《电磁场与电磁波》(第四版 )第七章习题解答

7.1 求证在无界理想介质内沿任意方向en（en为单位矢量）传播的平面波可写成

EEmej(enrt)。

解 Em为常矢量。在直角坐标中

enexcoseycosezcosrexxeyyezz故

enr(excoseycosezcos)(exxeyyezz)xcosycoszcos则

EEmej(enrt)Emej[(xcosycoszcos)t]2Eex2Exey2Eyez2Ez而

Em(j)2ej[(xcosycoszcos)t](j)2E

2E22{Emej[(xcosycoszcos)t]}2E2tt

2EE2(j)2E2E(j)2E2E0t j(enrt)EEme2故

可见，已知的满足波动方程

故E表示沿en方向传播的平面波。

2EE20t

27.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。

解 表征沿+z方向传播的椭圆极化波的电场可表示为

E(exExeyjEy)ejzE1E2式中取

显然，E1和E2分别表示沿+z方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。 7.3 在自由空间中，已知电场H(z,t)。

1E1[ex(ExEy)eyj(ExEy)]ejz21E2[ex(ExEy)eyj(ExEy)]ejz2

E(z,t)ey103sin(tz)V/m，试求磁场强度

解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式

E(z,t)ey103cos(tz)V/m2

这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90。与之相伴的磁场为

H(z,t)10ezE(z,t)ezey103costz021103excostzex265sin(tz)A/m1202

1A/m37.4 均匀平面波的磁场强度H的振幅为，以相位常数30rad/m在空气中沿eze

方向传播。当t=0和z=0时，若H的取向为y，试写出E和H的表示式，并求出波的频率和波长。

解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式

Hey与之相伴的电场为

1cos(tz)A/m3

E0[H(ez)]120[eyex40cos(tz)V/m由rad/m得波长和频率f分别为

20.21m1cos(tz)(ez)]3

则磁场和电场分别为

3108fHz1.43109Hz0.212f21.43109rad/s9109rad/s

c1cos(9109t30z)A/m3Eex40cos(9109t30z)V/m Heyvp7.5 一个在空气中沿

ey

方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为

（1）求和在

πHez4106cos(10πty)A/m4

Hz0t3ms时，

的位置；（2）写出E的瞬时表示式。

解（1）

在t=3ms时，欲使Hz=0，则要求

00107π301πrad/mrad/m0.105rad/m831030

1073103若取n=0，解得y=9992.m。

y42n,n0,1,2,

考虑到波长

260m，故

y2999920.75229999222.5

因此，t=3ms时，Hz=0的位置为

y22.5n2m

（2）电场的瞬时表示式为

E(Hey)0ez4106cos(107ty)ey1204ex1.508103cos(107t0.105y)V/m4

7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m。当该电磁波进入某理想介质后，波长

变为0.09m。设r1，试求理想介质的相对介电常数r以及在该介质中的波速。

解 在自由空间，波的相速

vp0c3108m/s，故波的频率为

在理想介质中，波长0.09m，故波的相速为 而

3108fHz=1.5109Hz00.2

vp0vpf1.51090.091.35108m/svp故

22110r0cr c3108r4.94v1.35108p

7.7 海水的电导率4S/m，相对介电常数r。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、

10MHz、100MHz、1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。

解 先判定海水在各频率下的属性

8148.81082fr02f810f

17f10Hz可见，当时，满足，海水可视为良导体。此时

f0c(1j)f=10kHz时

f0 10103410740.1260.396Np/m2215.87m0.126c(1j)f=100kHz时

10103410740.099(1j)

100103410741.26Np/m225m1.26c(1j)f=1MHz时

100103410740.314(1j)

106410743.96Np/m221.587m3.96c(1j)f=10MHz时

106410740.99(1j)

101064107412.6Np/m220.5m12.6c(1j)10106410743.14(1j)

1当f=100MHz以上时，不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时，

2f2f0f=100MHz时

0r022)11(2fr02)11(2fr00r020(r0)1j(2fr0)

37.57Np/m42.1rad/m20.149mcf=1GHz时

4214.05ej41.81j8.9

69.12Np/m203.58rad/m20.03m04236.5ej20.81j0.

7.8 求证：电磁波在导电媒质内传播时场量的衰减约为55dB/λ。

证明 在一定频率范围内将该导电媒质视为良导体，此时 故场量的衰减因子为

f zeeze2即场量的振幅经过z =λ的距离后衰减到起始值的0.002。用分贝表示。

e20.002

E(z)20lgm20lge20lge2(2)20lge55dBEm(0)

7.9 在自由空间中，一列平面波的相位常数00.524rad/m，当该平面波进入到理想电介质后，其相位常数变为1.81rad/m。设

的传播速度。

解 自由空间的相位常数

r1，求理想电介质的r和波在电介质中

000，故

00.52431081.572108rad/s00

在理想电介质中，相位常数

0r01.81rad/s，故

r1.812200111.93

电介质中的波速则为

3108vpm/s0.87108m/s0r0r11.931c

7.10 在自由空间中，某均匀平面波的波长为12cm；当该平面波进入到某无损耗媒质时，波长变为8cm，且已知此时的|E|50V/m，|H|0.1A/m。求该均匀平面波的频率以及无损耗媒质的r、

r。

解 自由空间中，波的相速

vpc3108m/s，故波的频率为

在无损耗媒质中，波的相速为 故

3108f2.5109Hz2001210

c

vp0vpf2.510981022108m/s1r0r02108 （1）

无损耗媒质中的波阻抗为

r050|Ε|500|H|r00.1 （2）

联解式（1）和式（2），得

r1.99,r1.13

7.11 一个频率为f=3GHz，ey方向极化的均匀平面波在

r2.5，损耗正切

tan102的非磁性媒质中沿(ex)方向传播。求：（1）波的振幅衰减一半时，传播

的距离；（2）媒质的本征阻抗，波的波长和相速；（3）设在x=0处的

Eey50sin(6109t)V/m3，写出H(x,t)的表示式。

181022fr0231092.5110932.536解 （1）

故

而

32.51020.417102S/m18

该媒质在f=3GHz时可视为弱导电媒质，故衰减常数为

1021

00.4171020.497Np/m222.50ex由

12得 x1

ln2（2）对于弱导电媒质，本征阻抗为

1ln21.395m0.497

c而相位常数

1j202.501021j238.44(1j0.005)2

238.44ej0.286238.44ej0.00162f2.50023109故波长和相速分别为

2.531.6rad/m3108

220.063m31.6（3）在x=0处，

23109vp1.108m/s31.6

E(0,t)ey50sin(6109t)V/m3

E(x,t)ey50e0.497xsin(6109t31.6x)V/m3

故

则

H(x)1|c|exΕ(x)ejjj10.497xj31.6xexey50eee3e2ej0.0016238.44ez0.21e故

0.497xj31.6xee3ejj0.0016ej2A/m

H(x,t)Re[H(x)ejt]ez0.21e0.497xsin(6109t31.6x7.12 有一线极化的均匀平面波在海水(其磁场强度在y=0处为

0.0016)A/m3

r80,r1,4S/m)中沿+y方向传播，

（1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H的振幅为0.01A/m时的位置；（3）写出E(y,t)和H(y,t)的表示式。

Hex0.1sin(1010t/3)A/m443610100.18910801080100解 （1）

10可见，在角频率10时，海水为一般有损耗媒质，故

21()128000[10.1821]83.9Np/m2101021()128000[10.1821]300rad/m21010c1j08001j0.1842.15j0.02841.82ej0.0281.008e

1010vp0.333108m/s300226.67103m30011c11.92103m83.9

yy0.1得 （2）由0.010.1e即e11yln102.303m27.4103m83.9

H(y,t)ex0.1e83.9ysin(1010t300y)A/m3（3）

其复数形式为

H(y)ex0.1e故电场的复数表示式为

83.9yj300yeej3A/m

83.9yE(y)cH(y)ey41.82eez4.182e则

83.9yj0.0280.1eej(300y)32exey

ej(300y0.028)32 V/mE(y,t)Re[E(y)ejt]

7.13 在自由空间（z<0）内沿+z方向传播的均匀平面波，垂直入射到z=0处的导体平面上。导体的电导率61.7MS/m，1V/m；在分界面(z=0)处，E由下式给出

ez4.182e83.9ysin(1010t300y30.028)V/mr1。自由空间E波的频率f=1.5MHz，振幅为

E(0,t)eysin2ft

对于z>0的区域，求H2(z,t)。

61.71069704.410621.5100解

可见，在f=1.5MHz的频率该导体可视为良导体。故

f(1.5106)410761.71061.91104Np/mf1.91104rad/mj4521.51064107j45cee61.71064.38104ej45(3.1j3.1)104分界面上的透射系数为

入射波电场的复数表示式可写为

2c2224.38104ej452.32106ej45421c0(3.1j3.1)10377

E1(z)eyej0zej2V/mj则z>0区域的透射波电场的复数形式为

2

E2(z)eyezjzeeey2.3210e与之相伴的磁场为

6j45e1.91104zj1.91104zeej2V/m

H2(z)1cezE2(z)1ezey2.3210e1.91104z61.91104z4.3810e4j45ej(1.91104z45)2ex0.5110e则

2ej(1.91104z)2A/m

H2(z,t)Re[H2(z)ejt]ex0.51102e1.9110zsin(21.5106t1.91104z)A/m

7.14 一圆极化波垂直入射到一介质板上，入射波电场为

求反射波与透射波的电场，它们的极化情况又如何？

解 设媒质1为空气，其本征阻抗为0；介质板的本征阻抗为2。故分界面上的反射系数和透射系数分别为

4EEm(exeyj)ejz式中

20202220 2反射波的电场为

都是实数，故,也是实数。

002,02r200

可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为-z方向，故反射波也变为右旋圆极化波。而入射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。

透射波的电场为

EEm(exeyj)ejzE2Em(exeyj)ej2z2式中，2的左旋圆极化波。

20r20是媒质2中的相位常数。可见，透射波是沿+z方向传播

j0E100eV/m，从空气中垂直入射到无损耗的介质m7.15 均匀平面波的电场振幅

平面上（介质的

解

20,240,20）

，求反射波和透射波的电场振幅。

110120π10

2反射系数为

0260π240

透射系数为

2160120121601203

故反射波的电场振幅为

22260221601203

Em||Em透射波的电场振幅为

Em2Em10033.3V/m3 210066.6V/m3

7.16 最简单的天线罩是单层介质板。若已知介质板的介电常数2.80，问介质板的

厚度应为多少方可使频率为3GHz的电磁波垂直入射到介质板面时没有反射。当频率分别为3.1GHz及2.9GHz时，反射增大多少？

① ② x 1 入射波 反射波 2 入射波 反射波 3 透射波 z d 题7.16图

解 天线罩示意图如题7.16图所示。介质板的本征阻抗为2，其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为1和3。设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板，此问题就成了均匀平面波对多层媒质的垂直入射问题。

设媒质1中的入射波电场只有x分量，则在题7.16图所示坐标下，入射波电场可表示为

H而媒质1中的反射波电场为

111ezEey1Em11ej1(zd)

j1(zd)E1exEm1e与之相伴的磁场为

Em1H111(exE)ey11ej1(zd)

故媒质1中的总电场和总磁场分别为

j1(zd)j1(zd)E1E1E1exEmeeEe1xm1EEH1H1H1eym1ej1(zd)eym1ej1(zd)11 （1）

同样，可写出媒质2中的总电场和总磁场

j2zj2E2E2E2exEmexEm2e1eEEH2H2H2eym2ej2zeym2ej2z22 （2）

媒质3中只有透射波

j3zE3exEm3eEmH3ey3ej3z3 （3）

EEEEEm1m2m2m2m在式（1）、（2）、（3）中，通常已知入射波电场振幅，而、、和3为待求

量。利用两个分界面①和②上的四个边界条件方程即可确定它们。

在分界面②处，即z=0处，应有

E2xE3x,H2yH3y。由式（2）和（3）得

11(Em2Em)E223m3 （4）

由式（4）可得出分界面②上的反射系数

Em2232Em232 （5）

E1xE2xH1yH2yEm2Em2Em3在分界面①处，即z=-d处，应有，。由式（1）和（2）得

j2dj2dj2dEmEmEm2ej2d)1Em1Em2e2e2(e11(EE)m1m112(Eem2j2dEej2dm2)Em22(ej2d2ej2d) （6）

将分界面①上的总电场与总磁场之比定义为等效波阻抗（或称总场波阻抗），由式（1）得

Em1Em1ef11EEm1m1(Em1Em1)Em1Em11 （7）

将式（6）代入式（7）得

ej2d2ej2def2j2de2ej2d （8）

将式（5）代入式（8），并应用欧拉公式，得

ef23j2tan2d2j3tan2d （9）

再由式（7）得分界面①上的反射系数

Em11ef1Em1ef1 （10）

显然，若分界面①上的等效波阻抗无反射。

ef等于媒质1的本征阻抗1，则10，即分界面①上

通常天线罩的内、外都是空气，即130，由式（9）得

02欲使上式成立，必须

2dn,n1,2,3dn0j2tan2d2j0tan2d

。故

2n22

频率f0=3GHz时

则

310800.1m3109 d022.8当频率偏移到f1=3.1GHz时，

0.1m30mm21.67

22223.11092.800108.6rad/m故

tan2dtan(108.630103)0.117而

2故此时的等效波阻抗为

02225.322.80

ef225.3反射系数为

377j225.30.117370.87ej7.08368j45.7225.3j3770.117

ef1368j45.737710.06ej(18082.37)ef1368j45.7377即频率偏移到3.1GHz时，反射将增大6%。

同样的方法可计算出频率下偏到2时，反射将增加约5%。 [讨论]

（1）上述分析方法可推广到n层媒质的情况，通常是把坐标原点O选在最右侧的分界面上较为方便。

（2）应用前面导出的等效波阻抗公式（9），可以得出一种很有用的特殊情况（注意：此时

f2.9GHz13）

。

d24，则有

tan2dtan(2取

242)

由式（9）得

22ef3

若取

213，则

ef1此时，分界面①上的反射系数为

ef110ef1

即电磁波从媒质1入射到分界面①时，不产生反射。可见，厚度本征阻抗

d24的介质板，当其

213时，有消除反射的作用。

7.17 题7.17图所示隐身飞机的原理示意图。在表示机身的理想导体表面覆盖一层厚度的理想介质膜，又在介质膜上涂一层

厚度为d2的良导体材料。试确定消除电磁波从良导体表面上反射的条件。

解 题7.17图中，区域（1）为空气，其波阻抗为

d334x ⑴ ① ② ⑵ ③ ⑶ ⑷ 1 区域（2）为良导体，其波阻抗为

d1 d2 题7.17图 0110O z 区域（3）为理想介质，其波阻抗为

2j452e2

32 ()区域（4）为理想导体4，其波阻抗为

3

利用题7.16导出的公式（9），分界面②上的等效波阻抗为

4j454e04ef②23)4j3tan3d334323323j4tan3d33j4tan(3)4344j3tan(应用相同的方法可导出分界面③上的等效波阻抗计算公式可得

ef③2ef②2tanh2d22ef②tanh2d2 （1）

式中的2是良导体中波的传播常数，tanh2d2为双曲正切函数。将得

ef②代入式（1），

ef③2tanh2d2 （2）

tanh2d22d22d21，故可取

，则式（2）变为

由于良导体涂层很薄，满足

ef③22d2 （3）

分界面③上的反射系数为

3ef③1ef③1

可见，欲使区域（1）中无反射，必须使

ef③10故由式（3）得

22d20 （4）

将良导体中的传播常数

222ej452和波阻抗

2j45e代入式（4），得

这样，只要取理想介质层的厚度，而良导体涂层的厚度，

就可消除分界面③上的反射波。即雷达发射的电磁波从空气中投射到分界面③时，不会产生回波，从而实现飞机隐身的目的。此结果可作如下的物理解释：由于电磁波在理想导体表面

12.65103d22023772

d3341d22.651032（即分界面①上产生全反射，则在离该表面3处（即分界面②出现电场的波腹点。而该处放置了厚度为d2的良导体涂层，从而使电磁波大大损耗，故反射波就趋于零了。 7.18 均匀平面波从自由空间垂直入射到某介质平面时，在自由空间形成驻波。设驻波比为2.7，且介质平面上有驻波最小点；求介质的介电常数。

解 自由空间的总电场为

j1j1zj1zj1zE1E1E1exEmeeEeeE(ee)1xm1xm14式中

Em1Em1

是分界面上的反射系数。

驻波比的定义为

EmaxEm1||1Em1SEminEm1Em1|| 1得

据此求得

1||2.71|| ||1.70.4593.7

因介质平面上是驻波最小点，故应取

反射系数

0.459 200.45920

得 则

20.371377139.79

20139.792.310127.260

7.19 如题7.19图所示，z>0区域的媒质介电常数为2，在此媒质前置有厚度为d、介电常数为1的介质板。对于一个从左面垂直入射过来的TEM波，试证明当

r1r2且

d14r1时，没有反射（为自由空间的波长）。

x 0 1 2 O1 O z d 题7.19图 解 媒质1中的波阻抗为 110101r10r1 媒质2中的波阻抗为

2021102r20r2 当

r1r2时，由式（1）和（2）得

22100020r1r2 而分界面O1处（即zd处）的等效波阻抗为

2j1tan1def11j2tan1d

d1当

4d1r1、即4时

21ef2 分界面O1处的反射系数为

ef0ef0 将式（3）和（4）代入式（5），则得

0

r11r2且dd1即

4r1时，分界面O1上无反射。

4的介质层称为匹配层。7.20 垂直放置在球坐标原点的某电流元所产生的远区场为

Ee100rsincos(tr)V/mEe0.265rsincos(tr)A/m试求穿过r=1 000m的半球壳的平均功率。

1）2）3）4）5） （

（

（

（

（

解 将电场、磁场写成复数形式

平均坡印廷矢量为

100sinejrr0.265Hresinejrr EreSav故穿过r=1000m的半球壳的平均功率为

1Re[E(r)H*(r)]211000.265Re[esinejresinejr]2rr11000.2652sin222ersinW/me13.25W/mr2r2r2

Pav

式中dS为球坐标的面积元矢量，对积分有贡献是

12SSavdSdSerdSrerr2sindd故

12sin22Paver13.252errsindd13.25sin3d0200r1413.25(coscos3)13.2555.5W330x7.21 在自由空间中，

和15mm长方形面积的总功率。

解 将已知的电场写成复数形式



Ee150sin(tz)V/m。试求z0平面内的边长为30mm

得与E(z)相伴的磁场

E(z)ex150ej(z90)

H(z)1ezE(z)ey150j(z90)e377

0故平均坡印廷矢量为

Sav1Re[E(x)H*(z)]21150j(z90)Re[ex150ej(z90)eye]ez29.84W/m22377

2则穿过z=0平面上S3015mm的长方形面积的总功率为

PavSavezS29.843010315103W13.43103W7.22 均匀平面波的电场强度为

（1）运用麦克斯韦方程求出H：（2）若该波在z=0处迁到一理想导体平面，求出z<0区域内的E和H；（3）求理想导体上的电流密度。

解 （1）将已知的电场写成复数形式

Eex100sin(tz)ey200cos(tz)V/mE(z)ex100ej(z90)ey200ejz

由

Ej0H得

ex11H(z)E(z)j0j0xExeyyEyezz0写成瞬时值表示式

j0z1[ex200(j)ejzey100(j)ej(z90)]j0

[ex200ejzey100ej(z90)]0 1[ex200ejzey100ej(z90)]A/m0

1(exEy

eyEx)z

H(z,t)Re[H(z)ejt]1[ex200cos(tz)ey100cos(tz90)]01x

（2）均匀平面波垂直入射到理想导体平面上会产生全反射，反射波的电场为

0[ex200cos(tz)ey100sin(tz)]A/mj(z90)E100e即z0区域内的反射波电场为 与之相伴的反射波磁场为

Ey200ejz

EexExeyEyex100ej(z90)ey200ejz

H10(ezE)10(ex200ejzey100ej(z90))

至此，即可求出z0区域内的总电场E和总磁场H。

ExExEx100ej(z90)100ej(z90)100ej90(ejzejz)j200sinzej90故

0EyEyEy200ejz200ejzj400sinz

EexExeyEyexj200sinzej90eyj400sinz同样

HxHxHx10200ejz10200ejz10400cosz

HyHyHy[100ej(z90)100ej(z90)]10

故

10200ej90cosz1HexHxeyHy0(ex400coszey200ej90cosz)

（3）理想导体平面上的电流密度为

JsnHz0ez(ex400coszey200ej90cosz)10z0

ex0.53ej90ey1.06A/m

7.23 在自由空间中，一均匀平面波垂直投射到半无限大无损耗介质平面上。已知在平

1面前的自由空间中，合成波的驻波比为3，无损耗介质内透射波的波长是自由空间波长的6。试求介质的相对磁导率r和相对介电常数r。

解 在自由空间，入射波与反射波合成为驻波，驻波比为

EmaxEm1||1Em1S3EminEm1Em11||

由此求出反射系数

||12

设在介质平面上得到驻波最小点，故取

12。而反射系数为

式中的10120，则得

2121

求得

120220

20即得

13r01r030

r1r9 （1）

又

得

联解式（1）和（2）得

2rr00rr6

rr36 （2）

r2,r18

7.24 均匀平面波的电场强度为

Eex10ej6z，该波从空气垂直入射到有损耗媒质

(r2.5,损耗角正切tan20.5)2的分界面上（z=0），如题7.24图所示。（1）求

反射波和透射波的电场和磁场的瞬时表示式；（2）求空气中及有损耗媒质中的时间平均坡印

廷矢量。

x 1：空气 入射波 反射波 2：损耗媒质 透射波 O 题7.24图 z 解（1）根据已知条件求得如下参数。 在空气中（媒质1）

16rad/m1c631081.8109rad/s1在有损耗媒质中

01377Ω10

tan

2

0.52

222221()1222.500[10.521]2.31Np/m221.8109222221()1222.500[10.521]9.77rad/m21j

1.81092

220222.501j0.5

255ej13.3218.96j51.76

分界面上的反射系数为

21218.96j51.763770.278ej156.921218.96j51.76377

透射系数为

222225ej113.30.752ej8.3421218.96j51.76377

故反射波的电场和磁场的复数表示式为

Eex10ej6zex2.78ej156.9ej6zH10(ezE)1(ezex2.78ej156.9ej6z)377ey7.37103ej156.9ej6z则其瞬时表示式为

E(z,t)Re[Eejt]ex2.78cos(1.8109t6z156.9)V/mH(z,t)Re[Hejt]ey7.37103cos(1.8109t6z156.9)A/m而媒质2中的透射波电场和磁场为

E2ex10e2zej2zex7.52e2.31zej9.77zej8.34H212ezE21225ej13.3ezex7.52e2.31zj9.77zeej8.34ey0.035e2.31zej9.77zej8.34ej13.3故其瞬时表示式为

E2(z,t)Re[E2ejt]ex7.52e2.31zcos(1.8109t9.77z8.34)V/mH2(z,t)Re[H2ejt]ey0.035e2.31zcos(1.8109t9.77z4.96)A/m（2）

Sav1SavSav11Re[EH*]Re[EH*]22

Sav2110212.782ezezez0.122W/m2237723771*Re[E2H2]21Re[ex7.52e2.31zej9.77zej8.34ey0.035e2.31zej9.77zej4.96]21Re[ez0.263e4.62zej13.3]ez0.122e4.62zW/m22

7.25 一右旋圆极化波垂直入射到位于z=0的理想导体板上，其电场强度的复数表示式为

（1）确定反射波的极化方式；（2）求导体板上的感应电流；（3）以余弦为基准，写出总电场强度的瞬时值表示式。

解 （1）设反射波的电场强度为

EiE0(exeyj)ejzEr(exErxeyEry)ejz据理想导体的边界条件，在z=0时应有

(EiEr)z00故得 则

ErxE0,EryjE0

z可见，反射波是一个沿方向传播的左旋圆极化波。

（2）入射波的磁场为

ErE0(e0eyj)ejzHi反射波的磁场为

10E0ezEi10ezE0(exeyj)ejz01(exjey)ejz

Hr故合成波的磁场为

0E0(ezEr)10(ez)E0(exeyj)ejz0(exjey)ejz

HHiHr则导体板上的感应电流为

E00(exjey)ejzE00(exjey)ejz

JsnHz0ez(HiHr)z02E00(exeyj)

（3）合成电场的复数表示式为

E EiErE0(exeyj)ejzE0(exeyj)ejzexE0(ejzejz)eyjE0(ejzejz)2E0sinz(exjey)故其瞬时表示式为

E(z,t)Re[Eejt]2Esinz(exsinteycost)7.26 如题7.26图所示，有一正弦均匀平面波由空气斜入射到z=0的理想导体平面上，

其电场强度的复数表示式为

（1）求波的频率和波长；（2）以余弦函数为基准，写出入射波电场和磁场的瞬时表示式；（3）确定入射角；（4）求反射波电场和磁场的复数表示式；（5）求合成波电场和磁场的复数表示式。

Ei(x,z)ey10ej(6x8z)V/mx kr Er n Hr 理想导体 r i Ei Hi 题7.26图 ki O z 解 （1）由已知条件知入射波的波矢量为

kiex6ez8exkixezkizki628210故波长为

频率为

2c20.628mki

（2）入射波传播方向的单位矢量为

3108f4.78108Hz0.6282f3109rad/s

enikiex6ez8ex0.6ez0.8ki10

入射波的磁场复数表示式为

Hi(x,z)则得其瞬时表示式

10eniEix,z10(ex8ez6)ey10ej(6x8z)1(ex8ez6)ej(6x8z)120

Hi(x,z,t)Re[Hi(x,z)ejt]91Re[(ex8ez6)ej(6x8z)ej310t]1201(ex8ez6)cos(3109t6x8z)A/m120

而电场的瞬时表示式为

Ei(x,z,t)Re[Ei(x,z)ejt]Re[ey10ej(6x8z)ejt]ey10cos(3109t6x8z)V/m（3）由

kizkicosi

，得

cosi（4）据斯耐尔反射定律知

kiz8ki10 故 i36.9 ri36.9，反射波的波矢量为

krex6ez8enrkrex6ez8ex0.6ez0.8kr10

1

而垂直极化波对理想导体平面斜入射时，反射系数。故反射波的电场为

Er(x,z)ey10ej(6x8z)V/m与之相伴的磁场为

Hr(x,z)10enrEr(x,z)（5）合成波的电场为

1(ex0.6ez0.8)(ey10ej(6x8z))1201(ex8ez6)ej(6x8z)A/m120

E(x,z)Ei(x,z)Er(x,z)ey10ej(6x8z)ey10ej(6x8z)ey10ej6x(ej8zej8z)eyj20ej6xsin8zV/m合成波的磁场为

H(x,z)Hi(x,z)Hr(x,z)11(ex8ez6)ej(6x8z)(ex8ez6)ej(6x8z)1201201(ex16cos8zeyj12sin8z)ej6xA/m120 r7.27 一个线极化平面波从自由空间入射到r的电介质分界面上，如果入射

波的电场矢量与入射面的夹角为45°。试求：（1）入射角为何值时，反射波只有垂直极化波；（2）此时反射波的平均功率流是入射波的百分之几？

解 （1）由已知条件知入射波中包括垂直极化分量和平行极化分量，且两分量的大小

4,1相等i0。当入射角i等于布儒斯特角B时，平行极化波将无反射，反射波中就只有垂直极化分量。

E2（2）

2iBarctan1arctan263.43i63.4340arctan0

时，垂直极化分量的反射系数为

2sin2i1cosi2sin2i1cosi00.0cos63.43sin263.4302cos63.4340sin263.43故反射波的平均功率流为

Srav而入射波的平均功率流为

Ei20121Ei0Er020.18212121

Siav12Ei021

可见，

Srav18%Siav

7.28 垂直极化波从水下的波源以入射角i20投射到水与空气的分界面上。水的r81,r1，试求：（1）临界角c；（2）反射系数；（3）透射系数；（4）波在空气

中传播一个波长距离时的衰减量。

解 （1）临界角为

02carcsinarcsin8101（2）反射系数为

6.38

0sin2208100cos20sin220810cos20（3）透射系数为

0.940.0120.1170.94j0.32ej38.040.940.0120.1170.94j0.32

2cos20cos200sin220810（4）由于

20.94j19.021.e0.940.0120.117

ic，故此时将产生全反射。由斯耐尔折射定律得

sint1sini81sin203.082

此时

式中取“j2.91”，是考虑到避免z时，场的振幅出现无穷大的情况。这是因为空气中的透射波电场的空间变化因子为

cost1sin2t13.082j2.91ejk2entrejk2(xsintzcost)ej3.08k2xejk2(j2.19)zej3.08k2xek2(2.91z)由上式即得透射波传播一个波长时的衰减量为

20lge

k2(2.912)20lge22(2.912)158.8dB