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高中数学选修2-1知识点总结
目录
第一章第二章
常用逻辑用语............................................................................................................................................. 2 圆锥曲线与方程......................................................................................................................................... 5
椭圆的几何性质 ....................................................................................................................................................... 5 双曲线的几何性质抛物线的几何性质
................................................................................................................................................... 6 ................................................................................................................................................... 7
解题注意点................................................................................................................................................................ 8 1、“回归定义”
..................................................................................................................................................... 8
............................................................................................................................ 8 ............................................................................................................................... 10
2、直线与圆锥曲线的位置关系第三章
空间向量与立体几何
1、空间向量及其运算........................................................................................................................................... 10
2、平行.................................................................................................................................................................... 11 3、垂直.................................................................................................................................................................... 11 4、夹角问题 ........................................................................................................................................................... 11 5、距离问题 ........................................................................................................................................................... 11 立体几何解题一般步骤
......................................................................................................................................... 11
.
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高中数学选修2-1知识点总结
第一章常用逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.
2、“若
p，则q”：p称为命题的条件，q称为命题的结论.
3、若原命题为“若p，则q”
，则它的逆命题为“若q，则p”. 4、若原命题为“若p，则q”
，则它的否命题为“若p，则q”. 5、若原命题为“若
p，则q”
，则它的逆否命题为“若q，则
p”.
6、四种命题的真假性：
原命题逆命题否命题逆否命题
真真真真真假假真假真真真假
假
假
假
四种命题的真假性之间的关系：
.
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1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、
p是q的充要条件：p
q
q，qq,q
p
q,q
p
p是q的充分不必要条件：pp是q的必要不充分条件：p
p
p是q的既不充分不必要条件：p
8、逻辑联结词：
（1）用联结词“且”把命题假。
（2）用联结词“或”把命题真。
（2）对一个命题
p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作
pq．全真则真，有假则
p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作
pq．全假则假，有真则
p全盘否定，得到一个新命题，记作
p．真假性相反
全称量词，用“
”表示．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为含有全称量词的命题称为全称命题“对
全称命题．
中任意一个x，有px成立”，记作“x
，
px”．
”表示．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在10、全称命题
中的一个x，使
px成立”，记作“
p：x
x
，
，
．px”
p：x
，
px，它的否定px．全称命题的否定是特称命题．
.
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例：“a=1”是“
x
0,2x
ax
1”的（
）
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
A．充分不必要条件B. 必要不充分条件
.
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第二章圆锥曲线与方程
1、椭圆定义：平面内与两个定点
F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
椭圆的几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在
y轴上
图形
2标准方程
x2yy2x2a
2
b
2
1ab0a
2
b
2
1ab0
范围
a
xa且by
b
b
x
b且a
ya
1
a,0、
2
a,01
0,a、2
0,a顶点
1
0,b、
20,b
1b,0、2
b,0
轴长短轴的长2b
长轴的长
2a
焦点F1c,0、F2c,0
F10,c、F20,c焦距
F1F2
2cc
2
a
2
b
2
.
椭圆．这
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对称性
关于x轴、
y轴、原点对称ba
22
离心率
e
ca
10e1
3、平面内与两个定点
F1，F2的距离之差的绝对值等于常数
（小于F1F2）的点的轨迹称为双曲线．这
两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
双曲线的几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在
y轴上
图形
标准方程
xa
22
yb
22
1a0,b0R
ya
22
xb
22
1a0,b0
范围顶点轴长焦点焦距对称性
x
1
a或xa,0、
a，y
2
y
1
a或y0,a、2a
a，x
2
R
a,0
2b
0,a
虚轴的长实轴的长
F1c,0、F2c,0
F1F2
关于x轴、
F10,c、F20,c
2cc
2
a
2
b
2
y轴对称，关于原点中心对称c
a
b112ea
y
abx
2
离心率
e
ba
渐近线方程
yx
5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．6、平面内与一个定点
F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦
点，定直线l称为抛物线的准线．
.
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7、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即
2p．
8、焦半径公式：若点若点若点若点
x0,y0在抛物线yx0,y0在抛物线yx0,y0在抛物线xx0,y0在抛物线x
2
2pxp2pxp2pyp2pyp
0上，焦点为F，则0上，焦点为F，则0上，焦点为F，则0上，焦点为F，则
FFFF
x0
x0y0
y0
p2
；
2
p2p2
；
；
2
2
p2
．
抛物线的几何性质
y
标准方程
2
2px0
y
2
2pxp
0
x
2
2pyp
0
x
2
2pyp
0
p
图形
顶点
0,0
对称轴
x轴
y轴
p2
p2p2
p2p2
焦点
F
p2
,0F
,0
F
0,
F
0,
准线方程
x
p2
x
p2
yy
离心率
e1
范围
x0x0
y0y0
.
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解题注意点
1、“回归定义”
是一种重要的解题策略。如：
（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形
般是余弦定理）的知识来解决；
（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化
为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。
2、直线与圆锥曲线的位置关系
（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程
联立时二次项系数是否为
0）,直线和圆锥曲线相交、
相切、相离的充分必要条件分别是
0、0.
应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)
常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；
②点差法
（主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：
x1
x2
y1
y2
2
2x0,
2
2y2y10,
yx2
x1
（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；
（注意斜率是否存在）
①直线具有斜率
k，两个交点坐标分别为
A(x1,y1),B(x2,y2)
AB1k
2
xx2
2
112(1k)(x1x2)4x1x21
k
2
y1y2
②直线斜率不存在,则
AB
y1y2.
.
0、
k）
（一
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（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。
考查三个方面：A 存在性（相交）；B 中点；C 垂直（k1k2
1）
注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。
2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考是建立不等式，通过解不等式求范围。
4.注意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角等）
（4）求曲线轨迹常见做法：定义法、直接法（步骤：建—设—现（限）—代—化）用动点与已知轨迹上动点之间的关系）
、点差法（适用求弦中点轨迹）
、代入法（利
.
:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二
、参数法、交轨法等。P的轨迹中是椭圆的是（答：
C）；
2
例1.已知定点F1(3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点A．PF1
PF2
4
B．PF1
PF2
6
C．PF1
PF210
D．PF1
2
PF2
12
例2已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且
F1PF260，
S
PF1F2
123．求该双曲线的标准方程（答：
x
2
y
2
412
1）
例3 已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若由焦点到直线的距离为
M,N，当|AM|=|AN|
3.
时，求m的取值
（1）求椭圆分方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点
范围。（答：
x
2
3
y
2
1;m
(,2)）
2
2
1
例4过点A（2，1）的直线与双曲线
x
y
2
2
1相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹方
程。
.
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第三章空间向量与立体几何
1、空间向量及其运算
r设a
r
x1,y1,z1，b
x1
x2,y1
x2,y2,z2y2,z1
rr
，则1ab
x1
x2,y1
y2,z1
z2．
rr2ab3
ra
z2．
x1,y1,z1．x1x2
y1y2
z1z2．
rbrbz．
x1x2
x
21
21
rr4ab
rrr5若a、b为非零向量，则a
r6若b
rrr0，则a//b
rrabx1
0x2,y1
x1x2y1y2z1z2z2．
0．
ray
21
y2,z1
r7arraa
rara
x
rbrb
21
rr
8cosa,b
y1y2z
21
z1z2x
22
y
21
y
22
z
22
．
9x1,y1,z1，x2,y2,z2，则d
urrr
p,a,b共面
urp
rxa
uuurr
yb(x,y
x2x1
2
y2y1
2
z2z1
2
．
（10）共面向量定理：
R)；
AP
P、A、B、C四点共面
xAByAC
yAC
y
OPOP
rxa
ryb
OAxABxOA
（11）空间向量基本定理
urp
z1)
rrrr
zc(x,y,zR)（不共面的三个向量a,b,c构成一组基
yOBzOC(其中x
底，任意两个向量都共面）
.
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2、平行
（直线的方向向量，平面的法向量）
线线平行：
rrr
（a,b是a,b的方向向量，n是平面
的法向量）
a//b
rra//bra
rrr
n或a//b，b
r或a
rxb
rrryc(b，c是
内不共线向量）
线面平行：a//面面平行：
//
uruur
n1//n2
3、垂直
线线垂直：
ab
rarbrrab
或
0rrb,a
rrr
，c (bc是
内不共线向量）
线面垂直：a面面垂直：
rr
a//n
ra
urn1uurn2
4、夹角问题
rr
rr|ab|
|cosa,b|rr（注意异面直线夹角范围
|a||b|rr
rr|an||cosa,n|rr
|a||n|
线线角
cos
0
2
）
线面角
sin
二面角
uruur
uruur|n1n2|
ur（一般步骤①求平面的法向量；②计算法向量夹角；③|cos||cosn1,n2|uru|n1||n2|
，只需说明二面角大小，无需说
回答二面角（空间想象二面角为锐角还是钝角或借助于法向量的方向）明理由））
5、距离问题
（一般是求点面距离，线面距离，面面距离转化为点到面的距离）
P到平面的距离
d
uuurr|PAn|r（其中A是平面|n|
r
内任一点，n为平面
的法向量）
立体几何解题一般步骤
.
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坐标法：①建系（选择两两垂直的直线，借助于已有的垂直关系构造）坐标；④向量运算；⑤将向量形式的结果转化为最终结果。
基底法：①选择一组基底（一般是共起点的三个向量）；②写点坐标；③写向量的
；②将向量用基底表示；③向量运算；④将
向量形式的结果转化为最终结果。
几何法：作、证、求
异面直线夹角——平移直线（借助中位线平行四边形等平行线）线面角——找准面的垂线，借助直角三角形的知识解决；二面角——定义法作二面角，三垂线定理作二面角；作交线的垂面
.
. ；
