求分式函数值域的几种方法-精品

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2020-12-12

【关键字】情况、方法、条件、领域、问题、难点、良好、沟通、发现、掌握、研究、特点、关键、理想、思想、需要、途径、重点、反映、检验、化解、分析、树立、解决、方向

摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问

题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.

关键词：分式函数 值域 方法. 1 引言

求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析．

2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域

如果分式函数变形后可以转化为y配方，用直接法求得函数的值域.

例1 求y解：y1的值域. 22x3x1ab的形式则我们可以将它的分母2a1xb2xc21312x4822，

131因为2x≥，

848所以函数的值域为：,8∪0,.

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x2x例2 求函数y2的值域.

xx1解：y11， 2xx12133因为x2x1x≥，

244所以31≤20， 4xx11故函数的值域为,1.

3先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“”的条件.

2.2 利用判别式法求分式函数的值域

我们知道若ax2bxc0a0,a,bR有实根，则b24ac≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域.

x23x4例1 求y2的值域.

x3x4解：将函数变形为y1x23y3x4y40当y1时①式是一个关于x的一元二次方程. 因为x可以是任意实数， 所以≥0，

即3y34y14y47y50y7≥0， 解得，

17≤

①，

y≤1或1y≤7，

又当y1时，x0，

1故函数的值域为,7.

72x2bxc例2 函数y的值域为1,3，求b，c的值. 2x1解：化为y2xbxyc0，

⑴当y2时xRb4y2yc≥0，

4y24c2y8cb2≥0，

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由已知4y24c2y8cb20的两根为1，3， 由韦达定理得，c2，b2. ⑵当y2时x2c0有解 b综上⑴和⑵，b2，c2.

由这两个例题我们知道在利用判别式法求分式函数的值域时要注意下列问题： 1、函数定义域为R（即分母恒不为0）时用判别式求出的值域是完备的.

2、当x不能取某些实数时（分母为零），若要用判别式法求它的值域则需要对使

ya2x2b2xc2a1x2b1xc1的判别式0的y值进行检验.

3、转换后的一元二次方程若二次项系数中含有字母则需要讨论其是否为0只有在其不为0的情况下才可以使用判别式法.

2.3 利用函数单调性求分式函数的值

对于求函数的值域问题，我们通常使用能够揭示此类函数本质特征的通性通法即利用函数的单调性来求其值域.

例1求函数y解：y2x1(xR,x1)的值域. x12x12(x1)33， 2x1x1x13是x减函数进而y是x的增函数，于是y,2； x1当x1时，

当x1时，同样y是x的增函数，于是y2,； 所以y2x1(x1)的值域为,2∪2,. x1在求分式函数时我们常运用函数yxa的单调性的结论： x⑴当a0时在,a和a,上增函数，在a,0和0,a上是减函数.

⑵当a0时在,0和0,上是增函数.

例2 求函数yx（1≤x≤3）的值域.

x2x4解：x0所以yx. 4x1x3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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4令tx在1,2上是减函数，在2,3是上增函数，

x所以x2时，tmin4；

x1时，tmax5； 所以t4,5，t13,t，

11故值域为,.

432.4 利用反函数法求分式函数的值域

设yf(x)有反函数，则函数yf(x)的定义域是它反函数的值域，函数yf(x)的值域是其反函数的定义域.那么如果一个分式函数的反函数存在，我们就可以通过求反函数的定义域来求其值域.

例1

求函数y2x的值域. 5x12x1(x)的映射是一一映射因此反函数存在，其反函数为5x152 ， 5解：由于函数yyx 明显知道该函数的定义域为x|x25x22故函数的值域为,∪,.

55说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用

yaxb(c≠0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法.我们用这种cxd方法目的是找关于y的不等式所以反函数求值域的实质是反函数的思想树立这种思想是我们的宗旨.

下面这种方法就是利用了反函数的思想比较通用的方法.

2.5 利用方程法求分式函数的值域

在1999年第2期《数学教学》第38页给出了下面的结论和证明.对函数yf(x)

(xD)将其视为方程若能通过同解变形得到单值函数xg(y)(yA*)即yf(x)(xD)xg(y)(yA*)则A*即为yf(x)的值域利用这一结论函数问题转化

为方程问题.又在2006年第2期《数学教学》“用方程法求函数值域”一文中给出了这样的引理及其证明.引理：设函数yf(x)的定义域为A值域为B，又设关于x的方程yf(x)4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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在A中有解的y的取值集合为C，则CB.

4x27例1 （2005年全国高考理科卷Ⅲ第22题）已知函数f(x)x0,1求函数

2xf(x)的值域

4x27解：f(x)，x0,1，

2x所以2yxy4x27，x0,1， 即4x2yx(72y)0，x0,1.

这样函数的值域即为关于x的方程4x2yx(72y)0在x0,1内有解的y的取值集.

令g(x)4x2yx(72y)，x0,1，

则关于x的方程4x2yx(72y)0在x0,1内有解g(0)g(1)≤0

g(0)0g(1)077或≤≤或≤≤34yy4≤y≤3， by22012a24b4acy4(72y)0即所求函数的值域为4,3.

2.6 利用换元法求分式函数的值域

当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向.换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）.在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代换等.

例1

x24x4,x[1,0]的值域． 求函数f(x)2x4x5解：令tx2，

t2111,[,1]． 则y2t111t2t25文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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因为115[,2]， 2t41425所以函数f(x)的值域是[,]．

x4例2 求函数y的值域．

(1x2)3解：令xtan，(,)， 22tan4tan442则ysincos 233(1tan)sec1sin2sin22cos212422sinsin2cos≤. 232273当且仅当tan22时“”成立.

x44所以函数y的值域为0,. 23(1x)27在这道例题中不仅用了换元法还用了均值不等式.利用三角函数来代换是我们在用换元法解题最常用的在换元后根据三角函数的有界性求能求出函数的值域 .

在用换元法的时候重要的就是要注意换元后的自变量发生了改变，那么它的定义域也就变了.注意到这点才能准确地求出值域.

2.6 利用不等式法求分式函数的值域

“不等式法”就是通过利用不等式的一些性质和均值不等式来求某些具有一定特性的分式函数的值域.若原函数通过变形后的分子分母符和下列条件①各变数为正；②各变数的和或积为常数.则可以考虑用均值不等式求它的值域.要注意在得到结论之后要说明其中等号能够取到.

例1 求函数y解：y24(x1)(x1)的值域. (x3)224(x1)(x1)24(x1)4244(x1)4x1.

因为x10，所以x1则x1448， x14≥4， x16文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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所以0y≤

243（当x1时取等号）， 8故函数的值域为0,3. 例2 设Sn123中数赛）

n，nN求f(n)Sn的最大值.（2000年全国高

(n32)Sn1n(n1)Snnn22解：f(n)， (n1)(n2)(n32)Sn1(n32)(n2)n34n(n32)21即化为了求分式函数最值的问题f(n).

n34n又因为n34当n3450， ≥2nnn1即n8时“”成立，所以对任何nN有f(n)≤， n501故f(n)的最大值为.

50例2表面上看是数列的问题而实际是我们可以将其转化为求函数值域的问题在这里我们利用均值不等式的性质来求其值域就使得整个解题过程利用数更简单.

2.8 斜率法求分式函数的值域

数形结合是中学数学中的一种重要的数学思想方法.数是形的抽象概括，形是数的直观表现.华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.这种方法不仅仅体现在数学的其它领域中，在求函数的值域与最值时也有良好的反映.

联想到过A(x1,y1)，B(x2,y2)的直线LAB的斜率为kAB函数化为斜率式并利用数形结合法来求函数的值域.

3t22(t)的最小值. 例1 求函数f(t)2(3t2)33t202解：函数f(t)可变形为f(t)(t)，

6t43y2y1，我们可以考虑把分式x2x1设A(6t,3t2)，B(4,0)则f(t)看作是直线AB的斜率， 令x6t，y3t2则x212y(x4).

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在直角坐标系中A点的轨迹为抛物线的一部分直线与抛物线相切是斜率最小. 过点B(4,0)直线方程为：yk(x4)将它代入x212y， 有x212kx48k0，则0推算出k即t8时，f(t)min4. 34此时x8， 3x2x11例2 求y(≤x≤1)的值域.

x12(x2x)1解：y，令A(1,1)，B(x,x2x)，

x(1)则ykAB，点B的轨迹方程为yx2x(1≤x≤1)， 21151B1(,)，B2(1,2)，kAB1，kAB2，

242251所以ykAB,，

2251即函数的值域为,.

22斜率法同样可以运用在形如yaxb的分式函数中，函数的值域就转化为求直线斜率cxd的范围给出了这样的结论：对于函数yaxb(c0,a2b20,bcad0)，xm,n，cxddm,n时值域为c若记m1minf(m),f(n)，m2maxf(m),f(n)，则当x,m1∪m2,.当x3 结论

dm,n时，值域为m1,m2. c整篇文章介绍了求分式函数八种比较常用的方法，可以根据题目不同的特点灵活选取不同的方法，而实际上在我们通常遇到的题目中并不是只用一种方法就能解决问题，而是要综合几种方法.当然有一些特殊的分式函数，在求值域的时就会用到特殊的方法.但是最重要的是每种方法都要注意其函数的定义域.

参考文献：

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