（2）因为10000元使用“余额宝”的利息为100002.8%280（元）； 10000元使用“财富通”的利息为100004.2%420（元）； 10000元使用“京东小金库”的利息为100004.82%482（元）， 所以这3名市民2018年理财的平均年化收益率280420482100%3.94%.

30000（3）据6004003:2，得共抽取这5人中使用“余额宝”的有3人，使用“财富通”的有2人. 设这5人中，使用“余额宝”分别为A1，A2，A3，使用“财富通”分别为B1，B2，则从5人中随机选取2人的所有基本事件为A1,A2，A1,A3，A1,B2，A1,B2，A2,B1，A2,A3，B1,B1，A2,B2，

A3,B1，A3,B2，共10种，

其中2人都使用“财富通”的基本事件B1,B2， 所以“这2人都使用‘财富通’”的概率p1. 1018．某企业购买某种仪器，在仪器使用期间可能出现故障，需要请销售仪器的企业派工程师进行维修，因为考虑到人力、成本等多方面的原因，销售仪器的企业提供以下购买仪器维修服务的条件：在购买仪器时，可以直接购买仪器维修服务，维修一次1000元；在仪器使用期间，如果维修服务次数不够再次购买，则需要每次1500元..现需决策在购买仪器的同时购买几次仪器维修服务，为此搜集并整理了500台这种机器在使用期内需要维修的次数，得到如下表格：

维修次数 频数（台）

5 50 6 100 7 150 8 100 9 100 记x表示一台仪器使用期内维修的次数，y表示一台仪器使用期内维修所需要的费用，n表示购买仪器的同时购买的维修服务的次数.

（1）若n6，求y与x的函数关系式；

（2）以这500台仪器使用期内维修次数的频率代替一台仪器维修次数发生的概率，求6x8的概率. （3）假设购买这500台仪器的同时每台都购买7次维修服务，或每台都购买8次维修服务，请分别计算这500台仪器在购买维修服务所需要费用的平均数，以此为决策依据，判断购买7次还是8次维修服务？

6000,x6(xN)（2）0.7（3）应该购买7次维修服务. 【答案】（1）y1500x3000,x6【解析】

解：（1）当x6时，y610006000；

当x6时，y60001500(x6)1500x3000.

6000,x6yxy(xN). 故与的函数关系式为1500x3000,x61001501000.7.

5001(3007000100850010010000)7900. （3）购买7次维修服务所需的平均费用为5001(40080001009500)8300. 购买8次维修服务所需的平均费用为500（2）6x8的概率为因为79008300， 故应该购买7次维修服务.

19．某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚.现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人会迟到，处罚时，得到如下数据： 处罚金额x（单位：元） 迟到的人数y

50 50 100 40 150 20 200 0 若用表中数据所得频率代替概率.

（Ⅰ）当处罚金定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？

（Ⅱ）将选取的200人中会迟到的员工分为A，B两类：A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；

B类是其他员工.现对A类与B类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类

员工的概率是多少？ 【答案】（Ⅰ）【解析】

（Ⅰ）设“当罚金定为100元时，迟到的员工改正行为”为事件A，则PA11（Ⅱ） 501， 2005∴当罚金定为100元时，比不制定处罚，员工迟到的概率会降低

1. 5（Ⅱ）由题意知，A类员工和B类员工各有40人，分别从A类员工和B类员工各抽出两人， 设从A类员工抽出的两人分别为A1，A2，设从B类员工抽出的两人分别为B1，B2， 设“从A类与B类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，

则事件M中首先抽出A1的事件有A1,A2,B1,B2，A1,A2,B2,B1，A1,B1,A2,B2，A1,B1,B2,A2，

A1,B2,A2,B1，A1,B2,B1,A2共6种，

同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种，故事件M共有4624种，

设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N，则事件N有B1,B2,A1,A2，B1,B2,A2,A1，

B2,B1,A1,A2，B2,B1,A2,A1共4种，

∴PN41， 246∴抽取4人中前两位均为B类员工的概率是

1. 620．本市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼.摄影协会收到了自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[25,85]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：

（1）根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中评出20个最佳作品，并邀请作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会. ①在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数； 年龄 人数

②若从较年轻的前三组作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[35,45)的概率.

【答案】（1）平均数60，中位数55【解析】

解：（1）在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数

[25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85] 43（2）①详见解析；②. 75x300.05400.1500.15600.35700.2800.1560.

设中位数为m，由0.050.10.15(m55)0.350.5，解得m55（2）每组应各抽取人数如下表： 年龄 抽取人数

根据分层抽样的原理，年龄在前三组内分别有1人、2人、3人，设在第一组的是a，在第二组的是b1，b2，

4（或答55.57）. 7[25,35) 1 [35,45) 2 [45,55) 3 [55,65) 7 [65,75) 4 [75,85] 3 在第三组的是c1，c2，c3，列举选出2人的所有可能如下：

(a,b1)，(a,b2)，(a,c1)，(a,c2)，(a,c3)，(b1,b2)，(b1,c1)，(b1,c2)，(b1,c3)，(b2,c1)，(b2,c2)，(b2,c3)，(c1,c2)，(c1,c3)，(c2,c3).共15种情况.

设“这2人至少有一人的年龄在区间[35,45]”为事件A， 则P(A)93. 15521．设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为A1，A2，A3，乙协会编号为A4，丙协会编号分别为A5，A6，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.

（1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；

（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率； （3）求参加双打比赛的两名运动员自同一协会的概率. 【答案】（1）15种；（2）【解析】

（1）由题意，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为

34；（3）P 515A1,A2，A1,A3，A1,A4，{A1,A5}，{A1,A6}，A2,A3，A2,A4，{A2,A5}，{A2,A6}，

{A3,A4}，{A3,A5}，{A3,A6}，{A4,A5}，{A4,A6}，{A5,A6}，共15种.

（2）因为丙协会至少有一名运动员参加双打比赛，所以编号为A5，A6的两名运动员至少有一人被抽到，其结果为：设“丙协会至少有一名运动员参加双打比赛”为事件A，

{A1,A5}，{A1,A6}，{A2,A5}，{A2,A6}，{A3,A5}，{A3,A6}，{A4,A5}，{A4,A6}，{A5,A6}，共9种，

所以丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率P(A)93. 155{A5,A6}，共4种， （3）两名运动员自同一协会有A1,A2，A1,A3，A2,A3，

参加双打比赛的两名运动员自同一协会的概率为P4. 1522．过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用储蓄，这并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起，为了研究某种理财工具的使用情况，现对20,70年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人

数分成5组：20,30,30,40,40,50,50,60,60,70，并整理得到频率分布直方图：

（1）求图中的a值；

（2）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组抽取8人，则三个组中各抽取多少人？ （3）在（2）中抽取的8人中，随机抽取2人，则这2人都自于第三组的概率是多少？ 【答案】（1）0.020；（2）2，4，2；（3）【解析】

（1）由频率分布直方图的性质可得0.040+2a0.0150.005101，解得a0.020； （2）第二组、第三组、第四组的频率比为1， ：21：∴三个组依次抽取的人数为2，4，2.

（3）记第一组两人分别为A1,A2，第二组四人分别为B1,B2,B3,B4， 第三组两人分别为C1,C2．

从8人中抽取两人共包含AA1,B3，A1,B4，A1,C1,A1,C2, 1,A2,A1,B1，A1,B2，1 28A2,B1，A2,B2，A2,B3，A2,B4，A2,C1,A2,C2，B1,B2，B1,B3，B1,B4，B1,C1,B1,C2，

B2,B3，B2,B4，B2,C1,B2,C2，B3,B4，B3,C1,B3,C2，B4,C1,B4,C2，C1,C228

个基本事件，而都自于第三组为C1,C2，

P=故其概率为

128.