第一单元 平移、旋转和轴对称
一、轴对称图形 1、概念
轴对称图形：对折后折痕两边完全重合的图形是轴对称图形。
对称轴：对折后能使图形两边完全重合的折痕所在的直线是对称轴。 2、画图形的另一半：（1）找对称轴（2）找对应点（3）连成图形。 二、对称轴的条数
1、正三边形（等边三角形）有3条对称轴，正四边形（正方形）有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，……正n变形有n条对称轴。 2.等腰三角形有1条对称轴，长方形有2条对称轴. 三、平移和旋转
1、平移三要素：方向、距离
旋转三要素：中心点、方向（顺时针方向、逆时针方向）、角度
2、画图形的平移，先画平移方向，再把关键的点或线段平移到指定的地方，最后连接成图。（两次平移，要留下平移痕迹。）
3、画图形的旋转，先找中心点，再把关键的边按指定的方向旋转一定角度，再连线。 注意：平移和旋转，只改变图形位置，图形的形状、大小都不变。 例题
（1）把平行四边形绕A点顺时针旋转90º。 （2）把梯形绕B点逆时针旋转90º。‘
A B
第二单元 多位数的认识
1．数位顺序表：
我国计数是从右起，每4个数位为一级，一共分为个级、万级、亿级。
（1）计数单位有：个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿。 （2）每相邻的两个计数单位之间的进率都是10，这种计数方法叫十进制计数法。 2.多位数的读、写法。 （1）多位数的读法。（先分级！）
从高位读起，一级一级地往下读。读亿级或万级的数，先按照个级的读法读，再在后面加上一个“亿”字或“万”字。每级中间有一个0或连续几个0，都只读一个零；每级末尾的零都不读。 （2）多位数的写法。（先圈出“亿”、“万”！）
先写亿级，再万级，最后写个级，哪个数位上一个单位也没有，就在那一位上写0。 3.数的改写及求近似数。
改写：可以将万位、亿位后面的4个0、8个0省略，换成“万”或“亿”字，这样就将整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。
近似数：省略时一般用“四舍五入”的方法。是“舍”还是“入”，要看省略部分的尾数最高位是小于5、等于5还是大于5。 1.数位和计数单位区别
万级的数位包含有（ ）、（ ）（ ）、（ ）四个数位； 亿级的计数单位有（ ）、（ ）、（ ）（ ）。
2. 用“万”或“亿”作单位表示数。
4007000000＝ 27600000000＝ 153610000＝
注意：写上单位的一定要写单位，等于约等于分清楚 3. 省略“万”“亿”后面的尾数，求近似数。
20567920000≈ 981≈ 4018000000≈ 2760000000≈ 4005400≈ 14980≈ 这一类一般不写单位，因为没标明要写单位 4. 省略“最高位”后面的尾数，求近似数。
20567920000≈ 981≈ 4018000000≈ 2760000000≈ 4005400≈ 14980≈ 这类题是对第2位进行“四舍五入”不可写单位
5.经测量，1000张纸大约厚10厘米，照这样计算，100000张这样的纸大约厚多少米？1亿张这样的纸大约厚多少米呢？ 先计算倍数关系，在转换单元运算。
第三单元 三位数乘两位数乘法
一、三位数乘两位数笔算
1、三位数乘两位数，所得的积不是四位数就是五位数。
2、三位数乘两位数的计算法则：先用两位数的个位上的数与三位数的每一位相乘，乘得的积和个位对齐，再用两位数十位上的数与三位数的每一位相乘，所得的积和十位对齐，最后把两次乘得的积相加。 二、乘数末尾有0的乘法
1、末尾有0的乘法计算方法：先把两个乘数零前面的数对齐计算，再看两个乘数末尾一共有几个零，就在积的末尾加几个零。
2.乘积末尾0的个数是由乘数末尾有几个0决定的。（错误）因为乘法计算过程中末尾也会出现0。
三、常见的数量关系
①总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 ②路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度
③工作总量=工作效率×时间 工作效率工作总量÷时间 时间=工作总量÷工作效率其他：房间面积=每块地面砖面积×块数 块数=房间面积÷每块面积
（简称：大面积除以小面积）
正方形的面积=边长×边长 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 长方形的周长=（长+宽）
第四单元 用计算器计算
1.积的变化规律：
①一个因数不变，另一个因数乘或除以几，得到的积等于原来的积乘或除以几。 如：A×B=10那么A×(B×5)=10×5(A÷2)×B=10÷2 ②两个因数同时扩大几倍，得到的积等于原来的积乘两个因数分别扩大倍数的乘积。 如：A×B=10那么(A×2)×(B×3)=10×(2×3)
③两个因数同时缩小几倍，得到的积等于原来的积除以两个因数同时缩小倍数的乘积。 如：A×B=10那么(A÷2)×(B÷3)=10÷(2×3)
④一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，那么积不变。 如：A×B=10那么(A×3)×(B÷3)=10 2.商的变化规律：
①商不变规律：被除数和除数同时乘(或除以)相同的数（0除外），商不变。
②除数不变，被除数乘（或除以）几，商也乘几（或除以）几。 ③被除数不变，除数乘或除以一个数（0除外），商也除以几或乘几。 A÷B=10
(A×2)÷(B÷3)=A÷B×2×3=10×2×3=60 (A×2)÷(B×4)=A÷B×2÷4=10×2÷4=5 (A÷2)÷(B÷4)=A÷B÷2×4=10÷2×4=20
第七单元 三角形、平行四边形和梯形
一、三角形的特征及分类
1、围成三角形的条件：两边之和大于第三边（两边之差小于第三边）。
2、从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。 3、三角形具有稳定性（也就是当一个三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小都不会改变），生活的应用。如：人字梁、斜拉桥、自行车车架。 4、三角形的分类（按角）： （1）三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 （2）有一个角是直角的三角形是直角三角形。（两个内角的和等于第三个内角。两条直角边互为底和高。）
（3）有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。（两个内角的和小于第三个内角。） 5、任意一个三角形至少有两个锐角，都有三条高，三角形的内角和都是180度。（锐角三角形的三条高都在三角形内；直角三角形有两条高落在两条直角边上；钝角三角形有两条高在三角形外）。
6、把一个三角形分成两个直角三角形就是画它的高。 二、三角形内角和、等腰三角形、等边三角形
1、两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的两个夹角叫做底角，两个底角度数相等，是轴对称图形，有一条对称轴（跟底边高正好重合。）
补充：有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90°。
2、三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也都是60°。 （所有等边三角形的三个角都是60°。） 3、求三角形的一个角=180°－ 另外两角的和
4、等腰三角形的顶角=180°－底角×2=180°－底角－底角
5、等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2
6、一个三角形最小的角大于45度，这个三角形一定是锐角三角形。 一个三角形最大的角是60度，这个三角形一定是等边三角形。 7、多边形的内角和=180°×（边数－2） 三、平行四边形
1、两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，它的对边平行且相等，对角相等。从一个顶点向对边可以作两种不同的高。底和高一定要对应。一个平行四边形有无数条高。 2、用两块完全一样的三角尺可以拼成一个四边形或一个三角形。 用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。 3、平行四边形容易变形（不稳定性）。生活中的应用：电动伸缩门、铁拉门、伸降机
把平行四边形拉成一个长方形，周长不变，面积变了。平行四边形不是轴对称图形。 4、正方形、长方形属于特殊的平行四边形。 四、认识梯形
1、只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，两条平行线之间的距离叫做梯形的高（无数条）。 2、两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，是轴对称图形，有一条对称轴。有直角的梯形叫直角梯形。（有且只有两个直角） 3、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。
两个完全一样的直角梯形可以拼成一个平行四边形、等腰梯形或长方形。 注意点：1.任意三角形都有三条高
2.过平行四边形的一个顶点可以做2条高，但是平行四边形有无数条高。 典型例题：
3.等腰三角形顶角比底角大18度，这个等腰三角形的底角和顶角分别是多少度？这是一个什么三角形？
4.等腰三角形的周长是46cm，这个等腰三角形的腰比底长2cm 求着个等腰三角形的腰和底分别是多少厘米？
5.将一根20cm长的木条截成3段围成三角形，做成一个三角形，能围成哪几种三角形？
（2）如果是等腰三角形又分别是哪几种？
第五单元 解决问题的策略（画图）
1. 用画图的策略解决面积变化的问题。 （1） 画出一个长方形或正方形草图；
（2） 根据题目的条件在长方形或正方形上画图，标出条件和问题； （3） 根据画出的图形来求长方形的长或宽，然后再求面积。
2．和差问题：已知大小两数的和及它们的差，求大、小两个数各是多少。
解答这类问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。解题时，可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数，再求小数。 基本数量关系是：（和+差）÷2=大数
和－大数=小数 或 大数－差=小数 也可以假设大数减少到与小数同样多，先求出小数，再求大数。 基本数量关系是：（和－差）÷2=小数
和－小数=大数 或 小数+差=大数
3．和倍问题：已知大小两数的和及它们的倍数关系，求大、小两个数各是多少。 基本数量关系是：和÷（倍数+1）=1倍数
1倍数×倍数=几倍数 或 和－1倍数=几倍数
4. 差倍问题：已知大小两数的差及它们的倍数关系，求大、小两个数各是多少。 基本数量关系是：差÷（倍数-1）=1倍数
1倍数×倍数=几倍数 或 差+1倍数=几倍数 1.一个长方形纸板，如果长减少了5分米，宽减少了2分米，那么他们的面积减少66平方米，这时正方是一个正方形，求原来长方形的面积？
2.一个长方形长增加2CM宽增加5CM就变成了一个正方形，面积增加60平方厘
米，求原来长方形的面积？
3.一个长方形的长和宽都增加10CM面积增加500平方厘米，求原来长方形的周长？
4.一个长方形地长是80米，宽40米，如果宽增加10米，要使面积不变，长应该减少多少米？
第六单元 运算律
1.加法交换律：交换两个加数的位置，和不变。
a+b=b+a
2.加法的结合律：三个数相加时，可以先把前两个数相加的和与第三个数相加，也可以先把后两个数相加的和与第一个数相加，和不变。
(a+b)+c=a+(b+c)
3.减法的性质：一个数连续减去两个数就等于减去这两个数的和。
a-b-c=a-(b+c)
4.在加减混合运算中,加法交换律、结合律也能适用,但在交换位置时必须带前面的符号交换位置。
如：a+b-c=a-c+b
5.乘法交换律：交换两个乘数的位置，积不变。
a×b=b×a
6.乘法的结合律：三个数相乘时，可以先把前两个数相乘的积与第三个数相乘，也可以先把后两个数相乘的积与第一个数相乘，积不变。
(a×b)×c=a×(b×c)
7.乘法的分配律：两个数的和与一个数相乘，就相当于把这两个数分别与这个数相乘，再相加。
（a+b）×c=a×c+b×c 拓展：（a-b）×c=a×c-b×c
（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d
8.除法的性质：一个数连续除以两个数就等于除以这两个数的积。
a÷b÷c=a÷(b×c)
9.只有乘除运算时，乘法交换律、结合律也能适用,但在交换位置时必须带前面的符号交换位置。
如：a×b÷c=a÷c×b
注意：1.加减混合运算或乘除混合运算中，减号或除号在前，加括号或拆括号时，括号 内要变号。
2.看到25和75另一个数字拆4 125另一个数字拆8 3.除法也有分配率 a÷c+b÷c=（a+b)÷c
4 乘法分配率逆运算时 找好共同项目99×56+99=99×56+99×1
行程问题
1．行程问题的基本数量关系：路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 2.
直线上相向、相背行走并相遇 路程 速度 时间 速度和×相遇路程÷相遇时环形跑道上从时间=路程 间=速度和 同一地点出发，反向而行并相遇 直线上同向行走 环形跑道上从同一地点出发，同向而行 相差的路程÷速度差×行走行走的时间=速时间=相差路程 度差 路程÷速度和=时间 相差路程÷速度差=行走时间
3. 解答行程问题的技巧： （1）根据题意画出线段图。
（2）弄清路程、速度和相遇时间。
（3）审题时需注意：
①是否同时出发，如果有谁先出发，就把先行的路程去掉，找到同时行的路程。 ②行驶的方向，是相向，同向还是背向。
③是否相遇，有时两者并没有相遇,要把相距的路程去掉；有时是两者错过，要把多行的路程加上，得到同时行驶的路程。
典型例题：
小刚从甲城骑自行车去乙城，每小时行15千米，小名从乙城去甲城每小时行12千米，两人在距中点6千米处相遇，相遇时两人各行了多少千米？
乘除法算式谜
“算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。 解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：
1．认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断； 2．利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；
3．试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的； 4．算式谜解出后，要验算一遍。 例1：在下面的方框中填上合适的数字。 □ 7 6
× □ □ 1 8 □ □ □ □ □ □ 3 1 □ □ 0
分析：由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。
（1） 6 □ （2） □ 2 □ □ （3） 2 8 5
× 3 5 × □ 6 × □ □ 3 3 □ □ □ 0 4 1 □ 2 □
1 □ 8 □ □ 7 0 □ □ □ □□ □□ □ □ □□ □ □ 9 □ □
