初中数学分式章节知识点及典型例题解析[1]

分式的知识点及典型例题分析

1、分式的定义：

159a5ab3a2b2215xy11x213xy2

例：下列式子中，、8ab、-、、、2-、、 、、、、

42xy232xyam6x231、a中分式的个数为（ ） （A） 2 （B） 3 （C） 4 (D) 5 xym练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .

b25a2x2x2xy2x7x1⑴； ⑵ ；⑶；⑷；⑸2；⑹2. ba2xy2x523（2）下列式子，哪些是分式？

y3xxya37x1b；； ；；. ； 2yx2y5x4845

2、分式有，无意义，总有意义：

（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意：（x1≠0） 22x11有意义； 例2：分式中，当x____时，分式没有意义 x52x1x例3：当x 时，分式2有意义。 例4：当x 时，分式2有意义

x1x1例1：当x 时，分式例5：x，y满足关系 时，分式xy无意义； xy例6：无论x取什么数时，总是有意义的分式是（ ）

x2x3xx5 B. C. D.

2x1x21x31x2x例7：使分式 有意义的x的取值范围为（ ）A．x2 B．x2 C．x2 D．x2

x2A．例8：要是分式同步练习题：

x2没有意义，则x的值为（ ）A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3

(x1)(x3)初中数学视频教学集中地 http://blog.sina.com.cn/shuxue725

3、分式的值为零：

使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。

x2112a例1：当x 时，分式的值为0 例2：当x 时，分式的值为0 x1a1例3：如果分式

a2a2的值为为零,则a的值为( ) A. 2 B.2 C. 2 D.以上全不对 x2x例4：能使分式2的值为零的所有x的值是 （ ）

x1A x0 B x1 Cx0 或x1 Dx0或x1

x29例5：要使分式2的值为0，则x的值为（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2

x5x6例6：若

a10,则a是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 a4、分式的基本性质的应用： 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 例1：AACBBCC0AACBBC6x(yz)xy5(3a1)5成立,则a的取值范围是________；  ； ；如果2yz7(3a1)7aaby3(yz)ab2例2：33(ab例3：如果把分式1bca()bc) a2b中的a和b都扩大10倍，那么分式的值（ ） abA、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变 例4：如果把分式

10x中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ） xy A．扩大100倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小到原来的

1 10初中数学视频教学集中地 http://blog.sina.com.cn/shuxue725

例5：如果把分式

xy中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ） xyA、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍 例6：如果把分式

xy中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ） xyA、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍 例7：如果把分式

xy中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ） xyA、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小例8：若把分式A．扩大12倍

1倍 2） x3y的x、y同时缩小12倍，则分式的值（ 2xB．缩小12倍

C．不变

D．缩小6倍

例9：若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） 3x23x3x3x3A、 B、 C、 D、 222y2y2y2ya可变形为（ ） abaaaaA B C  D 

abababab0.2x0.012例11：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数， ；

x0.051x例12：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， = 。 21xx例10：根据分式的基本性质，分式

5、分式的约分及最简分式：

①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 ②分式约分的依据：分式的基本性质．

③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． ④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式） 约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。

第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。

baxy1xyxybaab1例1：下列式子（1）2；（2）；（3）；（4）中

xy2xyxyxyabcaac初中数学视频教学集中地 http://blog.sina.com.cn/shuxue725

正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个 例2：下列约分正确的是（ ）

x6xy1xy2xy213； D、2 0； C、2A、2x； B、

xyxxyxx4xy2例3：下列式子正确的是( ) A

2xyayyzyzcdcdcdcd1 C.0 B. D.0 ay2xyxxxaaa例4：下列运算正确的是（ ）

a2aaa241111A、 B、 C、2 D、 bbababxx22mmm例5：下列式子正确的是（ ）

bb2abab0.1a0.3ba3bA．2 B． 0 C．1 D．aaabab0.2ab2abm23mmmmm例6：化简的结果是（ ）A、 B、 C、 D、 2m3m3m33m9m11xy3x1； 533x5y。 4xy例7：约分： ；= ；3xy2xy0.6xyx296xy22 ；  ； 例8：约分：2＝ ； 22b(ab)16xy(xy) a4a4a244xya(ab)xyx216x29axay14a2bc3 ；2 ； ___________ 32221abc2x6xyx8x169m2x295ab____________________。 __________22m3x6x920ab例9：分式aba24a1，，，中，最简分式有( )

12(ab)x2a23a2b2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6、分式的乘，除，乘方：

acac·=. bdbdacadad分式的除法：除法法则：÷=·=

bdbcbc分式的乘法：乘法法测：

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分式的乘方：求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(

an

).分式的乘方，是把分子、banan分母各自乘方.用式子表示为：()=n(n为正整数)

bb例题：

16x3y456x4126x225x4计算：（1） （2） （3） aa••101367a125a100a15x39ya21a1aba2b2a4x2x225••计算：（4）2 （5） （6） 222x5x4a4a4a2aababa3b24xxy26ab计算：（7）6xy• （8） （9） xyx3xy2a3y22x21x3a21a22x25y10y(1x)•a1计算：（10） （11） （12） 22222x6x9xxa4a4a13y6x21xa1a2412a63a•22计算：（13） （14） a322a2a2a1a144aaaa6x3x2y2xyy2求值题：（1）已知：，求2的值。 22y4x2xyyxxyx2y2 （2）已知：x9yy3x，求2的值。

xy2 （3）已知：例题： 112x3xy2y3，求的值。 xyx2xyy33y32y232a) （2）计算：（1）(= （3）2x23xb22b2ab计算：（4）2= （5）•ba2a5= 34ab 3aa2aa1 （6）2• a1a1a1求值题：（1）已知：

22xyyzxzxyz 求2的值。

xy2z22342x2x（2）已知：x10x25y30求的值。

2xy2y初中数学视频教学集中地 http://blog.sina.com.cn/shuxue725

11x2yxx22例题：计算(xy)的结果是（ ）A 2 Bxy C D •2y1yxxyxy2例题：化简xx1xy的结果是（ ）A. 1 B. xy C. D .

yyxx2x38xx2x22x122x2a2a12计算：（1）2；（2） （3）(a－1)·÷

x1a22a12a2x4x42x4x21

7、分式的通分及最简公分母：

通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解） 分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。 “二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。 例如：

2x最简公分母就是x2x2。 x2x2“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。 例如：

2x2最简公分母就是x4x2x2 2x2x4“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。 例如：x2最简公分母是：2xx2

2x2xx2这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。 例1：分式112的最简公分母是（ ） ,2,2mnmnmn22222222A．(mn)(mn) B．(mn) C．(mn)(mn) D．mn

例2：对分式

x1y，2，通分时， 最简公分母是（ ） 3y4xy2x2３

A．２４xy B．１２ｘｙ Ｃ．２４ｘｙ Ｄ．１２ｘｙ

２２２２

x21xyx1x2y2例3：下面各分式：2,,,，其中最简分式有（ ）个。

xxx2y2x1x2y2A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

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1a，的最简公分母是 . 2a42a41例5：分式a与的最简公分母为________________；

b例4：分式例6：分式

11,的最简公分母为 。 222xyxxy8、分式的加减：

分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。 2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。

通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。 分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。

2a23a2422n2例1：= 例2：2= mma1a1例3：

x2yy2xyx= 例4：2=

xyyxxy2y2x2x2y2aba2b24m1计算：（1） （2） （3） 22abbam3m3(ab)(ba)5a2b33a2b58a2b（4） －－. ab2ab2ab2 13115111例5：化简++等于（ ） A．2x B．2x C．6x D．6x

x2x3x例6： 例9：3xxbca2a1 例8：  例7：223x(x3)abca4a2axx612a1a22 a1－ 例11： 22x3x3xxa4a1例10：aa2x2x1 例12：

x1练习题：（1）

bab14x11222 （2） （3） +. 222abba2xx42xa93a初中数学视频教学集中地 http://blog.sina.com.cn/shuxue725

b2xyab （5） 2 （4） a-bxyyxa2a111a例13：计算a1的结果是（ ）A B  C D a1

a1a1a1a112x，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值. 2x2x4x12x2例15：已知：x4x30 求的值。 2x2x4x4例14：请先化简：

9、分式的混合运算：

1x3x22x142x•例1：2 例2： x1x21x24x3x16x4x4x2x2x22x4x)•2•例3：( 例4： x2x2x2x3x11xxyx2y2例5：1 例6：1 22x2yx4xy4y1xx1112y)22x1xyxyx2xyy例7 例8： 2(xxx1

x22x1x例9： (x2x1x4 )xx22xx24x4 练习题： 10、分式求值问题： 例1：已知x为整数，且2x1822++2为整数，求所有符合条件的x值的和. x33xx9例2：已知x＝2，y＝

2412411，求÷的值. 222(xy)(xy)xyxy1的值为________． 2x例3：已知实数x满足4x2-4x+l=O，则代数式2x+例4：已知实数a满足

a2＋2a－8=0，求

1a3a22a1的值. a1a21a24a3初中数学视频教学集中地 http://blog.sina.com.cn/shuxue725

x211111例5：若x3 求4的值是（ ）．A． B． C． D．

x81024xx21例6：已知

112x14xy2y3，求代数式的值 xyx2xyya1a3a26a9例7：先化简，再对a取一个合适的数，代入求值． a3a2a24练习题：

x24xa28a16a2ab（1）2，其中x=5. （2）,其中a=5 （3）2,其中a=-3，b=2 22x8x16a16a2abbx2x1x4a21a1（4）2 ；其中a=85； （5）(2，其中x= -1 2)a4a4a2x2xx4x4x（6）先化简，再求值：

3x5÷(x+2－).其中x＝－2. 2x4x2aa2aa222)()1,其中a,b3 （7）(222aba2abbabab321x1（8）先化简，1，再选择一个你喜欢的数代入求值．

xx

11、分式其他类型试题：

例1：观察下面一列有规律的数：是＿＿＿（n为正整数） 例2： 观察下面一列分式：234567，，，，，，……． 根据其规律可知第ｎ个数应3815243548124816,2,3,4,5,...,根据你的发现，它的第是 ，第n项xxxxx是 。 例3：按图示的程序计算，若开始输入的n值为4，则最后输出的结果m是 （ ） Yes n（n+1）输入n 计算 >50 输出结果m n No A 10 B 20 C 55 D 50 例4：当x=_______时,分式

101与互为相反数. 5x23x113，根据这个规则x☆(x1)的解为 ab222

C．x或1 D．x或1

33

例5：在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a☆b＝（

） A．x

2

3

B．x1

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例6：已知

4ABxC，则A_____,B_____,C______；

x(x24)xx243y7AB，则（ ）

(y1)(y2)y1y2A．A10,B13 B．A10,B13 C．A10,B13 D．A10,B13

例7： 已知

xyy2例8：已知2x3y，求2的值； 222xyxy例9：设mnmn,则

111 B.0 C.1 D.1 的值是( ) A.

mnmn

例10：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式

ｘ－4ｘｙ＋4ｙ ｘ－4ｙ ｘ－2ｙ

例11：先填空后计算：

2222111111= 。= 。= 。（3分） nn1n1n2n2n31111②（本小题4分）计算：

n(n1)(n1)(n2)(n2)(n3)(n2007)(n2008)1111解：

n(n1)(n1)(n2)(n2)(n3)(n2007)(n2008)①

= 12、化为一元一次的分式方程：

（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 （3）解分式方程的步骤 ：（1）能化简的先化简； (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程； (4)验根．

x1的值为－1，则x的值是 ； 2x154与例2：要使的值相等，则x=__________。 x1x22mx11例3：当m=_____时，方程=2的根为.

mx2例1：如果分式例4：如果方程

23 的解是x＝5，则a＝ 。

a(x1)初中数学视频教学集中地 http://blog.sina.com.cn/shuxue725

232x1 (2) 1

xx1x33xx216x2例6:解方程： 2x2x4x2ax4例7：已知：关于x的方程1无解，求a的值。 x33xxa例8：已知关于x的方程1的根是正数，求a的取值范围。

x21x2例9：若分式与的2倍互为相反数，则所列方程为___________________________；

x2x3mxx1例10：当m为何值时间？关于x的方程2的解为负数？ x1x2xx2例5：(1)

例11：解关于x的方程

bxa2xba(a0)

例12：解关于x的方程:

x1x12a2(a0) 2ababab例13：当a为何值时,

x1x22xa的解是负数? x2x1(x2)(x1)x2y3xx2y22x22例14：先化简,再求值:,其中x,y满足方程组 2xyxy(xy)xy2例15知关于x的方程

x1xm的解为负值，求m的取值范围。 x2x1(x2)(x1)练习题： (1)

3x2141350 (3) (2) 22x1x(x1)x4x161X1X1X(4)xx2115x42x51 (5) 2 (6)

x5x6x1x12x43x6211x121231(7) (8） （9） 323

x22xx33xx92x21x13、分式方程的增根问题：

（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

（2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

xm+1=有增根，则m= x3x3k4x2例2：当k的值等于 时，关于x的方程不会产生增根； x3x3例1：分式方程2mx32例3：若解关于x的分式方程x2x4x2会产生增根，求m的值。

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xm会产生增根； 2x3x3xm22例5：若关于x的分式方程无解，则m的值为__________。 x3x3xkx例6：当k取什么值时？分式方程0有增根.

x1x1x1x1m例7：若方程有增根，则m的值是（ ）A．4 B．3 C．-3 D．1 x4x43a4例8：若方程有增根，则增根可能为（ ） x2xx(x2)例4：m取 时，方程

A、0 B、2 C、0或2 D、1

14、分式的求值问题：

aba1的值为 ； ，分式

2a5bb311例2：若ab=1，则的值为 。 a1b1112例3：已知a3 ，那么a2_________ ； aa例1：已知例4：已知

115xxy5y72723，则的值为（ ）A  B C D  xyxxyy2727xyy2例5：已知2x3y，求2的值； 222xyxya2abb2a例6：如果=2，则= 22babab4x与的和等于2，则a= , b = 。 x2x2x4111例8：若xyxy0，则分式（ ）A、 B、yx C、1 D、－1

yxxyx24x1例9：有一道题“先化简，再求值：，其中x3。”小玲做题时把“x3”（2）2x2x4x4例7：已知错抄成了“x3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？

a211例10：有这样一道数学题:“己知:a=2005,求代数式a(1+)－的值”,王东在计算时错把“a=2005”

a1a抄成了“a=2050”，但他的计算结果仍然正确，请你说说这是怎么回事。

x22x1x12x的值，其中x2007”例11：有这样一道题：“计算：，某同学把x2007错抄

x21xx成x2008，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？

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x21例题：已知x3，求4的值。 2xxx1

15、分式的应用题：

（1）列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．

（2）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：

a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． b.数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． c.工程问题： 基本公式：工作量=工时×工效．

d.顺水逆水问题: v

顺水

=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．

工程问题：

例1：一项工程，甲需x小时完成，乙需y小时完成，则两人一起完成这项工程需要______ 小时。 例2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（ ） A

120180120180120180120180 B C D x6xx6xxx6xx6例3：某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独做,恰好如期完成; 如果乙工作队独做,则超过规定日 期3天,现在甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完成,求规定日期.如果设规定日期 为x天,下面所列方程中错误的是( ) A.

1x22x231x121; C.; D.1; B.1 x3xx3xx3xx3xx3例4：一件工程甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数 是（ ）．（A）ab （B）111ab （D）  （C）

ababab例5：赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21

页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x页,则下列方程中,正确的是（ ） 140140280280101014014014 B、14 B、1 D、14 xx21xx21xx21xx21例6：某煤厂原计划x天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，

A、列出方程为（ ） A 1201201201201201201201203 B 3 C 3 D 3 x2xxx2x2xxx272x1；x3例7：某工地调来72人参加挖土和运土工作，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，问怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工？要解决此问题，可设派x人挖土．列方程①②72xxx；③x3x72；④3． 372x例8：八（1）、八（2）两班同学参加绿化祖国植树活动，已知八（1）班每小时比八（2）班多种2棵树，

八（1）班种66棵树所用时间与八（2）班种60棵树所用时间相同，求：八（1）、八（2）两班每小时各

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种几棵树？

例9：某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期3天，现在甲、乙两人合做2天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？

例10：服装厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好可以按时完成，后因客户要求提前5天交货，则每天应比原计划多做多少件？

例11：为加快西部大开发的步伐，决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好可以按期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成。现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则也刚好可以按期完成。问师宗县原来规定修好这条公路需多长时间？

例12：某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共4350元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共4750元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的2，厂家需付甲、丙两队共2750元。 3（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

（2）若工期要求不超过20天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。

价格价钱问题： 例1：“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参加游览的同学共x人，则所列方程为 （ ） A．

1801801801801801801801803 B．3 C．3 D．3 xx2x2xxx2x2x例2：用价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？若设这种新涂料每千克的售价为x元，•则根据题意可列方程为________．

例3：某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙同种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

例4：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款？

例5：随着IT技术的普及，越来越多的学校开设了微机课.某初中计划拿出72万元购买电脑，由于团体购买，结果每台电脑的价格比计划降低了500元，因此实际支出了万元.学校共买了多少台电脑？若每台电脑每天最多可使用4节课，这些电脑每天最多可供多少学生上微机课？(该校上微机课时规定为单人单机)

例6：光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动，联系了甲、乙两家旅游公司，甲公司提供的优惠条件是：1名教师收行业统一规定的全票，其余的人按7.5折收费，乙公司则是：所有人全部按8折收费．经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜

1，那么参加活动的学生人数是多少人？ 32初中数学视频教学集中地 http://blog.sina.com.cn/shuxue725

例7：北京奥运“祥云”火炬2008年5月7日在羊城传递，熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递和平、友谊、 进步的“和平之旅”，广州市民万众喜迎奥运。某商厦用8万元购进奥运纪念运动休闲衫，面市后供不应求， 商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销 售这种运动休闲衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，请问在这两笔生意 中，商厦共赢利多少元？

顺水逆水问题：

例1：A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9 小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ） A、

4848484846969 B、9 C、49 D、9 x4x44x4xxx4x4例2：一只船顺流航行90km与逆流航行60km所用的时间相等，若水流速度是2km/h，求船在静水中的速度，设船在静水中速度为xkm/h，则可列方程（ ）

9060906090606090A、x2=x2 B、x2=x2 C、x+3=x D、x+3=x 例3：轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相同，已知水流速度是每小时3千米，求轮船在静水中的速度。

行程问题：

例1：在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这 段路上、下坡的平均速度是每小时（ ）

vv2v1v2v1v2千米 B、12千米 C、千米 D、无法确定

v1v2v1v22例2：甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙．那

A、

么甲的速度是乙的速度的（ ） Ａ．

ab倍 b Ｂ．

b倍 ab Ｃ．ba倍 ba Ｄ．

ba倍 ba

例3：八年级A、B两班学生去距学校4.5千米的石湖公园游玩，A班学生步行出发半小时后，B班学生骑自行车开始出发，结果两班学生同时到达石湖公园，如果骑自行车的速度是步行速度的3倍，求步行和骑自行车的速度各是多少千米/小时？

例4：A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度。

例5：甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度。

数字问题：

例1：一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于

1,求这个分数. 4例2：一个两位数，个位数字是2，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新的两位数与原来的两位数之比是7：4，求原来的两位数。

例3：一个分数的分母加上5，分子加上4，其结果仍是原来的分数，求这个分数。

例4：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，个位上的数字加上8以后去除这个两位数时， 所得到的商是2，求这个两位数。

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16、公式变形问题：

例1：一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为U像距为V，凸透镜的焦距为F，且满足V表示F应是（ ） （A）

111，则用U、UVFUVUVUV （B） （C） （D） UVUVVU111（R1R2），则表示R1的公式是（ ） RR1R2例2：已知公式

A．R1R2RRR2R(R1R2)RR2 B．R1 C．R1 D．R1 RR2RR2R2R2R例3：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式： 111

＋＝. 若f＝6厘米，v＝8厘米，则物距u＝ 厘米. uvf

例4：已知梯形面积SA．h1(ab)h,S、a、b、h都大于零，下列变形错误是（ ） 2S2S2S2S B. a b C.ba D.h2(ab)abhh例5：已知ab1,M11ab,则M与N的关系为( ) ,N1a1b1a1bA.M>N B.M=N C.M