分数与小数的混合运算

学习奥数的优点

1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力

4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

学习奥数的优点

1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力

4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

学生姓名 教师姓名

学科培优 数学

“分数与小数的混合运算”

授课日期 授课时长

知识定位

本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。要求学生在运算顺序正确的前提下，通过一定题目的训练，熟练把握分数和小数之间的互化，从而使题目化繁为简。

知识梳理

一、分数和小数的定义：

分数：表示把一个“单位1”平均分成若干份，取其中的一份或几份的数，叫做分数

（分成零份在此不讨论）

分数又分为真分数、假分数和带分数。 真分数：分子比分母小的分数叫真分数。

假分数：分子比分母大，或者分子等于分母的分数叫做假分数。（分母、分子为零在此不讨论）

带分数：一个整数（零除外）和一个真分数组合在一起的数，叫做带分数。带分数也是假分数的另一种表示形式，相互之间可以互化。

小数：分母是10n的（n为自然数）分数叫做“十进分数”。由于任何一个“十进分数”都能写成小数的形式，例如：7/10＝0.7，7/10^2＝0.07等等，所以一般而言，小数是特殊形式的分数。（但是不能说小数就是分数）

小数分为有限小数和循环小数。

一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。

循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字 叫做这个循环小数的循环节。例如：0.3333……循环节是“3”

2.14242……循环节是“42”

二、分数与小数混合运算时的运算顺序：

在整数四则混合运算中，有加、减法，又有乘、除法，要先算乘、除法，后算加、减法；有小括号、中括号、大括号的，要先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 【授课批注】 高年级同学有时会遇到幂的运算——即：2次方或者3次方等，做题时，应首先进行括号的运算，然后是幂，后面才是乘除和加减。

三、分数与小数混合运算的技巧：

在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。

技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。

技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成

小数。此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。

【授课批注】

技巧2中提到的循环小数化分数会在题目中具体进行讲解。

技巧3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。 技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。

【授课批注】 加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

和不变规律：a+b=(a+c)+(b-c)=(a-c)+(b+c)

减法的性质：a-b-c=a-(b+c)

(a-b)+(c-d)=(a-d)+(c-b) (a>d,c>b) 差不变规律：a-b=(a-c)-(b-c)=(a+c)-(b+c)

乘法交换率：a×b=b×a

乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c

积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)

技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，

把这些常用的数互化数表化对学习非常重要。

除法 除不尽(按四舍五入计算) 除法 比 分数 小数 百分 除法 比 分数 小数 百分 1÷2 1:2 1/2 0.5 50% 1÷3 1:3 1/3 0.33 33% 1÷4 1:4 1/4 0.25 25% 2÷3 2:3 2/3 0.67 67% 1÷5 1:5 1/5 0.2 2÷5 2:5 2/5 0.4 3÷5 3:5 3/5 0.6 4÷5 4:5 4/5 0.8 20% 1÷6 1:6 1/6 0.17 17% 40% 5÷6 5:6 5/6 0.83 83% 60% 1÷7 1:7 1/7 0.14 14% 80% 2÷7 2:7 2/7 0.29 29% 1÷8 1:8 1/8 0.125 12.5% 3÷7 3:7 3/7 0.43 43% 3÷8 3:8 3/8 0.375 37.5% 4÷7 4:7 4/7 0.57 57% 5÷8 5:8 5/8 0.625 62.5% 5÷7 5:7 5/7 0.71 71% 7÷8 7:8 7/8 0.875 87.5% 6÷7 6:7 6/7 0.86 86% 1÷10 1:10 1/10 0.1 3÷10 3:10 3/10 0.3 7÷10 7:10 7/10 0.7 9÷10 9:10 9/10 0.9 10% 1÷9 1:9 1/9 0.11 11% 30% 2÷9 2:9 2/9 0.22 22% 70% 4÷9 4:9 4/9 0.44 44% 90% 5÷9 5:9 5/9 0.56 56% 3÷2 3:2 3/2 1.5 150% 7÷9 7:9 7/9 0.78 78% 5÷4 5:4 5/4 1.25 125% 8÷9 8:9 8/9 0. % 7÷5 7:5 7/5 1.4 140% 4÷3 4:3 4/3 1.33 133% 除尽是指除数(前项、分子)除以除数（后项、分母）得商备注 不出现循环（或无限循环）小数；除不尽与除尽相反，是无限循环小数。

【重点难点解析】

1. 计算时分数和小数的互化。 2. 循环小数化分数的规则。 【竞赛考点挖掘】

1. 将该类型题目转化为解方程问题。 2. 循环小数化分数。

例题精讲

【试题来源】

【题目】计算 5.2310.7 【答案】24 【解析】原式=

11

1523521657525571375111 1053101016310868624【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1

【试题来源】 【题目】计算

【答案】124 【解析】原式=

1

450.320.375 15948535511 15259862424【知识点】分数与小数的混合运算

【适用场合】当堂例题 【难度系数】1

【试题来源】 【题目】 计算 199719971997 19981

【答案】11998 【解析】原式=（19971997199711 ）1997199719971997111998199819981998

【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2

【试题来源】

【题目】计算 19971997

1997 1998【答案】

19981999

【解析】本题考察学生对带分数的灵活转化及四则运算定律的准确理解 本题非常容易出现的一种错误解法是：

199719971997199719971997(1997)19971997199711998199919981998199819971997199819971997199919981998199719971997也就是学生会惯性的理解为除法具有除法分配率！正确的解法如下：

1997199719981998199819991997

【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2

【试题来源】 【题目】计算 18370.6582571371813113

【答案】331140

【解析】

183727180.65813513132018(3727)0.65（813513）1871320331140 【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2

【试题来源】 【题目】 解关于x的方程

x813(x15112)2.45312

【答案】144 【解析】

x813(x15112)2.45312 x813x50.515.5 199911x66 24x144

【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2

【试题来源】 【题目】已知16.2[(4

【答案】0.005

【解析】设□为x，于是此题转化为解关于x的方程。

12700□)1]8.1，那么□=_______ 771216.2[(4700x)1]8.1

7712[(4700x)1]8.116.2

771194700x 7271700x3

2x0.005

【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

习题演练

【试题来源】 【题目】计算

9.6110324 1993251993【答案】0.96 【解析】原式=

9.62411031103011030.960.960.96()0.96 19932519931993199319931993【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3

【试题来源】

1652559【题目】计算 3110217

33332512236938

【答案】95 【解析】

3

8165255916517512393251759512393331102178599333323110225332363231102253323632551223693

【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】将下列算式的计算结果写成带分数：

60

【答案】58119 【解析】原式=

0.523659

1190.5236591185915960==(1=58 )×59=59-119119119119119【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【试题来源】 【题目】计算 7

44802193418556÷÷1 83332590935255【答案】5

56

44802193418556÷÷1 83332590935255628112590935255= 833321934538113739971319935111= 131211997333199375= 235=5 6【解析】7

【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】5

【试题来源】 【题目】计算

【答案】10 【解析】原式=

=

153219(4.853.66.153)5.51.75(1) 41853211757193.6(4.8516.15)5.5 443421

135193.6105.595.54.510 412【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2

【试题来源】

【题目】计算 41.28.1119【答案】537.5 【解析】

原式=4120.81119.250.19(412125)

=412(0.810.19)119.250.19125 =412118111.250.191.25 =4128837.5

15370.19 4 =537.5

【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2

【试题来源】 【题目】计算 (9【答案】13 【解析】 原式=(22557)() 79796565555555)()=13()()13 79797979【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2

【试题来源】 【题目】计算 【答案】 52

123246481271421

13526104122072135【解析】

123(13234373)1232 原式=

135(13234373)1355【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】求下述算式计算结果的整数部分 (

【答案】517. 【解析】

原式=(3853853851211111)385 3571113121315111385385385 71113192.5128.377553529.6

517.4

所以原式的整数部分是517．

【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3

【试题来源】 【题目】计算 39【答案】148 【解析】

1488674 14848149149149148398624398624148148148()148 149149149149149149

【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3

【试题来源】

195395.22910(19930.41.6) 【题目】计算

1956275.2219950.51995950【答案】4 【解析】

5

5191.3219930.40.80.4(19932)45原式＝9÷=1=1=

519950.519950.554191.329【知识点】分数与小数的混合运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4

【试题来源】

【题目】计算99【答案】9999

【试题来源】

999999 100【题目】求□代表的数是多少 [(6.5)32181](□71.95）10 3215【答案】31

20

【试题来源】 【题目】计算 (611766581112113411995)(313317221)

【答案】133

【试题来源】 【题目】已知

181111，则x等于多少? 21x14

【答案】1。25

【试题来源】

12.10.5455【题目】计算 110

540.21415

【答案】 2

1

【试题来源】

【题目】某学生将1.23乘以一个数a时，把1.23误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?

33

【答案】由题意得：1.23a-1.23a=0.3，即：0.003a=0.3，所以有： a= ．解得a= 90，

90010

·

·

··23-2111

所以1.23a =1.23× 90=1 ×90= × 90=111．

9090

·

·