数学建模层次分析法

姓名 实验报告

课程名称：数学模型与实验 课题名称：层次分析法 专业：信息与计算科学 姓名： 班级：

完成日期：2016年6月22日

评分 实验报告

一、实验名称 层次分析法

二、实验目的

人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。

在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一是：就n个不同事物所共有的某一性质而言，应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地反映不同事物之间在该性质上的差异

层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。它把复杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性。

三、实验原理

运用层次分析法解决问题，大体可以分为四个步骤： 1.建立问题的递阶层次结构；

（1）将决策问题分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，

中间是准则 层或指标层；

（2）通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重；

（3）将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。 2.构造成对比较矩阵； 3.层次单排序及一致性检验； 判断矩阵一致性检验的步骤如下： (1)计算一致性指标.： (2)查找平均随机一致性指标.； (3)计算一致性比例.：

当.<时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。否则应对判断矩阵作适当的修正。 4.层次总排序及其一致性检验。

当CR＜时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据 最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。

四、实验题目 一、旅游问题

（1）建模

A1,A2,A3,A4,A5分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。

B1,B2,B3分别表示苏杭、北戴河、桂林。 （2）构造成对比较矩阵

1 1/2 4 3 31252 1 7 5 51/4 1/7 1 1/2 1/31/212A=1/3 1/5 2 1 1B1=1/51/211/5 3  1/3 1 111/31/811313B311/3111/312=83B3=3B41=1/31/311/41111/4111/4441 (3)计算层次单排序的权向量和一致性检验 成

对

比

矩

阵

A

的

最

大

特

5.073411B5=征

值

该特征值对应的归一化特征向量 表明A通过了一致性检验。

对成对比较矩阵可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：

计算CRk可知B1，B2，B3，B4，B5通过一致性检验。 （4）计算层次总排序权值和一致性检验 B1对总目标的权值为；

同理得B2，B3对总目标的权值分别为；决策层对总目标的权向量为；0.30.2460.456

故，层次总排序通过一致性检验。0.30.2460.456

可作为最后的决策依据。即各方案的权重排序为B3>B2>B1

又B1，B2，B3分别表示去苏杭、北戴河、桂林，故最后的决策应为去桂林。

题目二：

现有一学校某系的三位助教（甲乙丙），参加评选中级职称，评委由两位专家组成，请你给出一种排序。

影响评审的因素有教龄、教学效果和科研成果。专家一认为，教龄的重要性比科研成果稍微高一些，教学效果的重要性比教龄高一些。专家二认为，教龄与教学效果同样重要，但都比科研成果高一些。 三位助教各因素的评估如下：

教龄：专家一二一致认为甲比乙、丙高一些，乙、丙一样。 教学效果：专家一认为乙比甲突出，丙比甲明显高而比乙稍高；专家二认为乙比甲明显高一些，比丙稍高，丙比甲明显高一点。

科研成果：专家一认为甲与丙一样，比乙稍高一些；专家二认为甲比乙稍高，比丙稍低一点，丙比乙明显高一些。

（1）建立层次结构模型

评选中级职称 教龄教学效果科研成果 助教甲 专家1：

1A=51315117助教乙 （2）根据题意针对两个专家构造不同的成对比较矩阵：

13133111B2=97B1=31711131913助教丙

11171B3=331131113 31专家2；

11A=15111511335111B2=75B1=361111317113111336113B3=1 331351（3）计算层次单排序的权向量和一致性检验

分别对专家一、专家二讨论：

专家一：

在MATLAB中输入命令：

得到成对比较矩阵A的最大特征值= 在MATLAB中输入 >>=x(:,1)/sum(x(:,1)) 得=

得到=0.1884,0.7306,0.0810 则CI=CR=

3.093=，RI=，则 31CI0.0326/0.580.056＜通过一致性检验 RI对成对比较矩阵B1,B2,B3可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验.

在MATLAB中输入

B2，B3方法同上，结果如下： B B1 B2 B3 CI RI CR 0 0 由上表可知B2不通过一致性检验，调整矩阵为：

1B2=651612151可得2123.0858

则CI===＜通过一致性检验。 专家二：

在MATLAB中输入命令：

得到成对比较矩阵A的最大特征值=3 在MATLAB中输入>>=x(:,2)/sum(x(:,2)) 得到 w=

得到=0.4545,0.4545,0.0909 则CI=CR=

3.093=，RI=，则 31CI0＜通过一致性检验 RI对成对比较矩阵B1,B2,B3可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验.过程同专家一可得结果如下： B B1 B2 B3 CI RI CR 0 由表格可知B1,B2,B3均通过一致性检验。 （4）计算层次总排序权值和一致性检验。 专家一：

B1对总目标的权值：×+×+×=同理得B2权值，B3权值 所以应选择乙。

同理算出专家二，也是选择乙。