2012年高考真题汇编——文科数学(解析版)5：数列

一、选择题

1.【2012高考安徽文5】公比为2的等比数列{an} 的各项都是正数，且 a3a11=16，则

a5=

（A） 1 （B）2 （C） 4 （D）8 【答案】A

216a74a522a51。 【解析】a3a1116a72.【2012高考全国文6】已知数列{an}的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，,则Sn （A）2n1 （B）()n1 （C）()n1 （D） 【答案】B

3

223

12n1

【解析】因为an1Sn1Sn，所以由Sn2an1得，Sn2(Sn1Sn)，整理得

3Sn2Sn1，所以

Sn133

，所以数列{Sn}是以S1a11为首项，公比q的等比Sn22

数列，所以Sn()n1，选B.

3.【2012高考新课标文12】数列{an}满足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前60项和为

（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830 【答案】D

32实用文档

【解析】由an1(1)nan2n1得，

an2(1)nan12n1(1)n[(1)n1an2n1]2n1an(1)n(2n1)2n1，

nn2n1）2n1，也有an3an1(1)（2n1）2n3，两式相即an2an(1)（加得anan1an2an32(1)n4n4，设k为整数，

10， 则a4k1a4k2a4k3a4k42(1)4k14(4k1)416k`于是S60K0(a144k1a4k2a4k3a4k4)K0(16k`10)1830

144.【2012高考辽宁文4】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=

(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【答案】B 【解析】

a4a8(a13d)(a17d)2a110d,

a2a10(a1d)(a19d)2a110d,a2a10a4a816，故选B

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力，属于容易题。 5.【2012高考湖北文7】定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2x；③④f（x）=ln|x |。

则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为 实用文档

；

A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 7. 【答案】C

2f(an1)an1【解析】设数列an的公比为q.对于①，2q2,是常数，故①符合条件;对

f(an)an|an1|f(an1)2an1f(an1)于②， an2an1an，不是常数，故②不符合条件;对于③，

f(an)f(an)2|an|an1f(an1)ln|an1|q，是常数，故③符合条件;对于④, ，不是常数，故④不f(an)ln|an|an符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.

【点评】本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等. 6.【2012高考四川文12】设函数f(x)(x3)3x1，数列{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)f(a2)f(a7)14，则a1a2a7（ ）

A、0 B、7 C、14 D、21 【答案】D.

333【解析】f(a1)f(a2)f(a7)(a13)a11(a23)a21(a73)

a7114，即(a13)3a13(a23)3a23(a73)3a730，根据等差

数列的性质得(a433d)3(a432d)3(a433d)37(a43)0，即

(a433d)3(a433d)3(a432d)3(a432d)3(a43)37(a43)02(a43)((a43)227d2)2(a43)((a43)212d2)2(a43)((a43)23d2)实用文档

(a43)37(a43)0，即(a43)(7(a43)284d27)0，a430,即a43，a1a2a77a421，故选D.

7.【2102高考福建文11】数列{an}的通项公式等于

A.1006 B.2012 C.503 D.0 【答案】A．

【解析】因为函数ycos所以S2012，其前n项和为Sn，则S2012

2x的周期是4，所以数列{an}的每相邻四项之和是一个常数2，

201221006.故选A. 48.【2102高考北京文6】已知为等比数列，下面结论种正确的是

222a2（A）a1+a3≥2a2 （B）a12a3 （C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则

a4＞a2 【答案】B

【解析】当a10，q0，时，可知a10，a30，a20，所以A选项错误；当q1时，C选项错误：当q0时，a3a1a3qa1qa4a2，与D选项矛盾，因此描述均值定理的B选项为正确答案，故选B。

9.【2102高考北京文8】某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为

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（A）5（B）7（C）9（D）11 【答案】C

【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。 二、填空题

10.【2012高考重庆文11】首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4 【答案】15

12415。 【解析】因为数列是等比数列，所以S41211.【2012高考新课标文14】等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比

q=_______

【答案】2

a1(1q3)a1(1q2)3【解析】显然公比q1，设首项为a1，则由S33S20，得，

1q1q即

q33q240，即

q3q24q24q2(q1)4(q21)0，即

(q1)(q24q4)0，所以q24q4(q2)20，解得q2.

12.【2012高考江西文13】等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1。若a1=1，且对实用文档

任意的 【答案】11

都有an＋2＋an＋1-2an=0，则S5=_________________。

【解析】由条件an2an12an0得anq2anq2an0，即q2q20，解得

1(2)53311. ，所以S5q2或q1（舍去）

1(2)313.【2012高考上海文7】有一列正方体，棱长组成以1为首项、体积分别记为V1,V2,...,Vn,...，则lim(V1V2...Vn)

n1为公比的等比数列，2【答案】

8。 718【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，

1n818∴V1+V2+…+Vn==(1n)，∴17818114.【2012高考上海文14】已知f(x)8。 71，各项均为正数的数列an满足a11，1xan2f(an)，若a2010a2012，则a20a11的值是

【答案】

3135。 26【解析】由题意得，a3128，a5，…，a11， 231315，易得a2010=a2008=…=a24=a22=a24=a20.， 2∵a2010a2012，且an.＞0，∴a2010∴a20.+a11=

1583135+=。 2261315.【2012高考辽宁文14】已知等比数列｛an｝为递增数列.若a1>0,且2（a n+a n+2）实用文档

=5a n+1 ,则数列｛an｝的公比q = _____________________. 【答案】2

【解析】2(anan2)5an1,2an(1q2)5anq,2(1q2)5q,解得q2或q因为数列为递增数列，且a10,所以q1,q2

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。 16.【2102高考北京文10】已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1则a2=______，Sn=_______。 【答案】a21，Sn1 21，S2=a3，2121nn 441， 2【解析】因为S2a3a1a2a3a1a1da12dda1所以a2a1d1，Snna1n(n1)d121nn。 4417.【2012高考广东文12】若等比数列an满足a2a4【答案】

12a5 . ，则a1a321 41124，所以 a1a3a5a3。 242【解析】因为a2a4a3三、解答题

18.【2012高考浙江文19】（本题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2n，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡. （1）求an，bn；

（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.

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【答案】 【解析】

（1） 由Sn=2n2n，得

当n=1时，a1S13；

2当n2时，anSnSn12n2n2(n1)(n1)4n1，n∈N﹡.

由an=4log2bn＋3，得bn2n1，n∈N﹡. （2）由（1）知anbn(4n1)2n1，n∈N﹡ 所以Tn3721122...4n12n1，

2Tn327221123...4n12n， 2TnTn4n12n[34(222...2n1)]

(4n5)2n5

Tn(4n5)2n5，n∈N﹡.

19.【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：

an1anbnanbn22，nN*，

（1）设bn1bnb1，nN*，求证：数列nanan2是等差数列； （2）设bn12•bn，nN*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值． an实用文档

【答案】解：（1）∵bn11bnanbn=，∴an122ananbnbn1b1nan2。

bb ∴ n11n。

an1an22bn1bnbnbn∴ 11nN* 。

an1ananan222bn ∴数列是以1 为公差的等差数列。

an22（2）∵an>0，bn>0，∴

anbn22an2bn2<anbn。

2 ∴10知q>0，下面用反证法证明q=1

若q>1,则a1=2a2时，an1a1qn>2，与（﹡）矛盾。 logqa1q 若0a21>a2>1，∴当n>logq时，an1a1qn<1，与（﹡）矛盾。 qa1∴综上所述，q=1。∴ana1nN*，∴1又∵bn12•bn22=•bnnN*，∴{bn}是公比是的等比数列。 ana1a12>1，于是b1实用文档

∴b1，b2，b3中至少有两项相同，与b1∴bn=22222222=2。

1 ∴ a1=b2=2。

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。 【解析】（1）根据题设an122anbnanbn22和bn1bbb1n，求出n11n，从而an1anan2bb证明n1n1而得证。

an1an （2）根据基本不等式得到1从而得到ana1nN*的结论，再由bn12•数列。最后用反证法求出a1=b2=2。

20．【2012高考四川文20】(本小题满分12分)

bn22=•bn知{bn}是公比是的等比ana1a1已知数列{an}的前n项和为Sn，常数0，且a1anS1Sn对一切正整数n都成

立。

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设a10，100，当n为何值时，数列{lg1}的前n项和最大？ an实用文档

【解析】

21.【2012高考湖南文20】（本小题满分13分）

某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. （Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；

（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）. 【答案】

【解析】（Ⅰ）由题意得a12000(150%)d3000d，

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a2a1(150%)d3a1d， 23an1an(150%)dand.

2（Ⅱ）由（Ⅰ）得an3an1d 233()2an2dd 2233(an2d)d 22

333()n1a1d1()22223()n2. 2整理得 an()n1(3000d)2d()n11

32323()n1(30003d)2d. 2由题意，an4000,()n1(30003d)2d4000,

323n()210001000(3n2n1)2解得d. nn3n32()121000(3n2n1)故该企业每年上缴资金d的值为缴时，经过m(m3)年企业的剩余资金

3n2n为４０００元.

【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出an1与an的关系式an1问，只要把第一问中的an13and，第二23and迭代，即可以解决. 222.【2012高考重庆文16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））

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已知{an}为等差数列，且a1a38,a2a412,（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，若a1,ak,Sk2成等比数列，求正整数k的值。

2a12d8 【解析】（Ⅰ）设数列{an} 的公差为d,由题意知 解得a12,d2

2a4d121所以ana1(n1)d22(n1)2n （Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn(a1an)n(22n)nn(1n) 因a1,ak,Sk2 成等比数列，22所以a2ka1Sk2 从而(2k)22(k2)(k3) ，即 k25k60 解得k6 或k1（舍去），因此k6 。

23.【2012高考陕西文16】已知等比数列an的公比为q=-（1）若

1. 2a=31，求数列an的前n项和； 4（Ⅱ）证明：对任意kN，【答案】

ak，

ak2，

ak1成等差数列。

24.【2012高考湖北文20】（本小题满分13分） 已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为8.

（1） 求等差数列{an}的通项公式；

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（2）若a2,a3,a1成等比数列，求数列错误！不能通过编辑域代码创建对象。的前n项和。 20. 【答案】

【解析】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式ana1n1d求解；有时需要利用等差数列的定义：anan1c（c为常数）或等比数列的定义：

anc'（c'为an1常数，c'0）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 25.【2012高考天津文科18】 （本题满分13分） 已知｛实用文档

｝是等差数列，其前n项和为Sn，｛

｝是等比数列，且

=

=2,a4b427,-=10

｝的通项公式；

，（n

,n>2）。

（I）求数列｛｝与｛（II）记=

+

【答案】

26.【2012高考山东文20】 (本小题满分12分)

已知等差数列{an}的前5项和为105，且a202a5. 实用文档

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)对任意mN*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项

和Sm.

【答案】 (I)由已知得：5a110d105,

a9d2(a4d),11解得a17,d7,

所以通项公式为an7(n1)77n.

(II)由an7n72m，得n72m1，

即bm72m1.

bk172m12m149， ∵bk7∴{bm}是公比为49的等比数列，

7(149m)7∴Sm(49m1).

1494827.【2012高考全国文18】(本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知数列{an}中， a11，前n项和Sn（Ⅰ）求a2，a3； （Ⅱ）求{an}的通项公式。 实用文档

n2an。 3 【答案】

28.【2012高考安徽文21】（本小题满分13分） 设函数f（x）=

x2+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}. （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；

（Ⅱ）设{xn}的前n项和为Sn，求sinSn。 【答案】

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【解析】（I）f(x)x12sinxf(x)cosx0x2k(kZ)， 223f(x)02kf(x)02k得：当x2k得：xn2n22x2k(kZ)， 3324x2k(kZ)， 332(kZ)时，f(x)取极小值， 32。 32。 3n)2n2n。 n(n1)33（II）由（I）得：xn2nSnx1x2x3xn2(123当n3k(kN*)时，sinSnsin(2k)0， 当n3k1(kN*)时，sinSnsin23， 3243， 32当n3k2(kN*)时，sinSnsin得： 当n3k(kN*)时，sinSn0， 当n3k1(kN*)时，sinSn3， 23。 2当n3k2(kN*)时，sinSn实用文档

【2012高考上海文23】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

对于项数为m的有穷数列an，记bkmaxa1,a2,...,ak（k1,2,...,m），即bk为

a1,a2,...,ak中的最大值，并称数列bn是an的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数

列是1，3，3，5，5

（1）若各项均为正整数的数列an的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的an （2）设bn是an的控制数列，满足akbmk1C（C为常数，k1,2,...,m），求证：

bkak（k1,2,...,m）

12（3）设m100，常数a,1，若anan(1)2求(b1a1)(b2a2)...(b100a100) 【

答

n(n1)2n，bn是an的控制数列，

案】

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【2012高考广东文19】（本小题满分14分）

2设数列an前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn，nN*.

（1）求a1的值；

（2）求数列an的通项公式. 实用文档

【答案】

【解析】（1）当n1时，T12S11。

因为T1S1a1，所以a12a11，求得a11。

（2）当n2时，SnTnTn12Snn2[2Sn1(n1)2]2Sn2Sn12n1， 所以Sn2Sn12n1 ① 所以Sn12Sn2n1 ② ②①得 an12an2， 所以an122(an2)，即

an122(n2)，

an2a222。 a12 求得a123，a226，则

所以an2是以3为首项，2为公比的等比数列，

n1 所以an232，

n1 所以an322，nN*。

【2102高考福建文17】（本小题满分12分）

在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=1，b4=8，{an}的前10项和S10=55. （Ⅰ）求an和bn；

（Ⅱ）现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。

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【答案】

【2012高考江西文17】（本小题满分12分）

已知数列|an|的前n项和Snkcnk（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3 （1）求an；

（2）求数列{nan}的前n项和Tn。 【答案】

nn1【解析】(1)当n1时，anSnSn1k(cc)

则anSnSn1k(cncn1)

a6k(c6c5)，a3k(c3c2)

a6c6c532c38，∴c=2.∵a2=4，即k(c2c1)4，解得k=2，∴an2n（n）1） a3cc当n=1时，a1S12

n*综上所述an2(nN)

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(2) nann2n，则

Tn222232323n2n(1)42Tn122232Tn22223Tn2(n1)2n1

(n1)2n2(2)nn1（1）-（2）得

2nn2n1

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