２０１０年第１０期 福建中学数学 线 的方向向量为（１，一 Ａ），２５ 设ＰＱ ＪＩ ，从而有 （ｘ－Ｘｏ）一昙（ —ｙｏ）＝。，又联立直线 、 的方程得 ｆＡｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（１） Ｉ ＋ ＋Ｃ＝ｍ（２） 分析求点到线的距离也就是就这点到直线的 垂直线段的长，而直线外一点与直线上的点所引的 线段中，垂直线段最短，基于这个事实可用函数思 想可解．不妨设过Ｐ（ｘｏ，Ｙｏ）且平行于直线工的直线 Ｍ：Ａｘ＋ ＋Ｃ＝ｍ，在直线 上任取一点Ｑ（ ， ）， ＰＱ＝ｑ（ｘ—Ｘｏ） ＋（ —Ｙｏ） ， （１）一（２）得：Ａ（ｘ— 。）＋Ｂ（ｙ—Ｙｏ）＝－ｍ， 联立直 的方程得仨 （１）一（２）得：Ａ（ｘ～Ｘｏ）＋Ｂ（ｙ—Ｙ。）＝－ｍ， ， 设ｘ—ｘｏ＝Ｐ，Ｙ—Ｙ０＝ｑ， 联立上面两个式子得：１Ｊｐ和＋一 ｇ ＝＝。一 ｍ’ ——不妨假定Ｂ≠０，上式变形得： ｍ Ａｍ ｙ－Ｙｏ一－ｄ（卜ｘｏ）一 ’ 解之得： ｐ 丽 ’ 代入ＪＰＱ＝√（ —ｘｏ） ＋（ —Ｙｏ） ，得 Ｂｍｇ ＰＱ＝Ｊ（１＋ （卜 ＋ （卜 ＋等， 易知被开方数可看作关于ｘ—Ｘｏ的二次函数，由 二次函数的性质可得ＰＱ的最小值是： Ｐ ． ＝ ￣ＩＰＱＩ＝ ＝厮＝、『 －Ａｍ ２ －Ｂ ｍ ２ Ｊ ＋ 。＋ｃＩ ４Ａ ＋Ｂ ＇ ：—— ＝＝ ＝＝＝ ＝＝＝＝＝ ４Ａ ＋Ｂ ｒ——————————一４Ａ ４－Ｂ 一■ Ｉ ＋ 。＋ｃｌ ’ 易验证Ｂ＝Ｏ满足上式． 如果学了平面向量知识，就不妨用下面的方法 解决． 易验证Ｂ＝０满足上式． 在教学中，启迪学生解题后如此反思，对重要 数学方法、公式、定理仿上依法炮制，长此下去， 平面向量知识的运用不妨假定Ｂ≠０，不妨设 肯定对新学知识的内在联系脉络清楚，运用规律了 如指掌，解起题来得心应手，解题能力也将大有提 高． 过Ｐ（ｘｏ，Ｙｏ１且平行于直线￡的直线Ｍ： Ａｘ＋ ＋Ｃ＝ｍ，在直线 上任取一点Ｏ（ｘ，Ｙ），直 学会探究——一道课本习题的思考 金江华 浙江省绍兴市高级中学（３１２０００） 的过程中发展． 本文以全日制普通高级中学教科书（必修）数 学第二册（上）第１１９页习题第７题：“过抛物线 Ｙ ＝２ｐｘ的焦点的一条直线和此抛物线相交；两个交 问题是数学的“心脏”，随着课标课程理念的深 入，对于数学问题，应让学生“学会探究”，在探究过 程中，寻求知识的联系、方法的整合、规律的发现， 领悟数学解题“八方联系，浑然一体；漫江碧透，鱼 翔浅底”的意境，真正使学生的数学思维在问题探究 点Ａ，Ｂ的坐标分别为（＿， ），（ ， ），求证： ２６ 福建中学数学 ２０１０年第１０期 Ｙ Ｙ２＝一Ｐ ．”为例，对如何学会探究作一个讨论． 过不断的拓展、联系，使知识浑然一体，从而形成 １．改进方法，探究解题过程的优化 学生的解答如同教学参考书上的解答：“设过焦 优良的认知结构． 下面为对本题的探究过程，限于篇幅，仅对部 分问题进行证明． 探究１原题的条件不变，可得结论： 点的直线为Ｙ＝七 一等）（庀≠０），即 ＝÷ ＋ ，将上 式代入Ｙ ＝２ ，得Ｙ ＝２ｐ（＿Ｙ十 Ｐ），去分母整理得 一２ｐｘ—ｋｐ ＝０，设这个方程的两根为Ｙ。，Ｙ ，则 有 ：：二笙：一 。．” 这一解答看似无误，但细究存在问题． 首先，笔者问学生：你们有没有发现上面的解 答存在漏洞？ 后来，学生发现问题有二：（１）ｋ≠０没有证明 （其证明可用反证法，假设ｋ＝０直线为Ｙ＝０，与抛 物线仅有一个交点，与已知矛盾）；（２）是忽略了斜 率不存在情况的证明（事实上，当斜率不存在时， 直线方程是 ＝ ，代入抛物线方程有Ｙ ＝Ｐ ，故 ＹｌＹ２＝一Ｐ。）． 其次，笔者问学生：你能否改进方法，使解题 过程优化？ 经探究，学生发现问题出在设了斜率ｋ，只要直 接设直线方程为 ＝ｍｙ＋ ，其中ｍ＝ｃｏｔｏ￣（ 为直 线的倾斜角），就可以避免分类讨论．过程如下： ・。．过焦点的直线与抛物线交于不同的两点， ・．．直线的倾斜角 ≠０，于是，设直线方程为 ＝ ＋ （其中ｍ：ｃｏｔａ），代入Ｙ ＝２ｐｘ，整理 得Ｙ 一２ｐｍｙ—Ｐ ＝０…① 设这个方程的两根为Ｙ ，Ｙ ，则有Ｙ Ｙ：＝一Ｐ ． 每次解题完成后，让学生探究：解题过程是否 正确？解题过程是否浪费了重要的信息，能否开辟 新的解题通道？解题过程多走了哪些思维回路，思 维、运算能否变得简捷？是否拘泥于思维定势，照 搬了熟悉的解法？通过这样不断地探究，使解题过 程更合理、更科学、更简捷． ２．探究八方联系，使知识浑然一体 解题之后，要引导学生不断地探究问题的知识 结构和系统性．即能否对问题蕴含的知识进行纵向 深入地探究？能否加强知识的横向联系？把问题所 蕴含的孤立的知识“点”，拓展为系统的知识“面”．通 （１）Ｘ１Ｘ２＝ Ａ； （２）以ＡＢ为直径的圆与准线 ＝一 相切； （３）设 、Ｂ在准线上的射影是Ａ 、Ｂ ，则 ＺＡ ＦＢ ＝９０。；（课本第１３３页复习参考题八Ｂ组第２ 题） （４）设直线ＯＡ与准线 ＝一 相交于点Ｍ，则 ＢＭ／／ｘ轴；（课本第１２３页习题８．６第６题） （５）ＺＡＯＢ为钝角； （６）ＩＡＢ『： （ 为直线的倾斜角）； 南＋南 ２・ 证明（６）ｌＡＢ『＝，／１＋ ＩＹ。一Ｙ２Ｉ ＝，／１＋ ・√（ １＋Ｙ２） 一４ｙ】Ｙ２， 由方程①知Ｙｌ＋Ｙ２＝２ｐｍ，ＹｌＹ２＝－ｐ ， ’．＿ＩＡＢｆ＝！／ｉ＋ｍ ・√４ ＋４ｐ。 ＝２ｐ（１＋ｍ２）：２ｐ（１＋ｃｏｔ 口）：＿兰 ； 高＋南 壶＋壶 Ｘ１＋ ２＋Ｐ 一＋ ＋ ４ 将 ｚ ４代入，化简得到 ｌ一十南 ２・ 对本题进行一般化，有 探究２设 ，０）Ｃａ＞０）是抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０） 两点，其坐标分别为（ ， ）、（ ， ），求证： （１）ＹｌＹ２＝一２ｐａ； （２）Ｘ１Ｘ２＝ ； 、 （３）若ＯＡ上 ，则ａ＝２ｐ． 证明因为ＡＢ与抛物线交于两点，因此可设ＡＢ 对称轴上的一个定点，过 的直线交抛物线于Ａ、Ｂ ２０１０年第ｌ０期 福建中学数学 ２７ 的方程为ｘ＝ｍｙ＋ａ代入Ｙ ＝２ｐｘ中消去 得： Ｙ 一２ｐｒａｙ一２ｐａ＝０， （１）由韦达定理知ＹｌＹ２＝一２ｐａ（定值）； （２） ＝ － ＝“ （定值）； （３）若ＯＡ上ＯＢ，则 ＋ ＝０， 即ａ 一２ｐａ＝０，’．‘ａ＞０，解得ａ：２ｐ． 若进行逆向探究，又有 探究３已知抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）与一条直线 交于Ａ（ｘｌ，Ｙ．），Ｂ（ ２，Ｙ２）两点且ＹｌＹ：＝－ｐ ，求证直 线ＡＢ经过抛物线的焦点Ｆ． 进一步推广，有 探究４设抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）上面动点Ａ、Ｂ 的坐标分别为（Ｘｌ， ），（ ，Ｙ２），且满足 ：：ｋ（ｋ 为常数），则ＡＢ恒过定点Ｉ一－ ｐ ，０ ／ Ｉ． 证明设直线ＡＢ的方程是 ＝ｍｙ＋ ，代入抛物 线方程Ｙ。＝２ｐｘ得Ｙ 一２ｐｒａｙ一２ｐｎ：０， 由韦达定理，得Ｙ，Ｙ ＝一２ｐｎ，另一方面ＹｌＹ ＝ｋ， 所以－２ｐｎ＝ｋ，即胛＝一 ，所以直线ＡＢ恒过定点 ，。］． 探究５设抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）与过定点 ｆ２ｐ，０）的直线交于Ａ、Ｂ两点，则ＯＡ上ＯＢ． 探究６ （２００１年高考全国卷）设抛物线 Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为Ｆ，经过点Ｆ的直线交抛物 线于Ａ、Ｂ两点，点Ｃ在抛物线的准线上，且ＢＣ／／Ｘ 轴，证明：直线ＡＣ经过原点Ｄ． ３．探究知识应用，获得更多成果 数学家解决问题时，一个最大的特点就是尽量 追求问题的普遍化，尽可能将问题推广到更一般的 情况，最大的愿望是通过问题的解决能够得到更多 的收获．探究知识的应用，是要让学生明白，问题 与问题之间不是孤立的，许多表面上看似无关的问 题却有着内在的联系，解题不能就题论题，要寻找 问题与问题之间的本质联系，从而获得更多的收获． 例１斜率为１的直线经过抛物线Ｙ ＝４ｘ的焦 点，与抛物线相交于两点Ａ、Ｂ，求线段ＡＢ的长．（课 本第１１８页例３） 这是探究１第６个结论的特例，容易得 ＩＡＢＩ＝ ． 例２直线Ｙ： 一２与抛物线Ｙ ＝２ｘ相交于点 Ａ、Ｂ，求证ＯＡ上ＯＢ．（课本第１３０页例２） 这是探究５的特例，因为直线Ｙ＝Ｘ一２经过点 （２，０），即定点（２ｐ，０），．・．ＯＡ上ＯＢ． 例３（２０００年春季高考北 京卷）如图，设点 和 为抛 ？ 物线 。＝４ｐｘ（ｐ＞０）上原点 。 以外的两个动点，已知 上ＯＢ，ＯＭ上ＡＢ．求点Ｍ ０ Ｍ ｘ 的轨迹方程，并说明它表示什 么曲线． 分析由探究２结论３知，直线ＡＢ经过定点 Ｃ（４ｐ，０），故 点的轨迹是以ＯＣ为直径的圆除去 原点，方程是（Ｘ一２ｐ） ＋Ｙ ＝４ｐ 且Ｘ≠０． 例４（２００５年高考广东卷） ｙ ｌ 在平面直角坐标系 中，抛物 线Ｙ＝Ｘ 上异于坐标原点Ｄ的两 个不同动点Ａ、Ｂ满足ＡＯ上ＢＯ （如图所示）． ｛ （Ｉ）求ｚＸ．ｄＯＢ的重心Ｇ（即 三角形三条中线的交点）的轨迹方程； （Ⅱ）ＡＡＯＢ的面积是否存在最小值？若存在，请 求出最小值；若不存在，请说明理由． 分析 （Ｉ）设ＡＡＯＢ的重心为Ｍ（ｘ，Ｙ）， Ａ（ｘＩ，Ｙ１），Ｂ（ｘ２，Ｙ２），则 ：苎±兰 ｊ ’ｌ，由探究２可 １Ｊ Ｊ／卜 Ｕ 。＿Ｊ ｖ＝ ！± ３ 知，直线ＡＢ经过疋点ｃ（ｏ，１ Ｊ，且ＸｌＸ２＝一１， ‘ ．丁Ｙｌ＋Ｙ２＝ （ ＋ ；） ＝ ［（ ＋ ：）。一２ ］ ＝ ｃ９ ２＋２ ＝３ｘ２＋ ， ・．． 的重心Ｇ的轨迹方程是ｙ＝３Ｘ２＋ ． （Ⅱ）． ∞＝￣１ｏｃｌｌ￣一 ｌ ： ２８ 福建中学数学 ２０１０年第１０期 ＝÷√（ ｌ＋Ｘ２） ＋４≥１， 注重对问题的观察分析、联想类比，归纳猜想、引 伸推广，使解题后的反思成为自觉行动，达到举一 反三、由题及类、解一题通一片的目的．着实让学 等号成立当且仅当Ｘ１＝一Ｘ ＝一１． 所以ＡＡＯＢ的面积存在最小值，且最小值是１． 生体会解题带来的乐趣，享受探究带来的成就感． 参考文献 ［１］罗增儒．数学解题学引论．西安：陕西师范大学出版社，２００４ 总之，在解题教学中，着实要引导学生理解和掌握 解数学问题一般有用的东西，掌握那种具有普遍意 义和迁移价值的、能反映数学本质的“策略性”知识， 正圆锥面被平面所截得的曲线方程的探究 李文明 福建省福州华侨中学（３５０００４） 这是一道立意新颖的立体几何与解析几何的综 合题，文［１］给出了直接法求轨迹方程，过程如下： 设斜线ＡＢ与平面 所成的角为０，直线ＰＡ与ＡＢ及 １．问题的提出 “圆锥曲线”是中学数学解析几何的核心内容是 毋庸置疑的．湘教板 普通高中课程标准实验教课 书 选修１．１第二章圆锥曲线与方程章题图和引言 中，给出了“圆锥曲线”名称的由来，使用过程中，学 ＡＢ在平面 内的射影 所成的角分别是 ， ，则 ｃｏｓｆｌ＝ＣＯＳ０・ｃｏｓｙ…①． 在平面 内过点 作直 线ＡＹ上 ，分别以ＡＸ、 生一直都有一个很困惑问题，为什么正圆锥面被平 面所截得到的曲线会是圆、椭圆、双曲线、抛物线， 虽然从直观和实验的角度学生可以接受，但是，学 生疑惑的眼神是任何一个有责任心的教师无法回避 的，在传统教材教学过程中，这一问题一直都是被 回避的，一方面这个问题比较复杂；另一方面教学 大纲也没有这方面的要求，因此长期以来．大都人 ＡＹ为坐标轴建立直角坐标 系，设点ｐ（ｘ，Ｙ）点Ｐ到直线 ＡＢ的距离为ｄ，由已知条 件，ｄ为定值， Ｘ＝—（第ｌ０题） ＣＯＳ — 云亦云，“照本宣科”；新课程实施标准指出：“数学 在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中 发挥着独特的、不可替代的作用，数学是人类文化 则 Ｖ＝’ ｉｎｆｌ．…Ｓｌｎ ————— ②． ｓｉｎ ８ 的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的基 本素质”．同时指出，学生的学习不应只限于记忆、 由①，②消去参数 ， 得Ｘ ｓｉｎ ０＋Ｙ ＝ｄ ． 然而，让学生消去两个参数谈何容易，我们认 为这样的解答学生还是望而兴叹，究其原因是对问 题缺乏深刻得理解和应有转化所致，在学生自主探 模仿和练习，应倡导自主探究，动手实践，合作交 流，要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型 并进行解释和应用的过程．因此，引导学生探究正 圆锥面被平面所截得的曲线方程．对于提高学生综 究的过程中，教师的引与导能否恰如其分是至关重 要的，对此我们引导学生理解轨迹的实质是：底面 半径（Ｐ到直线ＡＢ的距离）为定值，轴为ＡＢ的圆 柱被平面 所截得到的曲线方程可以如下建立： 过点 作与直线ＡＢ垂直 合运用解析几何和立体几何知识的水平，提高空间 想象能力和探究能力都是大有裨益的． ２．问题的尝试 （２００８年高考浙江卷・理ｌ０）如图，ＡＢ是平面 口的斜线段， 为斜足，若点Ｐ在平面 内运动， 使得ＡＡＢＰ的面积为定值，则动点户的轨迹是 Ａ．圆 Ｂ．椭圆 的平面，这个平面与平面１２＂交 与直线 ，在两个平面上分 别建立如图所示的直角坐标系 ＸＡＹ和ＸＡＹ ，设点尸到轴ＡＢ 的距离为ｄ，Ｐ点坐标为 Ｃ．一条直线 Ｄ．两条平行直线
