全国初中数赛试题及答案

２００１年全国初中数合竞赛试题

２００２年全国初中数合竞赛试题

２００３年全国初中数合竞赛试题

２００５年全国初中数赛初赛试卷

２００５年全国初中数赛决赛试卷

２００６年全国初中数赛决赛试卷

２００６年全国初中数赛决赛试卷答案

２００７年全国初中数赛决赛试卷

2008年全国初中数合竞赛第一试答案

2008年全国初中数合竞赛第二试

2008年全国初中数合竞赛第二试答案

2009年全国初中数合竞赛试题

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1． 设a71，则3a312a26a12（ ）

A．24 B． 25 C． 4710 D． 4712 2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（ ）

A．72 B． 10 C． 105 D． 73 3．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程x22[x]30的解的个数为（ ）

A．1 B． 2 C． 3 D． 4

4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ）

A．

314 B．

37 C．

12 D．

47

AD5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆， 自点A作半圆的切线AE，则sinCBE＝（ ）

A．

63E B．

23 C．

13 D．

1010

BC6．设n是大于1909的正整数，使得

n19092009n为完全平方数的n的个数是（ ）

A．3 B． 4 C． 5 D． 6 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1．已知t是实数，若a,b是关于x的一元二次方程x22xt10的两个非负实根，则(a21)(b21)的最小值是____________．

2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为__ ____．

3．如果实数a、b满足条件a2b21，|12ab|2a1b2a2，则a + b = ____．

4．已知a、b是正整数，且满足2(15a15b)是整数，则这样的有序数对（a，b）

共有___ _ _对．

第二试 （A）

一、（本题满分20分）已知二次函数yx2bxc(c0)的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C．设△ABC的外接圆的圆心为点P． （1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点．

（2）如果AB恰好为⊙P的直径且S△ABC＝2，求b和c的值．

二、（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求I1I2．

三、（本题满分25分）已知a,b,c为正数，满足如下两个条件： abc32 bcabcFDI2I1ACB ①

abcab14Ecabca ②

证明：以a,b,c为三边长可构成一个直角三角形．

第二试 （B）

一、（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同．

二、（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点．PM、QN的中点分别为E、F．求证：EF∥AB．

A

FNQP C 三、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同．

HEMB

2009年全国初中数合竞赛试题参

第一试： ACCBDB； -3，2mn，-1，-7 第二试 （A）

一、解：（1）易求得点C的坐标为(0,c)，设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1x2b，

x1x2c．

设⊙P与y轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则ODOAOBOCx1x2ccc1．

因为c0，所以点C在y轴的负半轴上，从而点D在y轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为（0，1）．

（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点C的坐标为(0,1)，即c1．

又ABx1x2(x1x2)24x1x2(b)24cb24， 所以S△ABC

二、解：作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F． 在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，AB=又CD⊥AB，由射影定理可得AD=CD=ACAD2212ABOC12Bb4122，解得b23．

FDEI2I1CAC+BC5． A22AC2AB95，故BD=ABAD165，

125．

1352因为I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以I1E＝(ADCDAC)．

连接DI1、DI2，则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠I1DC＝∠I1DA＝∠I2DC＝∠I2DB＝45°，故∠I1DI2＝90°，

3所以I1D⊥I2D，DI1I1EsinADI1325sin455．

同理，可求得I2F45，DI24252． ． 所以I1I2＝DI12DI22bcabc22三、证法1 将①②两式相乘，得(即

(bc)abc(bc)abc(bc)abc222222cabcaabcab)(abc)8，

(ca)bca222(ab)cab28，

即

4(ca)bca224(ab)cab22220，

即即即即即

(ca)bca(ab)cab0，

(abc)(abc)ab(bca)(bca)bc(bca)abc(bca)abc(bca)abc(cab)(cab)ca0，

[a(bca)b(cab)c(abc)]0[2ababc]0，即

222，

2(bca)abc[c(ab)]02，

(cab)(cab)0，

所以bca0或cab0或cab0，即bac或cab或cba． 因此，以a,b,c为三边长可构成一个直角三角形．

证法2 结合①式，由②式可得变形，得10242(a2b2c2)322abcabc322bca322cab14，

14 ③

又由①式得(abc)21024，即a2b2c210242(abbcca)， 代

a入③

(式

a，

b得

1024a2b[1b10c2c4，a42即(abc)b1c6．b)  c

ca3(a16)(b16)(c16)abc16(abbcca)256(abc)16

409625632160，

3

所以a16或b16或c16．

结合①式可得bac或cab或cba． 因此，以a,b,c为三边长可构成一个直角三角形．

第二试 （B）

一、解答与（A）卷第一题相同．

二、解：因为BN是∠ABC的平分线，所以ABNCBN．

又因为CH⊥AB，

所以CQNBQH90ABN90CBNCNB， 因此CQNC．

又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以CFB90CHB，

因此C、F、H、B四点共圆． 又FBH=FBC，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上． 同理可证，点E在CH的中垂线上． 因此EF⊥CH．又AB⊥CH，所以EF∥AB． 三、解答与（A）卷第三题相同．