髙考数学试题分类详解
排列组合二项式定理
A. 3
B・4 C・5 D・6
解.（x2-丄）”的展开式中，常数项为15,则Cj（x2）^（--）^=15,所以”可以被3整除,
当 n=3 时，（7；=3工15,当 n=6 时，C;=15,选 D。
2、 （全国1文5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选 修3门，则不同的选修方案共有
A. 36 种
B. 48 种
C. 96 种
D. 192 种
解.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不 同的选修方案共有 W-C；=96种，选C。
3、 （全国2理10）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，
每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有
（A）40 种
（B） 60 种 （C） 100 种
（D） 120 种
解.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求 星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有= 60种, 选B。
4、 （全国2文10） 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则
不同的报名方話共有（
A. 10 种
B. 20 种
）
C. 25 种
D. 32 种
解.5位同学报划参加两个课外活动小组，每位同学限报瓦中的一个小组，则不同的报需方 法共有2—32种，选D。
,5、（北京文5）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互
不相同的牌照号码共有（
A. （4）'况个 C.（C；6『1O4个
）
B.益心个 D.局10“个
解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，英中4个数字互不相同的 牌照号码共有（Cd）'况个，选A。
6、（北京理5）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人 相邻
但不排在两端，不同的排法共有（
A. 1440 种
B. 960 种
）
C. 720 种 氏
D. 480 种
解析：5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入英中，且两位老人有左右 顺序，共有24 &=960种不同的排法，选乩
7. （江苏7）若对于任意实数八 有疋=山+4（人・一2） +心（兀一2）2+6（兀一2几 则勺的
值为（B）
A. 3
B・ 6
C・ 9
D・ 12
解析：X'=[2 + （X — 2）F a2 =cf2 = 6 选 B
8、（福建理9）把1+ （1+X）+（l+x）? + ・・・+ （l+x）\"展开成关于X的多项式，其各项系
数和为a”则lim如二1等于
,,-*x alt 一 1
A
? BT C1 D2
, 2a -1
2・2间一 3
]_2”+I
解析：令曰得a“2+24……+2—p 选D
9、（福建文12）某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固泄，从\"XXXXX X X0000”到“X X X X X X X9999”共10000个号码.公司规左：凡卡号的后四位带有数 字“4”或“7”
的一律作为“优惠，卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为
A.2OOO
B.4096
C.5904
D.832O
解析：1OOOO个号码中不含4、7的有8*4096,故这组号码中'‘优惠卡”的个数为 10000-4096=5904,选 C
10. （湖南文5）在（\\ + x）[neN）的二项展开式中，若只有x5的系数最大.贝川=
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
，l4【答案】C
【解析】只有疋的系数最大，F是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项, 故 n=10
11、（江西理4）已知
展开式中•各项系数的和与其各项二项式系数的和之比
为,则〃等于（
D・7
解析：展开式中，各项系数的和为4X各项二项式系数的和为2S由已知得23,所以 A. 4
B. 5
C. 6
n=6,选 C 12、（江西文 5）设（兀2+l）（2x + l）9 =山+4（% + 2） + °2（/ + 2）‘+・・・ + 0]1（兀 + 2）口，
则+心+・・・+ 5的值为（
）
C. 1
D・2
解析：令x+2=l,右边为〃（）+q+Q?+・・・ + 5i：左边把x = —1代入
(x2 +l)(2x + l)9 = 2(—l)9 = —2 ♦ /.
+d] +4
an = —2•选 A.
13、（湖北理1文3）如果（3F-吕j的展开式中含有非零常数项，则正整数\"的最小值为
A・3
C. 6 D. 10
答案：选B
解析：由展开式通项有Tr^=C；l（3x f
2r= C；・3L・(-2y・F
亠
由题意得2n —=0 =＞〃 = ★（/• = 0,1,2,…,n-1）,故当尸=2时，正整数\"的最 小值为5,故选B
展开式中的常数项是 14、（浙江文6）
（A） -36 （B）36 （C） -84 （D） 84
【答案】：C
【分析】：设常数项为第厂+ 1项，则7；+|=久・（仮）1.［一丄］=C； （-l/ -x^
9 3r
令|-y = 0,则r = 3,故常数项是第四项且7； =-84；
15、（重庆理4）若（X + -Y展开式的二项式系数之和为,则展开式的常数项为（） x A.10
【答案】：B
B.20
C.30
62rD.120
【分析L 2\" =
= 6. n 7；+】=• x\" = C^x'.
=>6-2r = 0=>r = 3
T4=C^ = 20.
16、(重庆文4) (2+1) &展开式中“的系数为
(A) 15
(B) 60
(C) 120
(D) 240
【答案】：B
【分析】：(2x — l『 =(_l + 2x)6 =>厶= C；(—1)4・(2X)2 =60疋・ 17.（辽宁文12）将数字1,2, 3,4, 5, 6拼成一列，记第i个数为q（i = 12…6）,若q H1,
©H3, @工5, 4＜他＜他，则不同的排列方法种数为（ A. 18 B・ 30 C・ 36 D・ 48
）
解析*分两步：（1）先排\"］43山5，5=2,冇2种：5=3有2种：=4 {} 1种，共有5
3
种：（2）再排。2，心，心，共有屈=6种，故不同的排列方法种数为5X6=30,选B
（A） 288 个
（B） 240 个 （C） 144 个 （D〉126 个
解析：选B.对个位是0和个位不是0两类情形分类计数：对每一类情形按“个位一最高位 一中间三位”分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有1X4XA：=96个；②个 位不是0并且比20000大的五位偶数有2X 3X
= 144个；故共有96+144 = 240个.
19、（四川文9）用数字1, 2, 3, 4, 5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶 数共有（
）
（A） 48 个
（B） 36 个 （C） 24 个 （D）18 个
二、填空题
1、 （全国1理13）从班委会5划成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体
冇委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 ______ 种。（用数字作答） 解.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、 乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选岀1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任 学习委员和体育委员，不同的选法共有C*-A;=3x4x3 = 36种。
2、 （广东理12）如果一个凸多而体是n棱锥，那么这个凸多而体的所有顶点所确左的直线
共有 条，这些直线有/（“）对异面直线，则/（4） = —: f（n）= _________ （答案用数字 或n的解析式表示） 答案：号巴;8;n（n-2）。
解析:川竇\"；/（4） = 4x 2 = 8 ;/（”） = n - （n- 2）
（ i
“X丿
5 2
3、（天津理11）若 十+—|的二项展开式中『的系数为=则。= ____________________ •（用数字
作答） 【答案】2
【分析】Tr+t = C； （x ［（arf* J = C^-a~,当心3时得到*项的系数
2,2}rrC^a~' = # => a = 2
4、（天津理16）如图，用6种不同的颜色给•图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色.■
要
求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 _____________ 种（用数字作答）.
匸匸
4
【标准答案】390
5
【分析】用2色涂格子有C^x2 = 30种方法，用3色涂格子有C（3x8-C；x2）= 360种 方法，故总共有390种方法.
5 （天津文12） L + 4 的二项展开式中常数项是 _______________ （用数字作答）.
V 对丿
解・84【解析】根据二项式展开式通项公式到展开式中常数项是：
Tr+i= C^x9-rx~2r = C；x9-3f，令 9-3r = 0 得 r = 3，故有:C； = 84
6、（天津文16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色， 一 ---------- ---- 一
每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格 子「的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 __________ 种（用数字作― 答）.
解・630【解析】分为三类:第一类是只用两种颜色则为:=30种，第二类是用三种颜
色则为:C：A；C：C；=240种，第三类是用四种颜色则为:C：A：=360种，故共计为630 种.
7、 （全国2理13）. （1+2?） （x—»的展开式中常数项为 _________ （用数字作答）
―
解.（1+2^）（A—;）«的展开式中常数项为1 • + 2•
・（一1），二一42。
8、 （全国2文16） （1 + 2疋）（1 +十［的展开式中常数项为 _______ -（用数字作答）
解.(l + 2x2) 1 + 1 I的展开式中常数项为l + 2・Cf =57. \\ X)
9 、(安 徽文 12)已知(1 - x)5 =
a+ a2x2 + a3x' + a4x4 + a5x5 ,则
(+ 幺2 + “4)(5 + 3 +)的值等于 __________________________________ ・ 解析：已知(1-x)5 = «0 + axx + a2x + a3x + a4x + a5x,
23l5/. «0 + a2 +a4 =一(务 +a3+a5) = 16 贝9(“° +a2 +。4)(5 +5 +^5)=—256
10、（安徽理12）若（佔 尸的展开式中含有常数项，则最小的正整数\"等于 _____________
解析：若（3+
的展开式中含有常数项
Tr^ = 6；「（2疋）1・（厶）「为常数项,
3-*=。，当i \"时成立，最小的正整数〃等于7.
11、（12江苏）某校开设9门课程供学生选修，其中A.B.C三门由于上课时间相同，至多「选
一门，学校规左每位同学选修4门，共有一 75 种不同选修方案。（用数值作答） 解析：按照选一门或一门都不选分类：C；C：+C；＞C： =75
12、（上海理7）有数字1、2、3、45,若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为
6
【解
10 析】
13、 _____________________________________________________ （福建文13） （F+丄）&的展开式中常数项是 ___________________________________________ .（用数字作答）
3
x
解析：法一：由组合数性质，要使出现常数项必须取2个\"，4个丄，故常数项为=15 x
法二：展开后可得常数项为15
14、 （湖南理15）将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图1所示的41三角数表•从 上
往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…,
第“次全行的数都为1的是第 _________ 厅：第61行中1的个数是
第1行 第2行 第3行
第4行 10 第5行 1
1 1 1 0 1 1111
0
1 0 0
0
1 1
图1
【答案】2”一1, 32
【解析】由不完全归纳法知，全行都为1的是第2”—1行：=
26 — 1 = 63,
故第63行共有个1,逆推知第62行共有32个1,第61行共有32个1。
15、 （浙江理14文16）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种.小张用10 元
钱买杂志
（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 _______ （用数字作答）.
【答案】：266
【分析】：根据题意，可有以下两种情况：①用10元钱买2元1本共有C; = 56
②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本共有
C：・C； =70x3 = 210 故 210+56=266.
16、 （海、宁16）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂
至少安排
一个班，不同的安排方法共有 _______________ 种.（用数字作答） 【答案】：240
【分析】：由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，
共有C； C；-^= 240.种安排方法。
17、 （重庆理15）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，
则不同的选课方案有 ___________ 种。（以数字作答）
【答案】：25
【分析】：所有的选法数为C；,两门都选的方法为
故共有选法数为c； -C;C; =35-10 = 25.
7
要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 __________ 。
（以数字作答）
【答案】：288
【分析】：先排数学课有C；种排法，再排最后一节有C：种排法，剩余的有种排法，
共有= 288种排法。
19、（辽宁理16）将数字1,2, 3, 4, 5,6拼成一列，记第i个数为q（i = 1,2,…,6）,若q H1,
他H3,他工5,⑷ ＜他＜《，则不同的排列方法有 _____________ 种（用数字作答）. 解析：分两步：（1）先排%心，。5,如=2,有2种：°[=3有2种;尙=4有1种,共有5 种：（2）再排。2，心，\"6,共有= 6种，故不同的排列方法种数为5X6=30.填30
解析：7；+| =q（V^）, （4=-）S_r
V-r
当r=O, 4, 8时为含x的整数次幕的项，所以
展开式中含x的整数次幕的项的系数之和为C；+C；+C； = 72,填72
21、 （四川文13）（X-丄）\"的展开式中的第5项为常数项，那么正整数”的值是 __________ .
x
解析：n = 8.
22、 （陕西理16）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共
有 _______ 种.（用数字作答）ZXXK.COM
解析：分两类，（1）每校1人：= 120 : （2） 1校1人，1校2人：不同的 分配方案共有120+90=210
23、 （陕西文13） （l + 2x）5的展开式中的系数是 ____________ .（用数字作答）
• •
解析：F项为c；l'（2x）2 =40亍，填40
24、 （陕西文15）安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共
有 _________ 种.（用数字作答）
解析：分2类：（1）每校最多1人：眉=24： （2）每校至多2人，把3人分两组，再分到 学校：= 36 .共有60种
8
