浙教版九年级数学上册第一章二次函数单元测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣1与x轴交点的个数（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2
2.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x+mx﹣t=0（t为实数）
在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A. t＞﹣5 B. ﹣5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. ﹣5＜t≤4
3.一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下列函数解析式：h=﹣3（t﹣2）2+5，则小球距离地面的最大高度是（ ）
A. 2米 B. 3米 C. 5米 D. 6米 4.要得到二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣1的图象，需将y=﹣2x2的图象（ ）
A. 向左平移2个单位，再向下平移3个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位 D. 向左平称1个单位，再向上平移3个单位
5.如果一个实际问题的函数图象的形状与y= 数解析式为( )． A. y= C. y=
B. y= D. y=
或y= 或y=
的形状相同，且顶点坐标是(4，－2)，那么它的函
6.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，下列结论： ①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0 其中正确的是（ ）
A. ①② B. 只有① C. ③④ D. ①④ 7.二次函数y=2（x+1）2-3的图象的对称轴是（ ）
A. 直线x=3 B. 直线x=1 C. 直线x=-1 D. 直线x=-2
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8.把抛物线y=ax2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x+3，则b+c的值为（ ）
A. 9 B. 12 C. -14 D. 10
9.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A. y=60（300+20x） B. y=（60﹣x）（300+20x） C. y=300（60﹣20x） D. y=（60﹣x）（300﹣20x）
10.如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ；②2a+b=0；③a+b+c＞0 ；④当-1＜x＜3时，y＞0．其中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（共10题；共30分）
11.已知三角形的一边长为x，这条边上的高为x的2倍少1，则三角形的面积y与x之间的关系为________． 12.如图，是二次函数y=ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是________．（精确到0.1）
13.将二次函数y=2x2-1的图像沿y轴向上平移2个单位，所得图像对应的函数表达式为________． 14.若A（ ， ），B（ ， ），C（1， ）为二次函数y= +4x﹣5的图象上的三点，则 、 、 的大小关系是________．
15.将抛物线 ，绕着它的顶点旋转 ，旋转后的抛物线表达式是________．
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16.（2016•大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该
抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是________．
17.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则当x=3时，y=________． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 7 3 1 1 3 … 18.飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是S=80t﹣2t2，飞机着陆后滑行的最远距离是________m．
19.定义函数f（x），当x≤3时，f（x）=x2﹣2x，当x＞3时，f（x）=x2﹣10x+24，若方程f（x）=2x+m有且只有两个实数解，则m的取值范围为________．
20.（2017•玉林）已知抛物线：y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），B（2，4）两点，顶点坐标为（m，n），有下列结论： ①b＜1；②c＜2；③0＜m＜ ；④n≤1． 则所有正确结论的序号是________．
三、解答题（共9题；共60分）
21.抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
22.已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
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23.如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．
24.图中是抛物线形拱桥，当水面宽AB＝8米时，拱顶到水面的距离CD＝4米．如果水面上升1米，那么水面宽度为多少米？
25.根据条件求二次函数的解析式：
（1）抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），且与y轴交点的纵坐标为﹣3 （2）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，﹣2）．
26.画图求方程x2=﹣x+2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看下面两位同学不同的方法．
222
甲：先将方程x=﹣x+2化为x+x﹣2=0，再画出y=x+x﹣2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解；
乙：分别画出函数y=x和y=﹣x+2的图象，观察它们的交点，并把交点的横坐标作为方程的解． 你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．
27.如图，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线y=-2x2+bx+c (a≠0)经过点A、C.
2
（1）求抛物线的解析式;
（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍.求出点Q的坐标;
（3）点M是直线y=-2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形? 若存在,求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
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28.某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．（Ⅰ）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；求x为何值时y的值为1920？
（Ⅱ）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
29.在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．
2
（Ⅰ）求过B，C两点的抛物线y=ax+bx﹣1解析式；
（Ⅱ）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q． ①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？最大值是多少？并说明理由．
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答案解析部分
一、单选题 1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】C 4.【答案】C
5.【答案】B 6.【答案】D 7.【答案】C 8.【答案】B 9.【答案】B 10.【答案】C 二、填空题
11.【答案】y=x2﹣
x
12.【答案】x1=0.8，x2=3.2合理即可 13.【答案】 14.【答案】 ＜ ＜ 15.【答案】
16.【答案】（﹣2，0） 17.【答案】13 18.【答案】800
19.【答案】m＞﹣3或﹣12＜m＜﹣4 20.【答案】①②④ 三、解答题
21.【答案】解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），∴ ，解得
，
抛物线的解析式为y=-x2
+4x-3， 令y=0，得-x2+4x-3=0，即 x2
-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）
22.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)， ∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4， 又∵抛物线过点C(0，3)，
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∴3=a(0−1)2−4， 解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，
2
即y=x−2x−3；
（ 2 ）令y=0，得：x ， 解得 ， .
所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.
23.【答案】解：∵与墙平行的边的长为x（m），则垂直于墙的边长为：
2
意得出：y=x（25﹣0.5x）=﹣0.5x+25x
2
=（25﹣0.5x）m，根据题
24.【答案】解：如图所示建立平面直角坐标系，
2
设抛物线解析式为y=ax，
由已知抛物线过点B（4，-4），则-4=a×4， 解得：a=- ，
∴抛物线解析式为：y=- x2，
2
当y=-3，则-3=- x，
2
解得：x1=2 ，x2=-2 ， ∴EF=4 ，
答：水面宽度为4 米．
25.【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）， ∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2﹣1， ∵抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3， ∴﹣3=a（0+1）2﹣1， 解得a=﹣2．
∴抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1， 即y=﹣2x﹣4x﹣3
（2）解：∵抛物线的顶点坐标是（3，﹣2）， ∴抛物线的对称轴为直线x=3， ∵抛物线在x轴上截得的线段长为4，
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0），（5，0）， 设抛物线的解析式为y=k（x﹣1）（x﹣5）， 则﹣2=k（3﹣1）（3﹣5）
2
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解得k= ，
（x﹣1）（x﹣5），
∴抛物线解析式为y= 即y=
x2﹣3x+
26.【答案】解：甲、乙两同学的解法都可行，但是乙的方法更简单，因为画抛物线远比画直线困难， 所以只要事先画好抛物线y=x的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解． 2
27.【答案】解：（1）令x=0，则y=4， 令y=0，则-2x+4=0，解得x=2， 所以，点A（2，0），C（0，4）， ∵抛物线y=-2x2+bx+c经过点A、C， ∴ ，
解得
，
∴抛物线的解析式为：y=-2x2+2x+4；
（2）∵y=-2x2+2x+4=-2（x- 2
）+
，
∴点P的坐标为（
， ）， 如图，过点P作PD⊥y轴于D，
又∵C（0，4）， ∴PD=
，CD= -4= ，
∴S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD=
×（ +2）× - ×2×4- × × = -4- = ，
令y=0，则-2x2
+2x+4=0，
解得x1=-1，x2=2，
∴点B的坐标为（-1，0）， ∴AB=2-（-1）=3，
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设△ABQ的边AB上的高为h，
∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍， ∴
×3h=4× ， 解得h=4， ∵4＜
，
∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方， 即点Q的纵坐标为4或-4，
当点Q的纵坐标为4时，-2x2
+2x+4=4，
解得x1=0，x2=1，
此时，点Q的坐标为（0，4）或（1，4），
当点Q的纵坐标为-4时，-2x2
+2x+4=-4，
解得x1=
，x2=
，
此时点Q的坐标为（
，-4）或（
，-4）
综上所述，存在点Q（0，4）或（1，4）或（
，-4）或（
，-4）；（3）存在． 理由如下：如图，
∵点M在直线y=-2x+4上， ∴设点M的坐标为（a，-2a+4），
①∠EMF=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形， ∴|a|=|-2a+4|，
即a=-2a+4或a=-（-2a+4）， 解得a=
或a=4，
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∴点F坐标为（0， ）时，点M的坐标为（ ， ）， 点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）； ②∠MFE=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形， ∴|a|= |-2a+4|， 即a= （-2a+4）， 解得a=1， -2a+4=2×1=2，
此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）， 或a=- （-2a+4），此时无解，
综上所述，点F坐标为（0， ）时，点M的坐标为（ ， ）， 点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）； 点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．
28.【答案】（Ⅰ）y=（30﹣20+x）（180﹣10x）=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；令y=1920得：1920=﹣10x2+80x+1800 x2﹣8x+12=0， （x﹣2）（x﹣6）=0， 解得x=2或x=6， ∵0≤x≤5， ∴x=2，
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，y=﹣10x+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．
∵﹣10＜0， ∴当x=
=4时，y最大=1960元；
∴每件商品的售价为34元．
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元； 29.【答案】解：
（Ⅰ）联立两直线解析式可得 ， 解得 ，
∴B点坐标为（﹣1，1）， 又C点为B点关于原点的对称点， ∴C点坐标为（1，﹣1）， ∵直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A， ∴A点坐标为（0，﹣1），
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设抛物线解析式为y=ax2
+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣1；
（Ⅱ）①当四边形PBQC为菱形时，则PQ⊥BC， ∵直线BC解析式为y=﹣x， ∴直线PQ解析式为y=x，
联立抛物线解析式可得
，
解得 或
，
∴P点坐标为（1﹣ ，1﹣ ）或（1+ ，1+ ）； ②当t=0时，四边形PBQC的面积最大． 理由如下：
如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，
则S
四边形PBQC=2S△PBC=2× BC•PD=BC•PD， ∵线段BC长固定不变，
∴当PD最大时，四边形PBQC面积最大， 又∠PED=∠AOC（固定不变）， ∴当PE最大时，PD也最大，
∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，
∴P点坐标为（t，t2﹣t﹣1），E点坐标为（t，﹣t）， ∴PE=﹣t﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+1，
∴当t=0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大
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