二次曲线极点极线的定义与性质及其在
高中解析几何问题中的应用
摘要：二次曲线的极点极线是射影几何中的重要概念，它具有许多重要的几何性质，近年来许多高考解析几何题的命题思路也基于这一数学背景。本文通过对数道典型例题解析，阐述二次曲线极点极线的定义与性质，及其在高中解析几何问题，尤其是圆锥曲线定点定值问题中的应用。
关键字：二次曲线，极点极线，圆锥曲线，定点定值问题
二次曲线的极点极线是射影几何中的重要概念，它具有许多重要的几何性质，近年来许多高考解析几何题的命题思路也基于这一数学背景。下面以椭圆为例，引出二次曲线极点极线定义与若干性质。
已知椭圆，称点和直线为椭圆的一对
极点极线，为的极线，为的极点。
1.
切 线性质：若点 在椭圆 上，则椭圆 在点 处的切线 就是 的极线（与椭圆 相切）； 若点 在椭圆 外，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为
，则
就是 的极线（与椭圆 相交）； 若点
两点，过
分别为作椭圆
在椭圆 内，过点 作任意直线交椭圆 于
的两条切线交于点 ，则点 的轨迹就是 的极线（与 相离）； 确定直线 的极点 可逆用上述方法。
2.
对偶性质：点 的极线 上任一点的极线必过 ；反之，过直线 的极点 的任一直线的极点必在 上。
3.
焦点－准线性质：椭圆 焦点及其对应准线为一对极点极线；椭圆 的右准线上的一点 对应的极线 经过右焦点 ，且有
。
1.
中点弦性质：以 为中点的弦与 的极线斜率相同。 2.
自极三角形性质：过点 作两直线分别交椭圆 于
，设 ，3.
调和性质：过点 作直线交椭圆 于有
。
两点，交 的极线 于点 ，则
，称
，
，则
四点，即
，
形成三对极点极线：
为椭圆 的一个自极三角形。
自极三角形 射影性质
上述定义及性质可推广至任意二次曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）： 已知二次曲线
，称点
和直线
为曲线的一对极点极线，为的极线，为的极点。
如：抛物线 的一对极点极线是 和 。
例1（2010湖北文15）已知椭圆
，则
点的个数是________．
的两个焦点 ，点 满足
的取值范围是________，直线 与椭圆的公共
解析：该题第二空中，点极线，条件
和直线 恰为已知椭圆的一对极点
告诉我们点 在椭圆内，故由性质①我们可以马上判断
出直线与椭圆相离，即公共点个数为0。
例2 已知抛物线条切线，
为切点．
是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若否，请说明理
和直线
，过直线 上任一点 作抛物线的两
（1）直线由．
（2）求
面积的最小值．
解析：在解决这类“是否恒过定点”的问题时，若能事先准确判断是或否并猜想出定点位置，对解题方向的准确把握和解题思路的正确形成有重要的意义。事实上，由于 恰为已知抛物线的准线，由性质③我们可以知道 和物线的一对极点极线，特别是（2），既然
和
均取得最小值，于是
必恒过焦点 ，且
为该抛
，这样就有了解题的方向。
，那么显然当 在准线与 轴的交点处时，
面积即也得最小值。
和直线
，过点 且与直线
例3（2014广州二模20）已知定点
相切的动圆圆心为点 ，记点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若点 的坐标为两点，直线
，直线
．试判断以线段
与曲线 相交于
分别交直线 于点 为直径的圆是否恒
过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．
解析：（1）极点极线，由性质⑤知，
。对于（2），我们知道，焦点和准线为抛物线的一对
恰好构成抛物线的一个自极三角形，于是 与
，从而以
为直径的圆恒过
为抛物线的一对极点极线，又由性质③可知定点 。
例4（2014广州一模）已知双曲线焦点公别为
，离心率为
．
，点 是直线
的中心为原点 ，左右 上任意一点，点 在双曲
线 上，且满足
（1）求实数 的值； （2）证明：直线
与直线
的斜率之积是定值；
（3）若点 的纵坐标为1，过点 作动直线 与双曲线右支交于不同两点 ，在线段条定直线上．
解析：（1）根据性质③，
，而
。（2）由于 在双曲线 的右准线上，且有
，则
，其斜率
，
上取异于点
的点 ，满足
，证明点 恒在一
为双曲线的切线，设
，故斜率之积为定值 。（3）由性质⑥知，满足条件的点
，那么也就有了解题的方
恒在点 的极线上，立刻可知该直线方程为向了。
由上可见，二次曲线极点极线的性质虽无法直接用于解答题作答，但它就像一把钥匙，帮助我们理解出题者的本意，迅速的找到解题方向甚至是最终答案，
以便寻找方法解决问题。特别是在一些客观题和圆锥曲线定点定值问题中，利用极点极线性质解题往往能够收到奇效。
参考文献：
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[4] 罗碎海. 圆锥曲线的极点与极线的重要结论[J]. 中学数学研究(华南师范大学版), 2014(19).
[5] 方德植, 陈奕培. 射影几何[M]. 高等教育出版社, 1983.
