第十章习题解答

10-2-1 如图所示，S1和S2是两个同相位的相干光源，它们发出波长＝5000Å的光波，设O是它们中垂线上的一点，在点S1与点O之间插入一折射率n＝1.50的薄玻璃，点O恰为第4级明条纹的中心，求它的厚度e．

[解] 在O点是第4级明条纹的中心

光程差 nee4

所以 e44104 Å n110-2-2 如图所示，在双缝干涉实验中，SS1SS2，用波长为的单色光照S，通过空气后在屏幕E上形成干涉条纹．已知点P处为第3级干涉明条纹，求S1和S2到点P的光程差．若整个装置放于某种透明液体中，点P为第4级干涉明条纹，求该液体的折射率．

[解] S1和S2到P点的光程差满足r2r1k3 整个装置放置于液体中，S1和S2到P点的光程差满足

nr2r14

n34 4所以得到 n1.33

310-2-4 一束绿光照射到两相距 0.6mm的双缝上，在距双缝2.5m处的屏上出现干涉条纹．测得两相邻明条纹中心间的距离为2.27mm，试求入射光的波长．

D dxd2.271030.60103所以 5.448107m5448Å

D2.510-2-5 波长为的单色光垂直照射在如图所示的透明薄膜上，薄膜厚度为e．两反射光的光程差是多少?

[解]薄膜上下表面的反射光均有半波损失，故没有因半波损失而产生的光程差，因此上下表面反射的光程差为

[解] 由杨氏双缝干涉知 x2n2e2.60e

10-2-6 波长为5500 Å的黄绿光对人眼和照像底片最敏感，要增大照像机镜头对此光的透射率，可在镜头上镀一

层氟化镁 （MgF2）薄膜． 已知氟化镁的折射率为1.38，玻璃的折射率为 1.50，求氟化镁的最小厚度．

[解] 要增大波长为的光的透射率，则须使反射光干涉减弱．那么，光程差应满足

10-1

2n2e2k1

2当k0时，e最小，为

emin550010109.96108m 4n241.3810-2-8 用波长为的单色光垂直照射到空气劈尖上，从反射光中观察干涉条纹，距顶

点为L处是暗条纹．使劈尖角连续慢慢变大，直到该点再次出现暗条纹为止，劈尖角的改变量是多少?

[解] 空气劈尖干涉暗纹，光程差为 2ek劈尖角为时，L处有 2ek1劈尖角为时，有 2ek222k12

22k112

22k212因为劈尖角连续改变，即e连续增大，故k2=k1+1 由上述公式得 2ek2ek1

又 ek1LsinL，ek2LsinL

2L10-2-9 用曲率半径为3.00m的平凸透镜和平板玻璃作牛顿环实验，测得第k级暗环半径为4.24mm，第k10级暗环的半径为6.0mm．求所用单色光的波长．

[解] 牛顿环暗环半径公式为rkkR 故 rk10因此 k10R

22rk210rk261034.24103因此 6.01103Å 10R103.0010-2-12 用波长为的单色光源做迈克尔逊干涉仪实验，在移动反光镜M2的过程中，视场中的干涉条纹移过k条，求反射镜移动的距离?

[解] 设反射镜移过的距离为d，则光程差改变量为 2dk

所以 dk 210-2-15 一单缝宽度a1104m，透镜的焦距f0.5m，若分别用14000Å和

27600Å的单色平行光垂直入射，它们的明条纹的宽度各是多少?

[解] 一级暗纹公式为 asin1 而1sin1a

10-2

f a2f所以明纹的宽度为 x2x1

a所以 x1ftan1f12f120.541073对1： x1410m 4a1102f220.57.6107对2： x27.6103m 4a11010-2-17 已知天空中两颗星对一望远镜的角距离为4.84106rad，设它们发出光的波长为5500Å．望远镜的口径至少要多大才能分辨出这两颗星．

[解] 设望远镜孔径为D，当两星对望远镜的角距离大于其最小分辨角时方可分辨，即

4.841061.22所以 D1.22D

4.841065.51071.2213.9cm .841010-2-20 试指出光栅常数ab为下述三种情况时，哪些级数的光谱线缺级？（1）光栅常数为狭缝宽度的两倍，即ab2a； （2）光栅常数为狭缝宽度的三倍，即ab3a；（3）光栅常数为狭缝宽度的2.5倍，即ab2.5a．

[解] k级缺级的条件为kabk k1,2,3 a（1）ab2a时，k2k，凡2的倍数级都缺级． （2） ab3a时，k3k，凡3的倍数级都缺级． （3）ab2.5a时，k2.5k，凡5的倍数级都缺级．

10-2-21 用波长为＝53Å的钠光垂直照射光栅，测得第2级谱线的衍射角21011，而用待测波长的单色光照射时，测得第一级谱线的衍射角1442．试求光栅常数和待测光的波长．

[解] 光栅方程为 absink 对1有 absin11 对2有 absin222

2sin12sin404225.310754Å 由上两式得 10sin2sin101110-3

将1的数值代入得 ab6.67106m

10-2-22 光从介质1射向介质2时的临界角是60．布儒斯特角是多大? [解] 由光的折射定律得 n1sin60n2sin90 所以

00n23 sin600n12n23 n12由布儒斯特定律 tani0由此得 i040.9

10-3 在双缝干涉实验中，用很薄的云母片（n1.58）覆盖在双缝的一条上，如图所

示．这时屏上零级明纹移到原来第7级明纹位置上．如果入射光波5000Å，试求云母片的厚度（设光线垂直射入云母片）．

[解] 原来的第7级明纹的位置满足r1r27 加上云母片后，光程差满足

r1r2ener1r2n1e0

所以

e7750006.03104 Å n11.581

10-4 白色平行光垂直照射到间距为d0.25 mm的双缝上，在距缝50cm处放一屏幕，若把白光（4000～7600Å）两极端波长的同级明纹间的距离叫做彩色带的宽度，试求第1级和第5级彩色带的宽度．

[解] 每一级的宽度xxmaxxminkDmaxmin d5010210476004000107.210m0.72mm k1时，x1130.2510501027600400010103.6103m3.6mm k5时，x5530.251010-5 用单色光源S照射平行双缝S1和S2形成两相干光源．在屏上产生干涉图样，零级明条纹位于点O，如图所示．若将缝光源S移到S位置，问零级明条纹向什么方向移动?若使零级明条纹移回点O，必须在哪个缝的右边插入一薄云母片才有可能? 若以波长为50Å的单色光，欲使移动了4个明纹间距的零级明纹移回到点O，云母片的厚度应为多少? 云母片的折射率为1.58．

[解] 零级明纹是光程差为0的位置．移动光源后光线2的光程长了，为仍保持光程差为0，必须让1的光程增加以弥补2的增加，只有在下方1才比2长，所以向下．

10-4

要回到原点，即通过加片的方法使得1的光程增大，所以在S1后加．

在原点时，两光线的光程差满足n1e4得到

44501010e4.06106m

n11.58110-6 白光垂直照射在空气中厚度为3.80107m的肥皂膜上，肥皂膜的折射率为1.33，在可见光范围内（4000～7600Å） 哪些波长的光在反射中增强．

4ne[解] 光程差 2nek 所以

22k141.333.8107当k1时，120216Å

21当k2时，同理可得26739Å 当k3时，同理可得34043Å

所以在可见光范围内波长为4043 Å和6739 Å的光在反射中增强．

10-7 在观察肥皂膜的反射光时，表面呈绿色（＝5000 Å），薄膜表面法线和视线间的夹角为450，试计算薄膜的最小厚度． [解] 两反射光的光程差为

222en2n1sin2i2k

k1时对应薄膜厚度最小为

e24n2n12sin2i5000101041.332sin24501.11107m

10-8 用波长连续可调的平行光垂直照射覆盖在玻璃板上的油膜，观察到5000 Å和7000 Å这两个波长的光在反射中消失．油的折射率为1.30，玻璃的折射率为1.50．求油膜的厚度．

[解] 某一波长的光在反射中消失，表明光在油膜上下表面反射的光干涉相消，故光程差为 2n2e2k1对1： 2n2e2k112

12对2： 2n2e2k2122

又因1与2之间没有其他波长的光消失，故1与2的干涉级数只可能相差一级 故k2k11

10-5

因此

2k11270007

2k11150005解得 k13 k22

5000101076.73107m 以k13代入得，e2k114n241.301

10-9 如图所示，用波长为的单色光垂直照射折射率为n2的劈尖．图中各部分折射率的关系是n1[解] 因n12因棱边为明纹，故从棱边开始向右数第5条暗纹对应上式中k4

所以

e5

10-10 用波长为1的单色光垂直照射空气劈尖，从反射光的干涉条纹中观察到劈尖装置的点A处是暗条纹．若连续改变入射光的波长，直到波长为2（2>1）时，点A将再变成暗条纹．求点 A处空气层的厚度．

[解] 空气劈尖上暗条纹处满足

2n2e2k12k12414n24n29 4n22ne因n1，所以2e22k12

2k1，即2ek 22在A 处 2eAk11，2eAk22

同一点，e相同，又2>1，故k210-6

因此 eAk11112 222110-11 如图所示的观察牛顿环的装置中，设平球面透镜中心恰好和平玻璃接触，透镜球面的

半径R400cm，用某单色光垂直入射，观察反射光形成的牛顿环，测得第5个明环的半径是0.30cm

（1）求入射光的波长；

（2）设图中OA＝1.00cm，求在半径为OA的范围内可观察到的明环数．

[解] （1）牛顿环明环半径公式为rk22k1R，所以

22rk2

2k1R因中心为暗环，对应第5个明环k5，所以

2rk220.321045000Å 2251R9400102k1R，所以k1（2） 因为r2k22rk211.0010250.5 R2451072所以能看到的明环数50个．

10-12 用牛顿环实验测单色光的波长．用已知波长为1的单色光垂直照射牛顿环装置时，测得第1和第9级暗环的半径之差为l1；用未知单色光照射时测得第l和第9级暗环的半径之差为l2．求单色光的波长2．

[解] 牛顿环暗环半径公式为 rkkR

对1 r1R1 r99R1 所以r9r1R1又 r9r1l1， 故l1R12 同理得 l291

R22

l22因此 221

l110-13 有一单缝宽a0.10mm，在缝后放一焦距f50cm的会聚透镜，用波长＝5460 Å的平行绿光垂直照射单缝，求位于透镜焦平面处的屏上的亮条纹的宽度．如果把此装置浸入水中，并把屏移动到透镜在水中的焦平面上，亮条纹的宽度变为多少?设透镜的折射率n1.54，水的折射率n1.33．

10-7

（提示：透镜在水中的焦距f水nn1f） nn2f2501025.46107[解] （1） 明条纹的宽度为x5.46103m 3a0.1010（2） 在水中，透镜焦距为f水所以明条纹的宽度为

nn1f nn2n1f21.5410.505.461072x1.4010m

nna1.541.330.1103na2f水

10-14 用波长＝7000Å的平行光垂直照射单缝，缝后放一焦距为70cm的正透镜，在透镜焦平面处的屏上测得亮条纹的宽度为2.0103m．试计算： （1）单缝的宽度．

（2）当用另一单色光照射时，测得亮纹的宽度为1.5103m，求此光的波长． [解]亮条纹宽度为 x2f a2f27010271074.9104m （1）由上式可得单缝的宽度为 a3x210（2）由前式可得光的波长为

ax4.91041.51035.25107m5250Å 22f2701010-15 用平行光管把某光源发出的单色光变成平行光后垂直照射在宽度为0.308mm的

单缝上．用焦距为12.62cm的测微目镜测得明条纹两侧第5级暗条纹之间的距离为x＝2.414mm．求入射光的波长．

[解] 单缝衍射暗纹中心到亮纹中心距离为 xkf ak5时，x55两侧第5级暗纹之间的距离为 x2x5f a10f aax0.3081032.41410352Å 所以 10f1012.6210210-16 在正常照度下，人眼瞳孔的直径约为2mm，人眼最敏感的波长为5500Å．眼前

250mm （明视距离）处的点物在视网膜上形成艾里斑的角半径是多少? 明视距离处能够被分辨的两物点的最小距离是多少?（前房液和玻璃状液的折射率n1.33）

[解] （1） 因人眼中玻璃状液体的折射率为n，所以波长变为n

10-8

在视网膜上形成爱里斑的角半径为

5.51071.221.221.222.52104rad 3DnD1.33210（2） 人眼的最小分辨角 min1.22D设在距离L处能分辨的最小距离为d（dl），则

L5.5107d1.221.222501038.4105m 3D210

10-17 月球距地面约3.86105km，设月光按＝5500Å计算，问月球表面上距离多远的两点才能被直径为5.00m的天文望远镜所分辨．

[解] 设月球上两物点距离为d，其对望远镜张角大于最小分辨角时，则能分辨该两点

d1.22 LD1.22L1.225.51073.86108所以 d51.8m

D5.00

10-18 一块每毫米刻痕为500条的光栅，用钠黄光正入射，钠黄光中含有两条谱线，其波长分别为56Å和50Å．求在第2级光谱中这两条谱线分开的角度．

即

1103[解] 光栅常数为 ab2106m

50022 由光栅方程可得 absin221 absin22122arcsin因此得到 22arcsin

abab25.6107arcsin 21060.043025.0107arcsin2106 10-19 一衍射光栅，每厘米有200条透光缝，每条透光缝宽为a2103cm，在光栅后放一焦距为f1.0m的凸透镜．现以=6000Å单色平行光垂直照射光栅，试求：

（1）透光缝的单缝衍射明条纹宽度；

（2）在该宽度内有哪几个光栅衍射主极大?

[解] （1）单缝衍射第一极小满足 asin （1）

明纹宽度为

6107x2ftan2fsin2f21.06102m 5a210（2） 设该范围内主极大最大级数为k，则absink （2）

10-9

ab1102由 （1）、（2）式有 k2.5

a2002105所以在此范围内能看到的主极大级数为k0，1，2，共5个光栅衍射主极大．

10-20 波长＝6000Å的单色光垂直入射到一光栅上，测得第2级主极大的衍射角为（1）光栅常数ab是多大？（2）透光缝可能的最小宽度是多少？30，且第3级缺级．

（3）在屏幕上可能出现的主极大的级次是哪些？

[解]（1） 由光栅方程得 absin3002

24461072.4106m 0sin30ab（2） 当k级缺级时，满足 kk

aab所以 ak

kab2.4106当k1时，缝宽a最小，为 a8107m

k3（3） 在屏幕上呈现的主极大的级数由最大级数和缺级情况决定．

所以 ab因为 absink

kmax<

ab2.41064 因此 kmax=3 7610又因k3缺级，所以在屏上可能出现的级数为 k0,1,2

10-21 以白光（波长范围4000～7600Å）垂直照射光栅，在衍射光谱中，第2级和第3级发生重叠．求第2级被重叠的范围．

[解] 最小波长和最大波长分别为min4000 Å max7600 Å

第3级光谱中，开始重叠，min主极大的位置与第2级某一波长的主极大位置相同时，由光栅方程可求此波长 absin2 absin3min

33min40006000Å 22故，第2级光谱中被重叠的光谱波长范围为 6000Å~7600 Å

10-22 用两米光栅摄谱仪拍摄氢原子光谱，在可见光范围内有四条谱线，如图所示．光栅上每厘米有4000条缝，光栅后的正透镜的焦距为2.00m，在其焦平面上放一照相底片，求四条谱线在底片上的间距．

因此 10-10



1102 [解] 光栅常数为 ab2.5106m

4000对第一条谱线（k1），应用光栅方程，为absin 对H， 16.563107m，在底片上位置为

1xftanftanarcsin0.543m ab同理可得H,H,H三条谱线在照像底片上的位置分别为

x20.396m x30.353m x40.333m

因此 H与H之间的间距为 x10.147m

同理可得H与H之间的间距为 x20.043m

H与H之间的间距为 x30.02m

10-23 用白光照射每毫米50条刻痕的光栅，在距光栅2m的屏幕上观察到各色光谱，设可见光的上限波长（红光）r＝7800 Å，下限波长（紫光） v=4000 Å，试计算屏幕上第1级光谱的宽度．

[解] 第一级谱线满足 absin 屏幕上红光谱线的位置为 x1ff紫光谱线的位置为 x2ff所以第一级光谱的宽度为

rab

vabfrv2507800400010103.8102m 3ab11010-24 一束部分偏振光垂直入射于一偏振片上，以入射光为轴旋转偏振片，测得透射光强的最大值是最小值的5倍．求部分偏振光中自然光与线偏振光强度之比．

xx1x2[解] 设该束部分偏振光中自然光光强为I0，线偏振光光强为I，透过偏振片后自然

10-11

光光强变为

I0II，因此光强最大时Imax0I, 光强最小时 Imin0

222ImaxIminI0I25 I02所以

因此

I01 I210-25 两偏振片A、B的透振方向成45角，如图所示．入射光是线偏振光，其振动方向和A的透振方向相同．试求这束光线分别从左边入射和从右边入射时，透射光强之比．

[解] 设从左右两边入射时透射光强分别为I1和I2 由马吕斯定律得从左边入射时透射光强为

I1I0cos2450从右边入射，则

1I0 21I0 4I2I0cos2450cos2450所以入射光从左右两边入射，透射光强之比为

I1:I22:1

10-26 三个理想偏振片P1、P2、P3叠放在一起，P1与P3的透振方向互相垂直，位于中间的P2与P1的透振方向间的夹角为30．强度为I0的自然光垂直入射到P1上，依次透过

P1、P2和P3．求通过三个偏振片后的光强．

[解] 通过P1后： I11I0 23I0 83 通过P3后： I3I2cos2600I0

32

10-27 一束太阳光以某一入射角入射于平面玻璃上，这时反射光为完全偏振光．若透射光的折射角为32，试求：（1）太阳光的入射角；（2）这种玻璃的折射率．

[解] 因反射光为完全偏振光，所以入射角为布儒斯特角，则

通过P2后： I2I1cos2300 i0r900 i0900r900320580

由布儒斯特定律得 ntani0tan5801.60

10-12

10-28 如图所示的各种情况中，以线偏振光或自然光入射于两种介质的界面上．图中i0为起偏振角， ii0．试画出折射光线和反射光线并标出它们的偏振状态．

[解] 折射光和反射光及其偏振状态如下图

10-29 如图（a）所示，一束自然光入射在方解石的表面上，入射光线与光轴成锐角，问有几条光线从方解石透射出来? 如果把方解石切割成等厚的A、B两块，并平行地移动一点距离，如图（b）所示，此时光线通过这两块方解石后，有多少条光线射出来? 如果把B绕入射光线转过一个角度，此时将有几条光线从B射出来?

[答] （1）因入射光不沿光轴方向，也不垂直于光轴，所以在方解石中产生双折射现象，有两条光线透射出来． （2）在A中为o光的光线射出来入射到B，入射面就是B中o光的主平面，因此光线通过B后，只有一条光线射出，同理，在A中为e光的光线通过B后也有一束光线射出，所以从B中透射出来的仍是两束光．

（3）当把B任意转过一角度时，A中的o光和e透射出来入射到B中，各自在B中又发生双折射现象，每条光线在B中又分为o光和e光，因此，总共有四条光线从B中射出．

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