三角函数的图像与性质教案
考纲要求
1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．
ππ
2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在(－，)上的性质.
22
要点识记
1个必会思想——整体思想的运用
研究y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间、值域、对称轴(中心)时，首先把“ωx＋φ”视为一个整体，再结合基本初等函数y＝sinx的图象和性质求解．
2个重要性质——三角函数的周期性与单调性
(1)周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最
|ω|小正周期为. |ω|
π
2π
(2)单调性：三角函数的单调性应在定义域内考虑，注意以下两个三角函数单调区间的不同：①y＝ππsin(－x)，②y＝sin(x－)．
44
教材回归
判断下列说法是否正确(请在括号内填“√”或“× ”)．
(1)y＝cosx在第一、二象限上是减函数． (× )
(2)y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1 . (× )
π1
(3)y＝cos(x＋)在[0，π]的值域是[－1，]． (√ )
32
5
(4)y＝sin(2x＋π)是非奇非偶函数． (× )
2
考向一 三角函数的定义域、值域
ππ
例1 (1)[2014·天津高考]函数f(x)＝sin(2x－)在区间[0，]上的最小值为( )
42
22
A. －1 B. － C. D. 0
22
(2)函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域是________．
πππ3
[解析] (1)∵x∈[0，]，∴2x－∈[－，π]，
2444
2
∴y∈[－，1]，选B项．
2
2sinx－1>0，
(2)由题意，得
1－2cosx≥0，
sinx>1，2即1
cosx≤，2
π5
[2kπ＋，2kπ＋π)(k∈Z)
36
变式练习
ππ
1.已知f(x)的定义域为[0,1]，则f(cosx)的定义域为__[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)
22
______．
π
2.若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为__2__．
2
3.函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域为____[－9,1]____．
[易错点拨] 求解三角函数的最值和值域时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点
弄清楚，不然极易出现错误．
三角函数定义域、值域的求解策略
(1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t＝sinx，或t＝sinx±cosx)化为关于t的二次函数求值域(最值)．
考向二 三角函数的单调性
π
例2 (1)[2014·唐山模考]已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f()＝－2，则f(x)的一个单
8调递减区间是( )
π3πA. [－，]
88π9πB. [，] 88
3ππC. [－，]
88π5πD. [，]
88
(2)已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )
5π5π11πA. [kπ－，kπ＋]，k∈Z B. [kπ＋，kπ＋]，k∈Z
12121212
π
πππ2π
C. [kπ－，kπ＋]，k∈Z D. [kπ＋，kπ＋]，k∈Z
3663
[答案] (1)C (2)C
三角函数单调区间的求法
求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx＋φ看作一个整体，πππ3π
由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)求得函
2222数的减区间．若在y＝Asin(ωx＋φ)中，ω<0，则应先利用诱导公式将解析式转化，使x的系数变为正数，再进行求解．
变式练习
π511
1．函数y＝sin(－2x)的递增区间为[kπ＋π，kπ＋π](k∈Z)________．
31212
ππππ3πππ
2. 函数f(x)＝cos(2x－)＋3在[－，]上的单调递减区间为___[－，－]和[，] 4222882
_____．
考向三 三角函数的奇偶性和对称性
π
例3 [2015·山东高考]将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数
8的图象，则φ的一个可能取值为( B )
3πππA. B. C. 0 D. －
444
三角函数奇偶性和对称性的求法
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)，(1)函数f(x)为奇函数的充要条件为φ＝kπ(k∈Z)；为偶函数的充ππ
要条件为φ＝kπ＋(k∈Z)．(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
22求x；如要求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．
[学以致用]
π2π
1. [2014·江西高三联考]已知函数f(x)＝sin(ωx＋)－1(ω>0)的最小正周期为，则f(x)的图象的
63一条对称轴方程是( A)
ππππ
A. x＝ B. x＝ C. x＝ D. x＝ 9632
3π
2. [2015·泰安质检]函数f(x)＝cos(2x＋)(x∈R)，下面结论不正确的是( D )
2
π
A. 函数f(x)的最小正周期为π B. 函数f(x)的一个对称中心是(，0)
2
π
C. 函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D. 函数f(x)是偶函数
4
走向高考
πxππx2[2015·河北质检]设函数f(x)＝sin(－)－2cos. 366
(1)求y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最大值．
课后小练
1.y＝tanx在整个定义域上是增函数．( )
ππ2.函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是kπ－，kπ＋(k∈Z)．( )
44
3.[2015·苏州模拟]函数y＝sinx＋16－x2的定义域为________．
4.[2015·衡水统考]求函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的最值____．
1
5. 函数y＝log（cos2x）的递减区间为________．
2
三角函数的图像与性质
