高一数学痛点大揭秘专题01集合元素特性的应用(解析版)

第一章 集合与常用逻辑用语

专题01 集合元素特性的应用

从近几年高考试题可以看出，集合元素特性的考查主要以基础题的形式出现，重点考查元素与集合、集合相等以及集合元素个数的问题，因此，在教学中要控制题目的难度和深度，不要对这部分知识点进行深度的挖掘.

【题型导图】

类型一 元素与集合间的关系

例1：（2021·河北沧州市高一期中）已知集合Ma,2a1,2a21，若1M，则M中所有元素之和为（ ）A．3 【答案】C

【分析】根据1M，依次令Ma,2a1,2a21中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果.

【详解】若a1，则2a11，矛盾；若2a11，则a1，矛盾，故2a211，解得a1（舍）或a1，故M1,3,1，元素之和为3，故选：C.

a【变式1】已知集合Aa2,a1,a3a3，若1A，则2021的值为______．

B．1 C．3 D．1

22【答案】1

【解析】（1）若a21，即a1，则a10，a23a31，不满足集合中元素的互异性； （2）若a11，则a2或a0，当a2时，则a20，a23a31，不满足集合中元素的互异性；当a0时，则a22，a23a33，满足题意；

（3）若a23a31，则a1或2，由①②，可知均不满足集合中元素的互异性． 综上，知实数a的值为0，故2019a的值为1．故答案为：1.

22

【变式2】（2021·安徽省桐城中学高一月考）已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为_____．【答案】－2

【分析】根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定正确选项.

【详解】依题意2A，若a2，则a2，不满足集合元素的互异性，所以a2；

若a2，则a2或a2（舍去），此时A2,2,4，符合题意；若a22，则a4，而a4， 不满足集合元素的互异性，所以a4.综上所述，a的值为2.

22【变式3】（2021·遵义航天高级中学高一月考）设集合A2,3,a3a,a7，B|a2|,0，已知4Aa且4B,则实数a的取值集合为_____． 【答案】4

【分析】由a23a4或a274解出a的值，再验证集合中元素的互异性. a【详解】当a23a4时，可得a4或a1， 若a1，则a若a4，则a当a274，不合题意； a2711.5，|a2|2符合题意； a274，可得a1或a2， a若a1，则a23a4，不合题意； 若a2，则|a2|0，不合题意. 综上所述：a4.

【痛点直击】1.根据所给元素与集合中的元素是否相等为分类标准，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验．

2．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．

类型二 集合相等

例2：已知aR，bR，若集合a,A.2

b,1a2,ab,0，则a2020b2021的值为（ ）． a B.1 C. 1

D.2

【答案】B 【解析】

b,a0 a

bb2a,,1a,ab,00,即b0, aaa21a,0,1a,a,0 当时,a1或a1,

aa2当a1时,即得集合1,0,1,不符合元素的互异性,故舍去,

a1当2时,a1,即得集合1,0,1,不符合元素的互异性,故舍去, aa综上,a1, b0a2020b202112020020211，故选：B

2【变式1】（2021·齐齐哈尔市第八中学校高一月考）设集合A{x,y},B0,x，若AB，则2xy等于（ ） A．0 C．2 【答案】C

【分析】根据元素的确定性可得x0或y0，再利用元素的互异性可确定y0，x1，从而可得正确的选项.

【详解】由AB，得x0或y0.

当x0时，x20，不满足集合中元素的互异性，舍去；

当y0时，x2x，则x0或x1，由上知x0不合适，故y0，x1， 则2xy2.故选：C.

【变式2】已知集合Aa,0,1，Bcb,【答案】1; 2; 2

【解析】∵Aa,0,1,Bcb,B．1 D．－1

1c______．,1， 且AB，则a______，b______，

ab1,1,AB, ab又

110∴a1,cb0,1,∴b2,c2 ababba【变式3】（2021·江西九江一中高一月考）已知a,,1a,ab,0，则不等式

2a2020x2ab2021x2a20200的解为____.

【答案】1,2

【解析】

b2a,,1a,ab,0 a若a0，则

bb无意义，故有0,b0,此时有aab，a21. aaba1或a1（舍去，因为a,,1中不满足集合的互异性）

aa1,b0代入a2020x2ab2021x2a20200得

x2x20，方程的解集为1,2

【痛点直击】集合相等求参数的取值需要注意的问题： （1）集合相等是指集合中的元素完全相同；

（2）特殊元素的处理：例如“0”的分析，如果一个集合中有0，根据另一个集合中的元素一般可以先确定一个字母的取值，然后再由集合元素的互异性得出其它参数的取值.

类型三 集合元素个数问题

5}，M={x|x=a+b,aA,bB}，则M中元素的个数为（ ） 例3：设集合A={1,2,3}，B={4，A．3 【答案】B

【解析】由题意知xab，aA,bB，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素，故选B.

Q为两个非空实数集合，【变式1】（2021·肇东市第四中高一月考）设P，定义集合A{ab|aP，bQ}，

B．4

C．5

D．6

，2，6，则A中元素的个数是（ ） 2，5，Q1若P0，A．4 【答案】C

【分析】先根据题意表示出A1,2,3,4,6,7,8,11，再判断集合中元素的个数即可. 【详解】解：由题意：当a0，b1时，ab1； 当a0，b2时，ab2； 当a0，b6时，ab7； 当a2，b1时，ab3； 当a2，b2时，ab4；

B．6

C．8

D．9

当a2，b6时，ab8； 当a5，b1时，ab6； 当a5，b2时，ab7； 当a5，b6时，ab11，

所以A1,2,3,4,6,7,8,11，有8个元素，故选：C.

【变式2】（2021·福建莆田一中高一单元测试）设数集M同时满足条件 ①M中不含元素1,0,1，②若aM，则则下列结论正确的是

A．集合M中至多有2个元素； B．集合M中至多有3个元素； C．集合M中至少有4个元素； D．集合M中有无穷多个元素. 【答案】C

1aM. 1aa11a1111a11aa12aaM，M，M，【详解】由题意，若aM，则则1aM，a则

1aa121a1a1a1111aa1a1若a1a，则a21，无解，同理可证明这四个元素中，任意两个元素不相等，故集合M中至少有4个1a元素．

【痛点直击】此类问题需要注意的是： （1）参数的取值的所有可能情况要考虑周全； （2）得到的结果要注意互异性的要求.

【限时训练】

1． （2021·河北石家庄新世纪外国语学校高一月考）已知集合A1,a，实数a不能取的值的集合是（ ）

2A．1,1 【答案】A

B．1 C．1,0,1 D．1

【详解】由已知条件可得a21，解得a1.,故选：A.

b22．（2021·台州市书生中学高一月考）若集合1，a，0，a，ab，则a2021b2020的值为（ ）

aA．0 B．1 C．1 D．1

【答案】C

b【详解】由题意可知a0，0,b0，a21且a1，a1，a2021b2020(1)2021020201

a故选：C

3．（2021·黑龙江大庆实验中学高一期末）由a21，a3，a组成的集合含有元素2，则实数a的可能取值的个数是（ ） A．1个 【答案】A

【详解】当a212时，a1，

当a1时，三个数分别为2，4，1，符合元素的互异性； 当a1时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；

B．2个

C．3个

D．4个

a32时，a1三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性； 当 当a2时，三个数分别为5，5，2，不符合元素的互异性. 所以实数a的值可能为1，只有一个.故选：A

4．（2021·福建福州三中高一月考）设集合a,b,ab1,2,4，则ab（ ） A．2 【答案】C

【详解】①当a1时, 1,b,b1,2,4, 则b4当时，解得b4

b2a2a4a2.当②当b1时，{a,1,a}{1,2,4}，则或时，

a4a2a4a4该方程组无解，当时，解得a4

a2B．3 C．5 D．6

b2b4b2或，当时，该方程组无解，

b4b2b4③当ab1，即ab1时，显然a0，则b11，此时a,,1{1,2,4}， aaa2a4当1时，该方程组无解，当1时，该方程组无解.

42aa综上所述，a1，b4或a4，b1，故ab5，故选：C 5．（多选题）（2021·江苏省响水中学高一期中）已知集合M1,m2,m24，且5M，则m的可能

取值有（ ） A．1 【答案】AC

【详解】因为5M，所以m2当m3时，M当m1时，MB．1

C．3

D．2

5或m245，解得：m3，或m1，m1，

1,3,5，符合题意，

1,5,13，符合题意，当m1时，M1,1,5，不满足元素互异性，不成立，所以m3或m1，故选：AC

6．（多选题）（2021·山东菏泽三中高一月考）由实数x，x，|x|，x2，3x3，组成的集合中，元素的个数可能为（ ） A．1个 【答案】AB

【详解】当x0时，x|x|x20，3x3x0，此时集合共有2个元素； 当x0时，x|x|x23x3x0，此时集合共有1个元素； 当x0时，x|x|x23x30，x0，此时集合共有2个元素； 综上所述，此集合有1个或2个元素.故选：AB.

227． （2021·湖南师大附中高一月考）已知集合Am1,(m1),m3m3，若1A，则m2021__________．

B．2个 C．3个 D．4个

【答案】1

【详解】依题意，分别令m11，m11，m23m31，由集合的互异性，解得m1，则m20211. 8．（2021·深圳市龙华高级中学高一期中）设集合A4,2a1,a一的公共元素9，则实数a的值为______． 【答案】3

【详解】∵A4,2a1,a222，B9,a5,1a，且A，B中有唯

，B9,a5,1a，且A，B中有唯一的公共元素9，∴2a19或a2 9．

当2a19时，a5，此时A4,9,25，B9,0,4，A，B中还有公共元素4，不符合题意； 当a29时，a3，若a3，B9,2,2，集合B违背互异性． 若a3,A{4,7,9},B{9,8,4},AB{9}，∴a3．

ababAxx9.（2021·山东泰安一中高一月考）已知a，b，c均为非零实数，集合，则集合A的

abab

元素的个数有___________个. 【答案】2

【详解】当a0，b0时，xaaaaaaaabab1113， babbab1111， babbab1111， babbab1111， bab当a0，b0时，ab0， x当a0，b0时，ab0， x当a0，b0时，ab0， x故x的所有值构成的集合为1,3，集合A的元素的个数有2个.

10．（2021·江苏苏州大学附中高一期末）设数集A由实数构成，且满足：若xA（x1且x0），则（1）若2A，则A中至少还有几个元素？ （2）集合A是否为双元素集合？请说明理由． （3）若A中元素个数不超过8，所有元素的和为

14，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合31A． 1xA．

121 【答案】（1）A中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）A,2,1,,3,．

223【分析】

（1）由xA（x1且x0），则（2）由xA，逐项可推导出

1A，结合2A可计算得出集合A中的元素； 1x1x1A，A，结合集合元素满足互异性可得出结论； 1xxx111A，（3）由（2）A中有三个元素为x、、（x1且x0），设A中还有一个元素m，可得出

1x1mxm1A，由已知条件列方程求出x、m的值，即可求得集合A中的所有元素. m【详解】 （1）2A，11A． 12111A，112A．

12A1A，1．

122

A中至少还有两个元素为1，2； （2）不是双元素集合．理由如下：

11x11AA，1xA，， x11x1x13由于x1且x0，x2x1x0，则x2x10，

24则x1x1，可得x11x12，由x22x1x，即x1x，可得，

1x1xx2故集合A中至少有3个元素，所以，集合A不是双元素集合． （3）由（2）知A中有三个元素为x、且xx11、（x1且x0）， 1xx1x11， 1xx1m11m1A，A，且m1， 1mm1mm设A中有一个元素为m，则

1x11m1,,m,,所以，Ax,，且集合A中所有元素之积为1. 1xx1mm由于A中有一个元素的平方等于所有元素的积，

11x1xx2x0设或，解得（舍去）或或． 1121xx1

此时，2A，1A，A，

2

11m114，整理得6m319m2m60， 由题意得21m21mm312即m62m13m20，解得m或3或，

23121所以，A,2,1,,3,．

23222