望城区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 已知函数f(x)3x2axa，其中a(0,3]，f(x)0对任意的x1,1都成立，在1

22和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T，则T（ A．22015）

20152

B．32015

C．3

20152

D．2a,ab2． 定义运算：ab．例如121，则函数fxsinxcosx的值域为（ ）

b,ab222A．,,1  B．1,1 C．2222D．1,23x4y110与圆C：3x4y40上任意(x2)2y24交于A、B两点，P为直线n：3． 已知直线m：一点，则PAB的面积为（ A．23 B.

）

33 C. 33 D. 432224． 已知向量a(m,2)，b(1,n)（n0），且ab0，点P(m,n)在圆xy5上，则|2ab|（ ）

A．34 A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n

B． B．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β

C．42 D．32）

5． 已知 m、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ C．若m⊥α，n⊥α，则 m∥nD．若 m∥α，m∥β，则 α∥β　

exex6． 下列函数中，与函数fx的奇偶性、单调性相同的是（ ）

3A．ylnx1x2

B．yx

2C．ytanx

）

D．yex7． 设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＜0}=（ A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}

8． 如右图，在长方体

C．{x|x＜0或x＞6}

D．{x|0＜x＜4}

中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向次到第次反射点之间的线

点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将

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段记为，（ ）

A

B

，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是

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C

D

9． 命题“∀a∈R，函数y=π”是增函数的否定是（ C．“∃a∈R，函数y=π”不是增函数A．（1，+∞）　　11．双曲线A．12

B．20

C．

的焦点与椭圆

D．）

的焦点重合，则m的值等于（

）

）

A．“∀a∈R，函数y=π”是减函数B．“∀a∈R，函数y=π”不是增函数

D．“∃a∈R，函数y=π”是减函数

）

10．已知函数f（x）=2ax3﹣3x2+1，若 f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（

B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）

12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（

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A．54B．162C．54+18D．162+18

二、填空题

13．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是　　　　　　．　

14．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于　　　　　　．15．在△ABC中，已知

=2，b=2a，那么cosB的值是　　　　　　．　

x2（0,1）16．当x时，函数fxe1的图象不在函数g(x)xax的下方，则实数a的取值范围是___________．

【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．

17．在（1+2x）10的展开式中，x2项的系数为　　　　　　（结果用数值表示）．18．AA1=2cm，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB=AD=4cm，则点A1到平面AB1D1的距离等于　　　　　　cm．

三、解答题

19．已知等差数列{an}中，a1=1，且a2+2，a3，a4﹣2成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=

，求数列{bn}的前n项和Sn．

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20．已知函数f（x）=sin2x+（Ⅱ）当x∈[﹣

（1﹣2sin2x）．

（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；

，

]时，求f（x）的值域．

21．等差数列{an}的前n项和为Sn．a3=2，S8=22．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=

，求数列{bn}的前n项和Tn．

22．（本题满分12分）在ABC中，已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c，边c7，且2tanAtanB3tanAAtanB3，又ABC的面积为SABC33，求ab的值．2第 5 页，共 17 页

23．一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．（1）求该几何体的体积V；111]（2）求该几何体的表面积S．

24．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．

（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；

（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：

1819202122周需求量n

频数

1

2

3

3

1

X表示当周的利润以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，（单位：元），求X的分布列及数学期望．

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望城区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）一、选择题

1． 【答案】C【解析】

试题分析：因为函数f(x)3x2axa，f(x)0对任意的x1,1都成立，所以22f10，解得

f102015a3或a1，又因为a(0,3]，所以a3，在和两数间插入a1,a2...a2015共2015个数，使之与，构成等

比数列，Ta1Aa2...a2015，Ta2015Aa2...a1，两式相乘，根据等比数列的性质得Ta1a20152132015，

T32015

2

，故选C.

考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用.2． 【答案】D【解析】

考

点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.

3． 【答案】 C

【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.

圆心C到直线m的距离d1，|AB|2rd23，两平行直线m、n之间的距离为d3，∴PAB22的面积为

1|AB|d33，选C．24． 【答案】A【解析】

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考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系.5． 【答案】C

【解析】解：对于A，若 m∥α，n∥α，则 m与n相交、平行或者异面；故A错误；对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则 α与β可能相交，如墙角；故B错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到 m∥n；故C正确；对于D，若 m∥α，m∥β，则 α与β可能相交；故D错误；故选C．

【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．　

6． 【答案】A【解析】

试题分析：fxfx所以函数为奇函数，且为增函数.B为偶函数，C定义域与fx不相同，D为非奇非偶函数，故选A.

考点：函数的单调性与奇偶性．7． 【答案】D

【解析】解：∵偶函数f（x）=2x﹣4（x≥0），故它的图象关于y轴对称，

且图象经过点（﹣2，0）、（0，﹣3），（2，0），故f（x﹣2）的图象是把f（x）的图象向右平移2个单位得到的，

故f（x﹣2）的图象经过点（0，0）、（2，﹣3），（4，0），则由f（x﹣2）＜0，可得 0＜x＜4，故选：D．

【点评】本题主要考查指数不等式的解法，函数的图象的平移规律，属于中档题．　

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8． 【答案】C【解析】根据题意有：

A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；

E的坐标为（4，3，12）（1）l1长度计算所以：l1=|AE|=（2）l2长度计算

将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：

A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；

显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2，yE2，24）根据相识三角形易知：xE2=2xE=2×4=8，yE2=2yE=2×3=6，即：E2（8，6，24）

根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。9． 【答案】C

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀a∈R，函数y=π”是增函数的否定是：“∃a∈R，函数y=π”不是增函数．故选：C．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．　

10．【答案】D

【解析】解：若a=0，则函数f（x）=﹣3x2+1，有两个零点，不满足条件．若a≠0，函数的f（x）的导数f′（x）=6ax2﹣6x=6ax（x﹣），若 f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，

若a＞0，由f′（x）＞0得x＞或x＜0，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得0＜x＜，此时函数单调递减，

=13。

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故函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），若x0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件．若a＜0，由f′（x）＞0得＜x＜0，此时函数递增，由f′（x）＜0得x＜或x＞0，此时函数单调递减，

即函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），若存在唯一的零点x0，且x0＞0，

则f（）＞0，即2a（）3﹣3（）2+1＞0，（）2＜1，即﹣1＜＜0，解得a＜﹣1，故选：D

【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．　

11．【答案】A【解析】解：椭圆由双曲线故选：A．　

12．【答案】D

【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥得到的组合体，

的焦点为（±4，0），

的焦点与椭圆的重合，可得

=4，解得m=12．

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其表面有三个边长为6的正方形，三个直角边长为6的等腰直角三角形，和一个边长为6成，

故表面积S=3×6×6+3××6×6+故选：D　

×

=162+18

，

的等边三角形组

二、填空题

13．【答案】　　．

【解析】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有23=8种方案，而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种，所以甲胜出的概率为故答案为．

【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目．　

14．【答案】　　．

【解析】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行，∴3aa=1（1﹣2a），解得a=﹣1或a=，经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去故答案为：．

【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．　

15．【答案】　　．

【解析】解：∵b=2a，∴

∴cosB=．故答案为：．

=

=．

=2，由正弦定理可得：

，即c=2a．

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【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

16．【答案】[2e,)1x2ex【解析】由题意，知当x（0,1）时，不等式e1xax，即a恒成立．令

xx1x1ex1x2exxxhx，h'x．令kxx1e，k'x1e．∵x0,1，∴2xxx2k'x1e0,∴kx在x0,1为递减，∴kxk00，∴h'xxx1x1exx20，∴hx在x0,1为递增，∴hxh12e，则a2e．17．【答案】　180　

【解析】解：由二项式定理的通项公式Tr+1=Cnran﹣r br可设含x2项的项是Tr+1=C7r （2x）r可知r=2，所以系数为C102×4=180，故答案为：180．

【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．

18．【答案】　

【解析】解：由题意可得三棱锥B1﹣AA1D1的体积是三角形AB1D1的面积为4则h=

故点A1到平面AB1D1的距离为故答案为：　

．

．

=

，

，

，设点A1到平面AB1D1的距离等于h，则

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）由a2+2，a3，a4﹣2成等比数列，∴

=（a2+2）（a4﹣2），（1+2d）2=（3+d）（﹣1+3d），d2﹣4d+4=0，解得：d=2，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

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数列{an}的通项公式an=2n﹣1；（2）bn=

=

=（﹣

﹣）]，

），

Sn= [（1﹣）+（﹣）+…+（=（1﹣=

，

．

），

数列{bn}的前n项和Sn，Sn=　

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+=2（sin2x+由2kπ+

≤2x+

cos2x）=2sin（2x+≤2kπ+

（1﹣2sin2x）=sin2x+），

≤x≤kπ+

cos2x

（k∈Z）得：kπ+

，kπ+

（k∈Z），

故f（x）的单调减区间为：[kπ+（Ⅱ）当x∈[﹣

，

]时，（2x+

]（k∈Z）；

]，2sin（2x+

）∈[0，2]，

）∈[0，

所以，f（x）的值域为[0，2]．　

21．【答案】

【解析】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=2，S8=22．∴

，

解得，

．

∴{an}的通项公式为an=1+（n﹣1）=（2）∵bn=∴Tn=2=2=

．

=

=﹣+…+

，

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22．【答案】【解析】

11．2试

题解析：由tanAtanB可得

3tanAAtanB3tanAtanB3，即tan(AB)3.

1tanAAtanB∴tan(C)3，∴tanC3，∴tanC3.∵C(0,)，∴C3.

331331333，∴absinC，即ab，∴ab6.

2222227222222又由余弦定理可得cab2abcosC，∴()ab2abcos，

2372121112222∴()abab(ab)3ab，∴(ab)，∵ab0，∴ab.1242又ABC的面积为SABC考点：解三角形问题．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面积、正弦定理和余弦定理，以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键，属于中档试题．23．【答案】（1）3；（2）623．【解析】

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（2）由三视图可知，

该平行六面体中A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，∴AA12，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，

S2(111312)623．1

考点：几何体的三视图；几何体的表面积与体积．

【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、解题的表面积与体积的计算，其中解答中涉及到几何体的表面积和体积公式的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状是解答的关键．24．【答案】

【解析】解：（I）当n≥20时，f（n）=500×20+200×（n﹣20）=200n+6000，当n≤19时，f（n）=500×n﹣100×（20﹣n）=600n﹣2000，∴

．

（ II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400，∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1，X的分布列为

X880094001000010200P0.10.20.30.3∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860．

104000.1第 16 页，共 17 页

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