知识讲解-指数函数及其性质-基础

【要点梳理】

要点一、指数函数的概念：

x

函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. 要点诠释：

（1）形式上的严格性：只有形如y=a(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像y23，y2，

x

x1xy3x1等函数都不是指数函数．

（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：

xx0时，a恒等于0，①如果a0，则 xx0时,a无意义.②如果a0，则对于一些函数，比如y(4)，当xxx11 ,x,时，在实数范围内函数值不存在．

24③如果a1，则y11是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质： y=a 图象 ①定义域R，值域 （0，+∞） 01时图象 x 0 ②a=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 性质 ③ax=a，即x=1时，y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ⑤x<0时，a>1 xx>0时，0x④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，00时，a>1 x1（3）指数函数ya与y的图象关于y轴对称。

axx

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）

① ya ②yb ③ycx ④ydx

则：0＜b＜a＜1＜d＜c

又即：x∈(0,+∞)时，bxaxdxcx （底大幂大） x∈(－∞,0)时，bxaxdxcx （2）特殊函数

xxy2x,y3x,1y()x,21y()x的图像：

3

要点四、指数式大小比较方法

(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若AB0AB；AB0AB；AB0AB； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断【典型例题】

类型一、指数函数的概念

例1．函数y(a3a3)a是指数函数，求a的值．

举一反三：

【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？

（1）y4；（2）yx；（3）y4；（4）y(4)； （5）y(2a1)(a

xx4xx2xAA1，或1即可． BB1且a1)；（6）y4x． 2类型二、函数的定义域、值域

例2．求下列函数的定义域、值域.

13x2x1xx

3(1)y；(2)y=4-2+1；(3)；(4)ya913x

举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域： (1)y2x(3)y22x1x1(a为大于1的常数)

-1 (2)y33-x 2x-1 (4)y1-ax(a0,a1)

类型三、指数函数的单调性及其应用 例3．讨论函数f(x)

举一反三：

【变式1】求函数y3x

213x22x的单调性，并求其值域．

3x2的单调区间及值域.

【变式2】求函数f(x)ax-2x(其中a0，且a1)的单调区间.

例5．判断下列各数的大小关系：

21-24(1)1.8与1.8； (2)()3,3,()

3312.52.50

(3)2，(2.5)，() (4)a2与a3(a0,a1)

2a

a+1

2

举一反三：

【变式1】比较大小：

2.12.3 33-0.3-0.1

(1)2与2 (2)3.5与3.2 (3)0.9与1.1 (4)0.9与0.7

0.3

0.4

(5)1.50.224,()3,()3. 3311【变式2】利用函数的性质比较2，3，6

1213162【变式3】 比较1.5， 1.3， ()3的大小.

3-0.2

0.7

1

例6. (分类讨论指数函数的单调性)化简：a-2aa

举一反三： 【变式1】如果a

2x14323ax5（a0，且a1），求x的取值范围．

例7．判断下列函数的奇偶性：f(x)(

举一反三：

【变式1】判断函数的奇偶性：f(x)

类型五、指数函数的图象问题

11)(x) ((x)为奇函数) 2x12xx. x212例8．如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数ya的图象，而a,x12,3,，

22则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．

举一反三：

【变式1】 设f(x)|31|，c＜b＜a且f(c)f(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是（ ） A．33 B．33 C．332 D．332

【变式2】为了得到函数y935的图象，可以把函数y3的图象( ) A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

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